Ziehen ohne Zurücklegen und Hypothesentest

Die beiden Möglichkeiten sind entweder 4 blaue und 6 rote oder 6 blaue und 4 rote Kugeln.

Formuliere eine logischen Entscheidungsregel

Die einzig sinnvolle Entscheidungsregel, um beide Fehler gleichzeitig klein zu halten, ist folgende:

Die Farbe, die beim Ziehen am häufigsten auftritt, wird als die Farbe angenommen, die insgesamt öfter vorhanden ist. Da 5 eine ungerade Zahl ist, ist dies eindeutig.

Die Entscheidungsregel lautet hier:

0, 1 oder 2 blaue Kugeln: $\Rightarrow$ 4 blaue und 6 rote Kugeln.

3, 4 oder 5 blaue Kugeln: $\Rightarrow$ 4 rote und 6 blaue Kugeln.

Da beide Möglichkeiten symmetrisch sind, ist der Fehler 1. Art identisch mit dem Fehler 2. Art.

Formuliere, wann ein Fehler 1. oder 2. Art auftritt

Die Fehlerwahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit, dass von der selteneren Farbe mehr Kugeln gezogen werden, d.h. entweder 3 oder 4. Da es nur 4 Kugeln der selteneren Farbe gibt, sind 5 nicht möglich.

Berechne nun die Fehlerwahrscheinlichkeit.

Es handelt sich um Ziehen ohne Zurücklegen, ohne Beachtung der Reihenfolge.

$\mathrm{P(Fehler)}=\frac{\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}6\\2\end{pmatrix}\;+\;\begin{pmatrix}4\\4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}6\\1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}}=\dfrac{4\cdot15\;+\;1\;\cdot\;6}{252}$

$\mathrm{P(Fehler)}=\;\frac{11}{42}\;=\;0{,}261905…\;\approx26{,}19\;\%$

In der oberen Zeile musst du zunächst den Binomialkoeffizienten jeweils ausrechnen und dann im nächsten Schritt in der Zeile den Bruch ausrechnen.

Die Fehlerwahrscheinlichkeit beträgt ungefähr $26{,}2 \, \%.$