weiterführende Aufgaben zum Hypothesentest

1
In einer Urne befinden sich entweder 4 blaue und 6 rote Kugeln oder 6 blaue und 4 rote. Dies soll durch Ziehen von 5 Kugeln ohne Zurücklegen herausgefunden werden.
Welches Entscheidungsverfahren ist das vernünftigste?
Wie hoch ist die Fehlerwahrscheinlichkeit in diesem Fall?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ziehen ohne Zurücklegen
Ziehen ohne Zurücklegen und Hypothesentest
Die beiden Möglichkeiten sind entweder 4 blaue und 6 rote oder 6 blaue und 4 rote Kugeln.
Formuliere eine logischen Entscheidungsregel
Die einzig sinnvolle Entscheidungsregel, um beide Fehler gleichzeitig klein zu halten, ist folgende:
Die Farbe, die beim Ziehen am häufigsten auftritt, wird als die Farbe angenommen, die insgesamt öfter vorhanden ist. Da 5 eine ungerade Zahl ist, ist dies eindeutig.
Die Entscheidungsregel lautet hier:
0, 1 oder 2 blaue Kugeln: $\Rightarrow$ 4 blaue und 6 rote Kugeln.
3, 4 oder 5 blaue Kugeln: $\Rightarrow$ 4 rote und 6 blaue Kugeln.
Da beide Möglichkeiten symmetrisch sind, ist der Fehler 1. Art identisch mit dem Fehler 2. Art.
Formuliere, wann ein Fehler 1. oder 2. Art auftritt
Die Fehlerwahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit, dass von der selteneren Farbe mehr Kugeln gezogen werden, d.h. entweder 3 oder 4. Da es nur 4 Kugeln der selteneren Farbe gibt, sind 5 nicht möglich.
Berechne nun die Fehlerwahrscheinlichkeit.
Es handelt sich um Ziehen ohne Zurücklegen, ohne Beachtung der Reihenfolge.
$\mathrm{P(Fehler)}=\frac{\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}6\\2\end{pmatrix}\;+\;\begin{pmatrix}4\\4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}6\\1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}}=\dfrac{4\cdot15\;+\;1\;\cdot\;6}{252}$
$\mathrm{P(Fehler)}=\;\frac{11}{42}\;=\;0{,}261905…\;\approx26{,}19\;\%$
In der oberen Zeile musst du zunächst den Binomialkoeffizienten jeweils ausrechnen und dann im nächsten Schritt in der Zeile den Bruch ausrechnen.
Die Fehlerwahrscheinlichkeit beträgt ungefähr $26{,}2 \, \%.$

Herr G, Gemeinderat und engagierter Lokalpolitiker, verfolgt mit Besorgnis, dass am anderen Ufer des Sees, an den seine Gemeinde grenzt, eine große Fabrik geplant und gebaut wird. Als seine Proteste gegen das Bauvorhaben erfolglos bleiben, beschließt er, in der kommenden Zeit genau zu beobachten, ob der Betrieb der Fabrik negative Auswirkungen auf die Umwelt hat, und gegebenenfalls Klage einzureichen. Vom örtlichen Anglerverein erfährt er auf Anfrage, dass der Anteil krankhaft veränderter Fische in dem See bislang stets bei rund $2\ \%$ gelegen hat. Er bittet nun den Verein, in der kommenden Saison darauf zu achten, ob sich dieser Anteil erhöht hat. Es wird vereinbart, dass die Angler über die nächsten $100$ gefangenen Fische genaue Notizen machen und Herrn G das Ergebnis mitteilen. Wenn dabei mehr als $4$ krankhaft veränderte Fische sind, will Herr G Klage einreichen.

Mit welcher Wahrscheinlichkeit reicht er bei dieser Entscheidungsregel die Klage ein, obwohl sich der Anteil krankhaft veränderter Fische in Wirklichkeit nicht erhöht hat?

Angenommen, der Anteil krankhaft veränderter Fische ist seit Inbetriebnahme der Fabrik auf $5\ \%$ angewachsen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit fällt das vom Anglerverein mitgeteilte Ergebnis dennoch so aus, dass Herr G keine Klage einreicht?

Angenommen, der Anteil krankhaft veränderter Fische ist seit Inbetriebnahme der Fabrik auf $10\ \%$ angewachsen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit reicht Herr G dennoch keine Klage ein? Was fällt im Vergleich mit dem Ergebnis von Teilaufgabe 2 auf?

Wie muss die Entscheidungsregel lauten, wenn G seine Behauptung auf dem Signifikanzniveau von $5\ \%$ belegen will? Stelle dazu den entsprechenden Hypothesentest mit Nullhypothese und Gegenhypothese (=Alternativhypothese) auf.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Null- und Gegenhypothese

Bestimme den Testaufbau

Formuliere dazu die Null- und die Gegenhypothese $H_0, H_1$

Die Nullhypothese wird in der Regel so gewählt, dass man seine eigene Hypothese als Gegenhypothese setzt, um diese dann signifikant zu beweisen. Demnach ist die Nullhypothese $H_0$ : $p\;=\;2\%$ . Die Gegenhypothese ist demnach $H_1$ : $p\;>\;2\%$ .

Setze den Fehler 1. Art kleinergleich dem dem angegebenen Signifikanzniveau von 5%.

Betrachte dazu die folgende Tabelle:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c|c|c}\;&\mathrm{für \;H_0}&\mathrm{für \;H_1 (gegen \;H_0})\\\;& 0, \dots ,k& k+1, \dots ,100 \\\hline H_0:p=0{,}02& \; & \mathrm{Fehler \;1.Art < 0{,}05}\\\hline H_1:p>0{,}02 \; & \; & \\ \hline\end{array}$

Der Fehler 1. Art beschreibt, dass die Nullhypothese zu Unrecht verworfen wird.

$\displaystyle \mathrm P_{0{,}02}^{100}(\mathrm X\;\geq\;\mathrm k+1)$	$≤$	$\displaystyle 0{,}05$
	↓	Formuliere den Term so um, dass man den Wert in der Tabelle finden kann.
$\displaystyle 1-\mathrm P_{0{,}02}^{100}(\mathrm X\;\leq\;\mathrm k)$	$≤$	$\displaystyle 0{,}05$	$\displaystyle -1$
$\displaystyle -\mathrm P_{0{,}02}^{100}(\mathrm X\;\leq\;\mathrm k)$	$≤$	$\displaystyle -0{,}95$	$\displaystyle \cdot (-1)$
	↓	auf beiden Seiten (dabei dreht sich das Ungleichheitszeichen um)
$\displaystyle \mathrm P_{0{,}02}^{100}(\mathrm X\;\leq\;\mathrm k)$	$≥$	$\displaystyle 0{,}95$

Suche in der kumulativen Tabelle den kleinsten Wert $(k-1)$ mit $n=100$ $p=0{,}2$ für den der Wert gerade größer als $0{,}95$ ist.

$\mathrm P_{0{,}02}^{100}(\mathrm X\;\leq\;4)\;\approx\;0{,}94917\;$

$\mathrm P_{0{,}02}^{100}(\mathrm X\;\leq\;5)\;\approx\;0{,}98452\;$

$\Rightarrow k=5$

Damit ist die Entscheidungsregel:

Nehme die Nullhypothese bei $5$ oder weniger Treffern an und lehne die Nullhypothese bei $6$ oder mehr Treffern ab.

Herr G sollte also bei sechs oder mehr veränderten Fischen Klage einreichen.

Hast du eine Frage oder Feedback?

Kommentiere hier 👉

In der Tat finden sich unter den 100 gefangenen Fischen 4 krankhaft veränderte. Während Herr G angesichts des zu wenig deutlichen Ergebnisses trotz seiner nach wie vor bestehenden Zweifel bereits resignieren will, schlägt sein Parteifreund F eine Vergrößerung der Stichprobe vor: Es soll weiter beobachtet werden, bis insgesamt 200 Fische gefangen seien. Wie muss nun die Entscheidungsregel lauten, wenn das Signifikanzniveau weiterhin 5% sein soll? Kann die Vermutung von Herr G, der Anteil krankhaft veränderter Fische habe sich auf über 2% erhöht, auf dem Signifikanzniveau von 5% angenommen werden, wenn sich unter den 200 Fischen insgesamt 8 finden, die krankhaft verändert sind?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Signifikanzniveau
Es sind nun nicht mehr 100 sondern 200 betrachtete Fische.
Passe den Test den neuen Gegebenheiten an.
$\Leftrightarrow n=200$
Setze den Fehler 1. Art kleinergleich dem angegebenen Signifikanzniveau von 5%.
Der Fehler 1. Art beschreibt, dass die Nullhypothese zu Unrecht verworfen wird.
$\mathrm P_{0{,}02}^{200}(\mathrm X\;\geq\;\mathrm k+1)\;\leq0{,}05$
Formuliere den Term so um, dass man den Wert in der Tabelle finden kann.
$\Leftrightarrow\;1-\mathrm P_{0{,}02}^{200}(\mathrm X\;\leq\;\mathrm k)\;\leq\;0{,}05$ $\left|-1\right.$ auf beiden Seiten
$\Leftrightarrow-\mathrm P_{0{,}02}^{200}(\mathrm X\;\leq\;\mathrm k)\;\leq\;-0{,}95$ $\left|\cdot\left(-1\right)\right.$ auf beiden Seiten (dabei dreht sich das Ungleichheitszeichen um)
$\Leftrightarrow\mathrm P_{0{,}02}^{200}(\mathrm X\;\leq\;\mathrm k)\;\geq\;0{,}95$
Suche in der kumulativen Tabelle den kleinsten Wert (k-1) mit n=200, p=0,2 für den der Wert gerade größer als 0,95 ist.
$\mathrm P_{0{,}02}^{200}(\mathrm X\;\leq\;6)\;\approx\;0{,}89144\;$
$\mathrm P_{0{,}02}^{200}(\mathrm X\;\leq\;7)\;\approx\;0{,}95066\;$
$\Rightarrow k=7$
Damit ist die Entscheidungsregel:
Nehme die Nullhypothese bei 7 oder weniger Treffern an und lehne die Nullhypothese bei 8 oder mehr Treffern ab.
Teste ob die genannte Anzahl von 8 Treffern im Ablehnungsbereich liegt.
Nach der Entscheidungsregel bedeuten 8 kranke Fische, dass die Nullhypothese verworfen werden muss und damit kann signifikant angenommen werden, dass sich die Anzahl auf über 2% erhöht hat.
Bemerkung: An dieser Teilaufgabe erkennt man, wie stark eine größere Stichprobe einen Test verbessern kann. Man hätte ja vermuten können, dass es egal ist, ob man 4 von 100 Fischen betrachtet, oder 8 von 200. Diese Aufgabe zeigt, dass eine größere Stichprobe bei gleichem Anteil von Treffern sogar einmal signifikant und einmal nicht signifikant sein kann.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉

3
123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
Im vergangenen Jahr wechselten $75\ \%$ aller Grundschüler eines Schulbezirkes nach der 4. Klasse zur Realschule. Das Schulamt vermutet, dass der Anteil der Schüler, die zur Realschule wechseln auch in diesem Jahr unverändert bleibt. Diese Annahme soll durch eine Befragung von 100 Eltern überprüft werden.
1. Wie lautet die Entscheidungsregel für $\mathrm\alpha\leq5\%$ ? Berechne und beschreibe den Fehler 1.Art.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Hypothesentest
  Betrachte zunächst den Aufbau des Tests.
  Formuliere dazu die Nullhypothese ${\mathrm H}_0$ . (Was ist die Nullhypothese?)
  Die Nullhypothese wird so gewählt, dass das, was man selbst beweisen will, in der Gegenhypothese steht. Es wird vermutet, dass $75\ \%$ der Schüler zur Realschule wechselt.
  Die Nullhypothese geht daher von einer Konstanz des Zustimmungsverhaltens aus: ${\mathrm H}_0$ : ${\mathrm p}=0{,}75$ .
  Formuliere nun die Gegenhypothese $\mathrm{H}_1$
  Die Gegenhypothese ist ${\mathrm H}_1$ : $\mathrm p\ne 0{,}75$ , d.h. es wechseln nicht $75\ \%$ der Schüler auf die Realschule.
  Es handelt sich also um einen zweiseitigen Signifikanztest.
  Bestimme die Entscheidungsregel.
  $\alpha \le 0{,}05$
  Der Fehler 1. Art ist also kleiner gleich $5\ \%$ .
  Bestimme also $k_1,k_2$ , sodass
  $P^{100}_{0{,}75}(k_2\le X\le k_1)\le 0{,}05$
  D.h., dass die Anzahl der Schüler X unter dem kritischen Wert $k_1$ bzw. über dem zweiten kritischen Wert $k_2$ liegt, obwohl die Wahrscheinlichkeit nach wie vor $75\ \%$ ist.
  $\Leftrightarrow P_{0{,}75}^{100}(X\le k_1)+P_{0{,}75}^{100}(k_2\le X)\le 0{,}05$
  Teile in zwei Formel auf.
  i) $P_{0{,}75}^{100}(X\le k_1)\le\frac{\alpha}{2}$
  ii) $P_{0{,}75}^{100}(k_2\le X)\le\frac{\alpha}{2}$
  Löse die Gleichungen einzeln.
  i) $P_{0{,}75}^{100}(X\le k_1)\le0{,}025$
  Lässt sich direkt aus dem Tafelwerk ablesen.
  $\Rightarrow k_1=65$
  ii) $P_{0{,}75}^{100}(k_2\le X)\le 0{,}025$
  Formuliere zur Gegenwahrscheinlichkeit um.
  $1-P_{0{,}75}^{100}(X\le k_2-1)\le 1-0{,}975$
  Forme um.
  $P_{0{,}75}^{100}(X\le k_2-1)\ge 0{,}975$
  Lässt sich direkt aus dem Tafelwerk ablesen.
  $\Rightarrow k_2-1=83$ $\Rightarrow k_2=84$
  Der Annahmebereich ist also $A = \{66{,}67, … , 82, 83\}$ , der Ablehnungsbereich ist $\bar A =\{0{,}1,2,…,65{,}84{,}85,…,100\}.$
  Der Fehler 1. Art tritt auf, wenn nach wie vor $75\ \%$ der Schüler auf die Realschule wechseln, aber die Hypothese trotzdem abgelehnt wird.
  Verwende die exakten Werte aus dem Tafelwerk, um ihn zu berechnen
  i) $P^{100}_{0{,}75}(X\le 65)=0{,}01643$
  ii) $1- P^{100}_{0{,}75}(X\le 83)=1-0{,}97889=0{,}02111$
  Addiere die Teilfehler zusammen.
  $\Rightarrow 0{,}01643+0{,}02111=0{,}03754\approx 3{,}8\%$ ist die Wahrscheinlichkeit, einen Fehler 1. Art zu begehen.
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
2. Beschreibe und berechne den Fehler 2.Art, wenn dem Zufallsversuch tatsächlich eine Erfolgswahrscheinlichkeit von $\mathrm p=0{,}7$ zugrunde liegt.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Alternativtest
  Durch die Angabe einer zweiten Wahrscheinlichkeit handelt es sich nun um einen Alternativtest. Hier berechnet sich der Fehler 2. Art genau wie der 1. Art, bloß für die andere Hypothese.
  Bestimme also die Wahrscheinlichkeit, dass $X\in A$ viele Schüler auf die Realschule wechseln, obwohl sich die Trefferwahrscheinlichkeit auf $0{,}7$ reduziert hat.
  $P_{0{,}7}^{100}(X\in A)=P_{0{,}7}^{100}(X\le 83)-P_{0{,}7}^{100}(X\le 65)$
  Da X zwischen 66 und 83 liegen muss.
  Lies die Werte aus dem Tafelwerk ab.
  $=0{,}99903-0{,}16286=0{,}83617\approx 83{,}6\%$
  ⇒ Die Chance einen Fehler 2. Art zu begehen ist in diesem Fall ca. $83{,}6\ \%$ . Diese Fehlerwahrscheinlichkeit ist so hoch, weil sich p nur sehr wenig verändert hat. Um das sicher festzustellen, müsste man einen sehr viel längeren Test machen.
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
4
Lehrer Maier glaubt, dass das Thema Hypothesentest sehr schwierig ist und noch nicht von allen verstanden worden ist. Insgesamt sind in seiner Klasse 50 Schüler. Den Anteil der Schüler, die das Thema noch nicht durchstiegen haben, schätzt er auf über 40%. Deshalb will er in der nächsten Stunde einen kurzen Test schreiben. Erreicht dabei ein Schüler mehr als die Hälfte der Punkte, so glaubt Lehrer Maier, dass der Schüler den Hypothesentest verstanden hat.
a) Gib die Nullhypothese von Lehrer Maier an, sowie die Entscheidungsregel für den Fehler 1. Art bei einem Signifikanzniveau von 10%.
b) Gib desweiteren die Entscheidungsregel für einen Fehler 2. Art für eine Klasse mit 50 Schülern an, ebenfalls bei einem Signifikanzniveau von 10%.
c) Im Test fallen 22 Schüler durch. Ist eine konsistente Aussage aus den Ergebnissen aus a) und b) ableitbar? Warum könnte Lehrer Maier seine Ausgangsvermutung bestätigt sehen? Die Klasse hingegen fand, dass das Thema Hypothesentest höchstens von einem Viertel nicht verstanden wurde. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wären nach der Klasse mindestens 22 Schüler durchgefallen?
d) Mit dem Ergebnis aus c) gehen die Schüler zu Lehrer Maier und beschweren sich über den Test. Hältst du die Beschwerde aus Sicht der Klasse für berechtigt?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Hypothesentest
Teilaufgabe a)
Betrachte zunächst den Aufbau des Tests.
Formuliere dazu die Nullhypothese ${\mathrm H}_0$ . (Was ist die Nullhypothese?)
Die Nullhypothese wird so gewählt, dass das, was man selbst beweisen will, in der Gegenhypothese steht. Lehrer Maier glaubt, dass mehr als 40% der Schüler das Thema Hypothesentest noch nicht verstanden haben.
Die Nullhypothese ist dann also das Gegenteil: $\mathrm{H}_0$ : $\mathrm{p}_0\le0{,}4$ ; d.h. weniger als 40% der Schüler haben das Thema noch nicht verstanden.
Stelle nun die Gegenhypothese $H_1$ auf.
Die Gegenhypothese ist $\mathrm{H}_1$ : $\mathrm{p}>0{,}4$ ; d.h. mehr als 40% der Schüler haben das Thema noch nicht verstanden.
Als Übersicht über die Angaben kann die folgende Tabelle benutzt werden:
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c|c|c}\;&\mathrm{für \;H_0}&\mathrm{für \;H_1 (gegen \;H_0})\\\;&0 \dots k & k+1 \dots 50 \\\hline H_0:p\leq0{,}4& \; & \mathrm{Fehler \;1.Art \leq 0{,}1}\\\hline H_1:p> 0{,}4 \; & \; & \\ \hline\end{array}$
Formuliere den Fehler 1. Art als Gleichung. (Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Schüler den Test besteht betrage 40%. Die Wahrscheinlichkeit, dass von 50 Schülern mehr Schüler den Test bestehen als die Entscheidungsregel angibt, soll höchstens 10% betragen.)
$\mathrm P_{0{,}4}^{50}(\mathrm X\;\geq\;\mathrm k)\;\leq\;0{,}1$
Formuliere den Term so um, dass man den Wert in der Tabelle finden kann.
$1- \mathrm P_{0{,}4}^{50}(\mathrm X\;<\;\mathrm k)\;\leq\;0{,}1$
$\left|-1\right.$ und schreibe $\mathrm{X<k}$ als $\mathrm{X\le k-1}$ .
$-\mathrm P_{0{,}4}^{50}(\mathrm X\;\leq\;\mathrm k-1)\;\leq\;-0{,}9$
$\left|\cdot\left(-1\right)\right.$ auf beiden Seiten (dabei dreht sich das Ungleichheitszeichen um)
$\mathrm P_{0{,}4}^{50}(\mathrm X\;\leq\;\mathrm k-1)\;\geq\;0{,}9$
Suche in den Tabellen den größten Wert k bei den kumulativen Wahrscheinlichkeitsverteilungen (n=50; p=0,4) für den der Wert gerade noch kleiner als 0,1 ist.
Tabellenwerk liefert:
$\mathrm P_{0{,}4}^{50}(\mathrm X\;\leq\;\mathrm 23)=0{,}8438$ ;
$\mathrm P_{0{,}4}^{50}(\mathrm X\;\leq\;\mathrm 24)=0{,}9022$ ;
$\Rightarrow\mathrm k-1\;\geq\;24$
Die Nullhypothese wird also angenommen, falls 24 oder weniger Schüler den Test bestanden haben, bei 25 oder mehr Schülern wird sie verworfen.
Teilaufgabe b)
Formuliere den Fehler 2. Art als Gleichung. Beachte dazu, dass wir annehmen, dass 40% der Schüler das Thema Hypthesentest noch nicht verstanden haben. Die Wahrscheinlichkeit, dass von 50 Schülern weniger Schüler den Test bestehen als die Entscheidungsregel angibt, soll höchstens 10% betragen (siehe die folgende Tabelle).
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c|c|c}\;&\mathrm{für \;H_0}&\mathrm{für \;H_1 (gegen \;H_0})\\\;&0 \dots k & k+1 \dots 50 \\\hline H_0:p\leq0{,}4& \; & \\\hline H_1:p> 0{,}4 \; & \; \mathrm{Fehler \;2.Art < 0{,}1}& \\ \hline\end{array}$
$\mathrm P_{0{,}4}^{50}(\mathrm X\;\leq\;\mathrm k)\;\leq\;0{,}1$
Suche in den Tabellen den größten Wert k bei den kumulativen Wahrscheinlichkeitsverteilungen (n=50; p=0,4) für den der Wert gerade noch kleiner als 0,1 ist.
Tabellenwerk liefert:
$\mathrm P_{0{,}4}^{50}(\mathrm X\;\leq\;\mathrm 15)=0{,}0955$ ; $\mathrm P_{0{,}4}^{50}(\mathrm X\;\leq\;\mathrm 16)=0{,}1561$ ;
$\Rightarrow\mathrm k\;\leq\;15$
Formuliere die Entscheidungsregel anhand dieses Wertes und damit die Lösung.
Die Nullhypothese wird also angenommen, falls 15 oder weniger Schüler den Test bestehen und verworfen, falls 16 oder mehr Schüler bestehen.
Teilaufgabe c)
Da 22 Schüler den Test nicht bestanden haben, kann nach den Entscheidungsregeln aus a) oder b) keine eindeutige Entscheidung getroffen werden.
Da $\frac{22}{50}>40 \%$ sieht Lehrer Maier jedoch seine Vermutung bestätigt.
Nimmt man die Vermutung der Klasse an, dass 25% der Schüler das Thema Hypothesentest nicht verstanden haben, ergibt sich folgende Rechnung (wähle X als Anzahl der Schüler, die im Test durchfallen):
$\mathrm{P("mindestens \;22 \;Schüler \;fallen \;durch")}$ $=P^{50}_{0{,}25}(X \geq 22)=$ $1-P_{0{,}25}^{50}(X<22)=$ $1-P(X\leq 21)$
Bestimme den Wert mit Hilfe des Tafelwerks.
$=1-0{,}99738=0{,}00262\approx 0{,}2\%$
Teilaufgabe d)
Aus Sicht der Klasse ist die Beschwerde berechtigt, da es nach Aufgabe c) noch relativ unwahrscheinlich ist, dass 22 oder sogar mehr Schüler den Test nicht bestehen, wenn man die Annahme zugrunde legt, dass nur 25% der Schüler das Thema Hypothesentest nicht beherschen.
Bemerkung: Objektiv kann keine Aussage getroffen werden, da die Angabe von 25% ein willkürlicher Wert der Klasse ist.

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

Wahrscheinlichkeit = 1 - Gegenwahrscheinlichkeit.
	↓
$\displaystyle \mathrm P_{0{,}02}^{100}(\mathrm X\;>4)$	$=$	$\displaystyle \;1\;-\;\mathrm P_{0{,}02}^{100}(\mathrm X\;\leq\;4)$
	↓	Lese den Wert für die kumulative Wahrscheinlichkeit aus der Tabelle ab.
	$≈$	$\displaystyle \;1\;-\;0{,}94917$
	$=$	$\displaystyle 0{,}05083$
	$≈$	$\displaystyle 5{,}1\;\%$

Lese den Wert für die kumulative Wahrscheinlichkeit aus der Tabelle ab.
	↓
$\displaystyle \mathrm P_{0{,}05}^{100}(\mathrm X\;\leq\;4)$	$≈$	$\displaystyle 0{,}43598$
	$≈$	$\displaystyle 43{,}6\%$

Lese den Wert für die kumulative Wahrscheinlichkeit aus der Tabelle ab.
	↓
$\displaystyle \mathrm P_{0{,}1}^{100}(\mathrm X\;\leq\;4)$	$≈$	$\displaystyle 0{,}02371$
	$≈$	$\displaystyle 2{,}4\%$

weiterführende Aufgaben zum Hypothesentest

Formuliere eine logischen Entscheidungsregel

Formuliere, wann ein Fehler 1. oder 2. Art auftritt

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Teilaufgabe a)

Teilaufgabe b)

Teilaufgabe c)

Teilaufgabe d)