Gib die Wertemenge von $f$ an

Der kleinste Funktionswert ist $f(0)=e^0=1$.

$\Rightarrow$Wertemenge: $y\in ℝ,y\ge 1$.

Bestimme die Steigung des Graphen von $f$ in diesem Punkt

Bekannt ist: Für die erste Ableitungsfunktion $f^{\prime }$ von $f$ gilt $f^{\prime }(x)=2x\cdot f(x)$.

Die Graphen von $f$ und $f^{\prime }$ schneiden sich in einem Punkt.

Setze $f(x)=f^{\prime }(x)\Rightarrow f(x)=2x\cdot f(x)\stackrel{\stackrel{}{f(x)\ne 0}}{\to }1=2x\Rightarrow x={\displaystyle \frac{1}{2}}.$

Die Steigung des Graphen von $f$ in dem Punkt $\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right|f\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right))$ist dann:

$f^{\prime }(\frac{1}{2})=2\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot f(\frac{1}{2})=2\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\mathrm{e}}^{{\left(\frac{1}{2}\right)}^2}={\mathrm{e}}^{\frac{1}{4}}$.

Die Steigung im Schnittpunkt der Graphen von $f$ und $f^{\prime }$ ist ${\mathrm{e}}^{\frac{1}{4}}$.