Betrachte zunächst den Aufbau des Tests.

Formuliere dazu die Nullhypothese $H_0$. (Was ist die Nullhypothese?)

Die Nullhypothese wird so gewählt, dass das, was man selbst beweisen will, in der Gegenhypothese steht. Herr G glaubt, dass mehr als $2\ \%$ der Fische krankhaft verändert sind.

Die Nullhypothese ist dann also das Gegenteil:

Stelle nun die Gegenhypothese $H_1$ auf.

${\mathrm H}_0$: ${\mathrm p}_0=0{,}02$

Die Gegenhypothese ist ${\mathrm H}_1$:  $\mathrm p_1>0{,}02$ ; d.h. mehr als $2\ \%$ der Fische sind geschädigt.

Betrachte den Fehler 1. Art auf.

Dazu müssen mindestens vier veränderte Fische gefangen werden, obwohl nach wie vor nur $2\ \%$ der Fische geschädigt sind.

Gib die Wahrscheinlichkeit für den Fehler an:

Die Fehlerwahrscheinlichkeit beträgt ungefähr $5{,}1$.

Betrachte zunächst den Aufbau des Tests.

Formuliere dazu die Nullhypothese $H_0$. (Was ist die Nullhypothese?)

Die Nullhypothese wird so gewählt, dass das, was man selbst beweisen will, in der Gegenhypothese steht. Herr G glaubt, dass mehr als $2\ \%$ der Fische krankhaft verändert sind.

Die Nullhypothese ist dann also das Gegenteil: ${\mathrm H}_0$: ${\mathrm p}_0=0{,}02$

Stelle nun die Gegenhypothese $H_1$ auf.

Die Gegenhypothese ist ${\mathrm H}_1$:  $\mathrm p_1=0{,}05$. Es handelt sich also um einen Alternativtest.

Bestimme den Fehler 2. Art.

Die Fehlerwahrscheinlichkeit beträgt ungefähr $43{,}6\ \%$.

Baue den Test wie in Teilaufgabe 2 auf, bloß mit $p_1=0{,}1$

Bestimme den Fehler 2. Art.

Die Fehlerwahrscheinlichkeit beträgt ungefähr $2{,}4\ \%$. Die Wahrscheinlichkeit ist im Vergleich zu Teilaufgabe 2 stark gesunken auf weniger als ein Zehntel. Dies ergibt sich dadurch, dass nun doppelt so viele Fische krank sind, d.h. die Wahrscheinlichkeit einen Fehler zu machen, ist unwahrscheinlicher.

Bestimme den Testaufbau

Formuliere dazu die Null- und die Gegenhypothese $H_0, H_1$

Die Nullhypothese wird in der Regel so gewählt, dass man seine eigene Hypothese als Gegenhypothese setzt, um diese dann signifikant zu beweisen. Demnach ist die Nullhypothese $H_0$: $p\;=\;2\%$ . Die Gegenhypothese ist demnach $H_1$: $p\;>\;2\%$ .

Setze den Fehler 1. Art kleinergleich dem dem angegebenen Signifikanzniveau von 5%.

Betrachte dazu die folgende Tabelle:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c|c|c}\;&\mathrm{für \;H_0}&\mathrm{für \;H_1 (gegen \;H_0})\\\;& 0, \dots ,k& k+1, \dots ,100 \\\hline H_0:p=0{,}02& \; & \mathrm{Fehler \;1.Art < 0{,}05}\\\hline H_1:p>0{,}02 \; & \; & \\ \hline\end{array}$

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c|c|c}\;&\mathrm{für \;H_0}&\mathrm{für \;H_1 (gegen \;H_0})\\\;& 0, \dots ,k& k+1, \dots ,100 \\\hline H_0:p=0{,}02& \; & \mathrm{Fehler \;1.Art < 0{,}05}\\\hline H_1:p>0{,}02 \; & \; & \\ \hline\end{array}$

Der Fehler 1. Art beschreibt, dass die Nullhypothese zu Unrecht verworfen wird.

Suche in der kumulativen Tabelle den kleinsten Wert $(k-1)$ mit $n=100$ $p=0{,}2$ für den der Wert gerade größer als $0{,}95$ ist.

$\mathrm P_{0{,}02}^{100}(\mathrm X\;\leq\;4)\;\approx\;0{,}94917\;$

$\mathrm P_{0{,}02}^{100}(\mathrm X\;\leq\;5)\;\approx\;0{,}98452\;$

$\Rightarrow k=5$

Damit ist die Entscheidungsregel:

Nehme die Nullhypothese bei $5$ oder weniger Treffern an und lehne die Nullhypothese bei $6$ oder mehr Treffern ab.

Herr G sollte also bei sechs oder mehr veränderten Fischen Klage einreichen.

Es sind nun nicht mehr 100 sondern 200 betrachtete Fische.

Passe den Test den neuen Gegebenheiten an.

$\Leftrightarrow n=200$

Setze den Fehler 1. Art kleinergleich dem angegebenen Signifikanzniveau von 5%.

Der Fehler 1. Art beschreibt, dass die Nullhypothese zu Unrecht verworfen wird.

$\mathrm P_{0{,}02}^{200}(\mathrm X\;\geq\;\mathrm k+1)\;\leq0{,}05$

Formuliere den Term so um, dass man den Wert in der Tabelle finden kann.

$\Leftrightarrow\;1-\mathrm P_{0{,}02}^{200}(\mathrm X\;\leq\;\mathrm k)\;\leq\;0{,}05$ $\left|-1\right.$  auf beiden Seiten

$\Leftrightarrow-\mathrm P_{0{,}02}^{200}(\mathrm X\;\leq\;\mathrm k)\;\leq\;-0{,}95$ $\left|\cdot\left(-1\right)\right.$auf beiden Seiten (dabei dreht sich das Ungleichheitszeichen um)

$\Leftrightarrow\mathrm P_{0{,}02}^{200}(\mathrm X\;\leq\;\mathrm k)\;\geq\;0{,}95$

Suche in der kumulativen Tabelle den kleinsten Wert (k-1) mit n=200, p=0,2 für den der Wert gerade größer als 0,95 ist.

$\mathrm P_{0{,}02}^{200}(\mathrm X\;\leq\;6)\;\approx\;0{,}89144\;$

$\mathrm P_{0{,}02}^{200}(\mathrm X\;\leq\;7)\;\approx\;0{,}95066\;$

$\Rightarrow k=7$

Damit ist die Entscheidungsregel:

Nehme die Nullhypothese bei 7 oder weniger Treffern an und lehne die Nullhypothese bei 8 oder mehr Treffern ab.

Teste ob die genannte Anzahl von 8 Treffern im Ablehnungsbereich liegt.

Nach der Entscheidungsregel bedeuten 8 kranke Fische, dass die Nullhypothese verworfen werden muss und damit kann signifikant angenommen werden, dass sich die Anzahl auf über 2% erhöht hat.

Bemerkung: An dieser Teilaufgabe erkennt man, wie stark eine größere Stichprobe einen Test verbessern kann. Man hätte ja vermuten können, dass es egal ist, ob man 4 von 100 Fischen betrachtet, oder 8 von 200. Diese Aufgabe zeigt, dass eine größere Stichprobe bei gleichem Anteil von Treffern sogar einmal signifikant und einmal nicht signifikant sein kann.