B3 - lernen mit Serlo!

Aufgabe 2

Die Aufgabe 2 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte $A (0 ∣ 0 ∣ 0), B, C (0 ∣ 100 ∣ 0)$ , $D (0 ∣ 0 ∣ 246), E (48 ∣ 64 ∣ 246)$ und $F (0 ∣ 100 ∣ 246)$ sowie der Punkt $G (0 ∣ 0 ∣ 146)$ gegeben.

Weiterhin bekannt ist der Flächeninhalt des Dreiecks $A_{DEF}=2400\mathrm{~FE}$ und das Volumen des Prismas aus Aufgabe 1: $V_{\text {Prisma }}=590400\mathrm{~VE}.$

Ein Architekturbüro plant den Neubau eines Wolkenkratzers, der durch den Körper mit den Eckpunkten $A B C G E F$ modelliert wird, wobei im gewählten Koordinatensystem eine Längeneinheit einem Meter in der Realität entspricht.

Die Länge der Kante $\overline{A G}$ musste wegen der geltenden Bauvorschriften im Vergleich zur Länge der Kante $\overline{A D}$ um $100\mathrm{~m}$ auf $146\mathrm{~m}$ reduziert werden.
Berechnen Sie, um wie viel Prozent sich das Volumen des Gebäudes $A B C G E F$ im Vergleich zum Volumen des Prismas $A B C D E F$ durch diese Reduzierung verkleinert hat. (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Pyramide
Berechne, um wie viel Prozent sich das Volumen des Gebäudes $A B C G E F$ im Vergleich zum Volumen des Prismas $A B C D E F$ verkleinert hat
Bekannt sind $A_{DEF}=2400\mathrm{~FE}$ und $V_{\text {Prisma }}=590400\mathrm{~VE}.$
Das Pyramidenvolumen berechnet sich mit $V_{\text {Pyramide }}=\dfrac{1}{3}\cdot A_{DEF} \cdot h$ .
Dabei ist $h=246-146=100\mathrm{~m}$ .
$\Rightarrow\;V_{\text {Pyramide }}=\dfrac{1}{3}\cdot 2400 \cdot 100=80000\mathrm{~VE}$
Mit $\dfrac{80000}{590400} \approx 0{,}1355$ hat sich das Volumen um ca. $13{,}55 \;\%$ verkleinert.
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Das Pyramidenvolumen berechnet sich mit $V_{\text {Pyramide }}=\dfrac{1}{3}\cdot A_{DEF} \cdot h$ .
Bilde das Verhältnis $\dfrac{V_{\text {Pyramide }}}{V_{\text {Prisma }}}$ .
Stellen Sie die Menge aller Punkte der dreieckigen Dachfläche $G E F$ in Parameterform dar. (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene aus drei Punkten
Stelle die Menge aller Punkte der dreieckigen Dachfläche $G E F$ in Parameterform dar
Berechne die Vektoren $\overrightarrow{EG}$ und $\overrightarrow{EF}$ .
$\overrightarrow{EG}=\overrightarrow{OG}-\overrightarrow{OE}=\begin{pmatrix}0\\0\\146\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}48\\64\\246\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-48\\-64\\-100\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{OE}=\begin{pmatrix}0\\100\\246\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}48\\64\\246\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-48\\36\\0\end{pmatrix}$
Dann folgt für die Parametergleichung der Ebene $E_{\text {Dach }}$ :
$E_{\text {Dach }}: \vec{x}=\overrightarrow{O E}+s \cdot \overrightarrow{E G}+t \cdot \overrightarrow{E F}=\begin{pmatrix}48\\64\\246\end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix}-48\\-64\\-100\end{pmatrix}+t \cdot \begin{pmatrix}-48\\36\\0\end{pmatrix}$
(mit $s \in \mathbb{R}, t \in \mathbb{R}$ )
Alle Punkte der dreieckigen Dachfläche $G E F$ sind gegeben durch
$\vec{x}=\begin{pmatrix}48\\64\\246\end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix}-48\\-64\\-100\end{pmatrix}+t \cdot \begin{pmatrix}-48\\36\\0\end{pmatrix}$ mit $s\geq 0, t\geq 0, s+t\leq 1$ .
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Berechne die Vektoren $\overrightarrow{EG}$ und $\overrightarrow{EF}$ .
Berechne die Ebenengleichung $E_{\text {Dach }}: \vec{x}=\overrightarrow{O E}+s \cdot \overrightarrow{E G}+t \cdot \overrightarrow{E F}$ und gib Schranken für die Parameter an.
Ein Lufttaxi soll den Wolkenkratzer mit einem anderen Wolkenkratzer verbinden. Im letzten Teil des Fluges soll es auf einer Strecke fliegen, die vereinfachend als Teil der Geraden $\def\arraystretch{1.25} g: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}4 \\ 10 \\ 200\end{array}\right)+k \cdot\left(\begin{array}{c}3 \\ 7 \\ -1\end{array}\right), k \in \mathbb{R}$ , modelliert werden kann.
Zeigen Sie rechnerisch, dass die Gerade g einen Punkt der dreieckigen Dachfläche $G E F$ enthält. (4 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen
Zeige rechnerisch, dass die Gerade g einen Punkt der dreieckigen Dachfläche $G E F$ enthält
Gegeben sind $\def\arraystretch{1.25} E_{\text {GEF }}: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}48 \\64 \\246\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{c}-48 \\-64 \\-100\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c}-48 \\36 \\0\end{array}\right), s \geq 0, t \geq 0, s+t \leq 1$ und $\def\arraystretch{1.25} g: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}4 \\ 10 \\ 200\end{array}\right)+k \cdot\left(\begin{array}{c}3 \\ 7 \\ -1\end{array}\right), k \in \mathbb{R}$
Schneide $g$ mit $E$ :
$\def\arraystretch{1.25} \left(\begin{array}{c}48 \\ 64 \\ 246\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{c}-48 \\ -64 \\ -100\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c}-48 \\ 36 \\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4 \\ 10 \\ 200\end{array}\right)+k \cdot\left(\begin{array}{c}3 \\ 7 \\ -1\end{array}\right)$
Man erhält das Gleichungssystem:
$\def\arraystretch{1.25} \left|\begin{array}{l}-48 s\;-48 t-3 k=-44 \\ -64 s\;+36 t-7 k=-54 \\ -100 s+0t\;+\;k=-46\end{array}\right|$ .
Der TR liefert als Lösung $s=\frac{1}{2}, t=\frac{1}{6}$ und $k = 4$ .
Wenn der Schnittpunkt im Dreieck $G E F$ liegen soll, dann müssen die Bedingungen $s \geq 0, t \geq 0, s+t \leq 1$ erfüllt sein.
$s=\frac{1}{2}\geq 0, t=\frac{1}{6}\geq 0$ und $\frac{1}{2}+\frac{1}{6}=\frac{2}{3}\leq 1\;\checkmark$
Alle 3 Bedingungen sind erfüllt. Somit enthält die Gerade $g$ einen Punkt der dreieckigen Dachfläche $G E F$ .
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Schneide $g$ mit $E$ $\;\Rightarrow\;s, t, k.$
Wenn der Schnittpunkt im Dreieck $G E F$ liegen soll, dann müssen die Bedingungen $s \geq 0, t \geq 0, s+t \leq 1$ erfüllt sein.
Überprüfe die Bedingungen mit Deinen Lösungen.

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das?

Aufgabe 2

Berechne, um wie viel Prozent sich das Volumen des Gebäudes ABCGEFABCGEFABCGEF im Vergleich zum Volumen des Prismas ABCDEFABCDEFABCDEF verkleinert hat

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Stelle die Menge aller Punkte der dreieckigen Dachfläche GEFGEFGEF in Parameterform dar

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Zeige rechnerisch, dass die Gerade g einen Punkt der dreieckigen Dachfläche GEFGEFGEF enthält

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Berechne, um wie viel Prozent sich das Volumen des Gebäudes $A B C G E F$ im Vergleich zum Volumen des Prismas $A B C D E F$ verkleinert hat

Stelle die Menge aller Punkte der dreieckigen Dachfläche $G E F$ in Parameterform dar

Zeige rechnerisch, dass die Gerade g einen Punkt der dreieckigen Dachfläche $G E F$ enthält