Der Definitionsbereich

Um den Definitionsbereich zu bestimmen, muss man die Funktion auf Wurzeln, Logarithmen und Brüche testen.

Da in dieser Funktion weder Wurzeln noch Logarithmen auftreten, muss man nur darauf achten, dass in keinem Nenner eine $0$ steht.

Im Nenner auf der linken Seite steht eine $8$, er kann also nie $0$ werden.

Im Nenner auf der rechten Seite steht ein $x$, also setzt man den Term im rechten Nenner gleich $0$:

$x-1=0\Rightarrow x=1$

Setzt man in die Gleichung $1$ ein, so steht im Nenner eine $0$. Also ist $1$ nicht Teil der Definitionsmenge.

$\Rightarrow 𝔻=ℝ\setminus \{1\}$

Die Lösungsmenge

Um die Lösungsmenge zu berechnen, stellt man die Gleichung zuerst so um, dass kein $x$ mehr im Nenner steht.

Jetzt nutzt man die Mitternachtsformel, um nach $x$ aufzulösen:

$x_1={\displaystyle \frac{88+112}{40}}={\displaystyle \frac{200}{40}}=5$

$x_2={\displaystyle \frac{88-112}{40}}={\displaystyle \frac{-24}{40}}=-\mathrm{0,6}$

$-\mathrm{0,6}$ und $5$ sind Lösungen der Gleichung.

$\Rightarrow 𝕃=\{-\mathrm{0,6};5\}$

Hinweis:

Die Rechnung wird übersichtlicher und einfacher, wenn man erkennt, dass man im Bruch ${\displaystyle \frac{28x-12}{8}}$ durch $4$ kürzen kann. Man löst also (mit demselben Vorgehen und natürlich derselben Lösung) die Aufgabe