Geometrie, Teil A, Aufgabengruppe 2

Die Abbildung zeigt einen Würfel $A B C D E F G H$ der Kantenlänge $4$ in einem Koordinatensystem. Drei Seitenflächen dieses Würfels liegen in Koordinatenebenen.

Die Ebene $K$ enthält die Punkte

$A (0 | 0 | 0)$ , $B (4 | 0 | 0)$ und den Mittelpunkt der Kante $[F G]$ .

Die Ebene $K$ teilt den Würfel in zwei Teilkörper. Berechnen Sie das Volumen des kleineren Teilkörpers. (2 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prisma
Würfelseite
Betrachte die Seite $A D H E$ des Würfels. Die Ebene $K$ verläuft durch die Punkte $M_{2}$ und $A$ . Der Flächeninhalt des Dreiecks $A M_{2} E$ ist $\frac{1}{4}$ des Flächeninhalts der Würfelseite.
Also ist auch das Volumen des kleineren Teilkörpers $\frac{1}{4}$ des Volumens des Würfels.
$V_{klein} = \frac{1}{4} \cdot 4^{3} = 16$
Das Volumen des kleineren Teilkörpers beträgt $16 VE$ .
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Halbiere den Würfel durch den Mittelpunkt der Kante $[F G]$ . Dann teilt die Ebene $K$ die linke Würfelhälfte in zwei gleich Teile. Ein Teil davon ist der kleinere Teilkörper.
Berechne sein Volumen.
Eine zweite Ebene $L$ enthält die Punkte $E$ und $F$ sowie den Mittelpunkt der Kante $[B C]$ .
Zeichnen Sie die Schnittfigur dieser Ebene mit dem Würfel in die Abbildung
ein und geben Sie eine Gleichung der Schnittgeraden der Ebenen $K$ und $L$ an. (3 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehungen von zwei Ebenen
Zeichne die Schnittfigur dieser Ebene mit dem Würfel in die Abbildung ein und gib eine Gleichung der Schnittgeraden der Ebenen $K$ und $L$ an
Ebene $L$
Die Abbildung in Aufgabe a) zeigt den Punkt $S (0 | 1 | 2)$ .
$S$ liegt auf der Schnittgeraden der beiden Ebenen $K$ und $L$ .
Die Schnittgerade verläuft parallel zu x-Achse.
Dann lautet die Schnittgeradengleichung:
$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 2 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array})$ mit $r \in ℝ$ .
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Teil 1
Zeichne, wie angegeben, die Ebene $L$ ein.
Teil 2
Ein Punkt, der auf der Schnittgeraden der beiden Ebenen liegt, ist $(0 | 1 | 2)$ .
Die Schnittgerade verläuft parallel zur x-Achse.

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das?

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Zeichne die Schnittfigur dieser Ebene mit dem Würfel in die Abbildung ein und gib eine Gleichung der Schnittgeraden der Ebenen K und L an

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Zeichne die Schnittfigur dieser Ebene mit dem Würfel in die Abbildung ein und gib eine Gleichung der Schnittgeraden der Ebenen $K$ und $L$ an