A1 - lernen mit Serlo!

Aufgabe 4

Gegeben ist die in $ℝ$ definierte Funktion $f : x \mapsto - x^{2} + 2 a x$ mit $a \in ℝ, a > 1$ .

Die Nullstellen von $f$ sind $0$ und $2 a$ .

Zeigen Sie, dass das Flächenstück, das der Graph von $f$ mit der x-Achse einschließt, den Inhalt $\frac{4}{3} a^{3}$ hat. (2 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
Zeige, dass das Flächenstück, das der Graph von $f$ mit der x-Achse einschließt, den Inhalt $\frac{4}{3} a^{3}$ hat
Bekannt ist: Die Nullstellen von $f$ sind $0$ und $2 a$ .
Berechne das Integral $\int_{0}^{2 a} f (x) d x = {[- \frac{1}{3} x^{3} + a x^{2}]}_{0}^{2 a} = - \frac{8}{3} a^{3} + 4 a^{3} = \frac{4}{3} a^{3}$ .
Damit hat das Flächenstück, das der Graph von $f$ mit der x-Achse einschließt, den Inhalt $\frac{4}{3} a^{3}$ .
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Die Nullstellen von $f$ sind $0$ und $2 a$ .
Berechne das Integral $\int_{0}^{2 a} f (x) d x$ .
Der Hochpunkt des Graphen von $f$ liegt auf einer Seite eines Quadrats; zwei Seiten dieses Quadrats liegen auf den Koordinatenachsen
(vgl. Abbildung 2).
Der Flächeninhalt des Quadrats stimmt mit dem Inhalt des Flächenstücks, das der Graph von $f$ mit der $x$ -Achse einschließt, überein.
Bestimmen Sie den Wert von $a$ . (3 P)
Abbildung 2
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extrema berechnen
Bestimmen Sie den Wert von $a$
Das Flächenstück, das der Graph von $f$ mit der x-Achse einschließt, hat den Inhalt $\frac{4}{3} a^{3}$ .
Weiterhin ist $f (x) = - x^{2} + 2 a x$ und die Nullstellen von $f$ sind $0$ und $2 a$ .
Aufgrund der Symmetrie einer Parabel liegt die Maximalstelle von $f$ genau in der Mitte zwischen den Nullstellen, d.h. an der Stelle $x = a$ .
Berechne $y_{H P} = f (a) = - a^{2} + 2 \cdot a \cdot a = a^{2}$ $\Rightarrow$ $H P (a | a^{2})$ ist der Hochpunkt des Graphen von $f$ .
Eine Quadratseite hat also die Länge $a^{2}$ und der Flächeninhalt des Quadrates ist dann $(a^{2})^{2}$ .
Demnach gilt für $a > 1$ :
$\frac{4}{3} a^{3} = (a^{2})^{2} = a^{4} \Rightarrow a = \frac{4}{3}$
Der Wert von $a$ ist $\frac{4}{3}$ .
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Aufgrund der Symmetrie einer Parabel liegt die Maximalstelle von $f$ genau in der Mitte zwischen den Nullstellen, d.h. an der Stelle $x = a$ .
Berechne $y_{H P} = f (a)$ .
Eine Quadratseite hat also die Länge $y_{H P}$ und der Flächeninhalt des Quadrates ist dann $(y_{H P})^{2}$ .
Löse die Gleichung $\frac{4}{3} a^{3} = (y_{H P})^{2}$ nach $a$ auf.

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das?

Aufgabe 4

Zeige, dass das Flächenstück, das der Graph von f mit der x-Achse einschließt, den Inhalt 43a3 hat

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Bestimmen Sie den Wert von a

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Zeige, dass das Flächenstück, das der Graph von $f$ mit der x-Achse einschließt, den Inhalt $\frac{4}{3} a^{3}$ hat

Bestimmen Sie den Wert von $a$