B3 - lernen mit Serlo!

Aufgabe 2

Die Aufgabe 2 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte $A (0 ∣ 0 ∣ 0), B, C (0 ∣ 100 ∣ 0)$ , $D (0 ∣ 0 ∣ 246), E (48 ∣ 64 ∣ 246)$ und $F (0 ∣ 100 ∣ 246)$ sowie der Punkt $G (0 ∣ 0 ∣ 146)$ gegeben.

Weiterhin bekannt ist der Flächeninhalt des Dreiecks $A_{DEF}=2400\mathrm{~FE}$ und das Volumen des Prismas aus Aufgabe 1: $V_{\text {Prisma }}=590400\mathrm{~VE}.$

Ein Architekturbüro plant den Neubau eines Wolkenkratzers, der durch den Körper mit den Eckpunkten $A B C G E F$ modelliert wird, wobei im gewählten Koordinatensystem eine Längeneinheit einem Meter in der Realität entspricht.

Die Länge der Kante $\overline{A G}$ musste wegen der geltenden Bauvorschriften im Vergleich zur Länge der Kante $\overline{A D}$ um $100\mathrm{~m}$ auf $146\mathrm{~m}$ reduziert werden. Durch diese Reduzierung wird von dem Prisma $A B C D E F$ eine Pyramide mit der Grundfläche $D E F$ abgeschnitten.
Berechnen Sie, um wie viel Prozent sich das Volumen des Gebäudes $A B C G E F$ im Vergleich zum Volumen des Prismas $A B C D E F$ verkleinert hat. (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Pyramide
Berechne, um wie viel Prozent sich das Volumen des Gebäudes $A B C G E F$ im Vergleich zum Volumen des Prismas $A B C D E F$ verkleinert hat
Bekannt sind $A_{DEF}=2400\mathrm{~FE}$ und $V_{\text {Prisma }}=590400\mathrm{~VE}.$
Das Pyramidenvolumen berechnet sich mit $V_{\text {Pyramide }}=\dfrac{1}{3}\cdot A_{DEF} \cdot h$ .
Dabei ist $h=246-146=100\mathrm{~m}$ .
$\Rightarrow\;V_{\text {Pyramide }}=\dfrac{1}{3}\cdot 2400 \cdot 100=80000\mathrm{~VE}$
Mit $\dfrac{80000}{590400} \approx 0{,}1355$ hat sich das Volumen um ca. $13{,}55 \;\%$ verkleinert.
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Das Pyramidenvolumen berechnet sich mit $V_{\text {Pyramide }}=\dfrac{1}{3}\cdot A_{DEF} \cdot h$ .
Bilde das Verhältnis $\dfrac{V_{\text {Pyramide }}}{V_{\text {Prisma }}}$ .
Berechnen Sie den Winkel zwischen den Kanten $\overline{F C}$ und $\overline{F G}$ . (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Winkel zwischen zwei Vektoren
Berechne den Winkel zwischen den Kanten $\overline{F C}$ und $\overline{F G}$
Berechne die Vektoren $\overrightarrow{FC}$ und $\overrightarrow{ FG}$ und ihre Beträge:
$\overrightarrow{FC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OF}=\begin{pmatrix}0\\100\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\100\\246\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\-246\end{pmatrix}$
$\left|\overrightarrow{FC}\right|=246$
$\overrightarrow{FG}=\overrightarrow{OG}-\overrightarrow{OF}=\begin{pmatrix}0\\0\\146\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\100\\246\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\-100\\-100\end{pmatrix}$
$\left|\overrightarrow{FG}\right|=\sqrt{0+(-100)^2+(-100)^2}=\sqrt{20000}=100\cdot\sqrt{2}$
Für den Winkel $\alpha$ zwischen den Kanten $\overline{F C}$ und $\overline{F G}$ gilt dann:
$\cos \alpha=\dfrac{\overrightarrow{FC}\circ \overrightarrow{FG}}{\left|\overrightarrow{FC}\right|\cdot\left|\overrightarrow{FG}\right|}=\dfrac{\begin{pmatrix}0\\0\\-246\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}0\\-100\\-100\end{pmatrix}}{246\cdot100\cdot\sqrt{2}}=\dfrac{(-246)\cdot(-100)}{246\cdot100\cdot\sqrt{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ .
Dann ist $\alpha=cos^{-1}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)=45^{\circ}$ .
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Berechne die Vektoren $\overrightarrow{FC}$ und $\overrightarrow{ FG}$ und ihre Beträge.
Dann ist $\cos \alpha=\dfrac{\overrightarrow{FC}\circ \overrightarrow{FG}}{\left|\overrightarrow{FC}\right|\cdot\left|\overrightarrow{FG}\right|}.$

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das?

Aufgabe 2

Berechne, um wie viel Prozent sich das Volumen des Gebäudes ABCGEFABCGEFABCGEF im Vergleich zum Volumen des Prismas ABCDEFABCDEFABCDEF verkleinert hat

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Berechne den Winkel zwischen den Kanten FC‾\overline{F C}FC und FG‾\overline{F G}FG

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Berechne, um wie viel Prozent sich das Volumen des Gebäudes $A B C G E F$ im Vergleich zum Volumen des Prismas $A B C D E F$ verkleinert hat

Berechne den Winkel zwischen den Kanten $\overline{F C}$ und $\overline{F G}$