Teil A: Pflichtteil - lernen mit Serlo!

Pflichtaufgabe 4

Betrachtet wird die binomialverteilte Zufallsgröße $𝑋_{1}$ mit den Parametern $𝑛_{1}$ und $𝑝_{1}$ .

Abbildung 3 zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $𝑋_{1}$ .

Entscheiden Sie, ob die folgende Aussage richtig ist, und begründen Sie Ihre Entscheidung: $P (16 \leq X_{1} \leq 20) > 0,5$ . [2 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
Entscheide, ob die folgende Aussage richtig ist, und begründe Deine Entscheidung: $P (16 \leq X_{1} \leq 20) > 0,5$
Die Aussage ist falsch.
Der Abbildung 3 kann man entnehmen, dass jeder der fünf zu betrachtenden Werte der Wahrscheinlichkeitsverteilung von $𝑋_{1}$ kleiner als $0,1$ ist.
Die Summe dieser fünf Werte muss dann kleiner als $0,5$ sein und ist nicht größer als $0,5$ .
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Entnimm der Abbildung die Werte von $P (X = 16)$ bis $P (X = 20)$ .
Wie groß kann diese Summe höchsten sein?
Betrachtet wird zudem die binomialverteilte Zufallsgröße $𝑋_{2}$ mit den Parametern $𝑛_{2}$ und $𝑝_{2}$ .
Abbildung 4 zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $𝑋_{2}$ .
Abbildung 4
Die Erwartungswerte von $𝑋_{1}$ und $𝑋_{2}$ sind ganzzahlig und es gilt $𝑛_{1} = 𝑛_{2}$ .
Weisen Sie unter Verwendung der Abbildungen 3 und 4 nach, dass $𝑝_{2} = 4 \cdot 𝑝_{1}$ gilt.
[3 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
Weise unter Verwendung der Abbildungen 3 und 4 nach, dass $𝑝_{2} = 4 \cdot 𝑝_{1}$ gilt
Bei der Binomialverteilung ist der Erwartungswert $E (X)$ der Wert mit der größten Wahrscheinlichkeit.
In der Abbildung 3 ist der Erwartungswert $E (X_{1}) = 14 = n_{1} \cdot p_{1}$ .
In der Abbildung 4 ist der Erwartungswert $E (X_{2}) = 56 = n_{2} \cdot p_{2}$ .
$\Rightarrow n_{2} \cdot p_{2} = 56 = 4 \cdot 14 = 4 \cdot n_{1} \cdot p_{1}$
Nach Aufgabenstellung gilt: $𝑛_{1} = 𝑛_{2}$ $\Rightarrow p_{2} = 4 \cdot p_{1}$ .
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Lies in beiden Abbildungen den Erwartungswert $E (X) = n \cdot p$ ab und vergleiche.

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Pflichtaufgabe 4

Entscheide, ob die folgende Aussage richtig ist, und begründe Deine Entscheidung: P(16≤X1≤20)>0,5

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Weise unter Verwendung der Abbildungen 3 und 4 nach, dass 𝑝2=4⋅𝑝1 gilt

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Entscheide, ob die folgende Aussage richtig ist, und begründe Deine Entscheidung: $P (16 \leq X_{1} \leq 20) > 0,5$

Weise unter Verwendung der Abbildungen 3 und 4 nach, dass $𝑝_{2} = 4 \cdot 𝑝_{1}$ gilt