Aufgaben zur Drehung - lernen mit Serlo!

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Gegeben ist das Dreieck $A B C$ mit den Eckpunkten $A (- 2 ∣ 0), B (4 ∣ 0)$ und $C (- 1 ∣ 7)$ .Die Eckpunkte $Q_{n}$ auf der Seite $[B C]$ des Dreiecks bilden mit dem Punkt $P$ und Punkten $R_{n}$ auf $g$ gleichschenklig-rechtwinklige Dreiecke $P Q_{n} R_{n}$ mit $\sphericalangle Q_nPR_n=90°$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drehung

Wir wollen also den Punkt $Q_{n}$ um $90 °$ um den Ursprung $P$ drehen.

Das heißt, man muss zuerst die Geradengleichung durch die Punkte $B$ und $C$ bestimmen, um die allgemeinen Koordinaten des Punktes $Q_{n}$ zu bekommen.

$\overrightarrow{BC}=\begin{pmatrix} -5\\7 \end{pmatrix}$

$\Rightarrow m_{BC}=-\frac{7}{5}$

$\Rightarrow BC:y=-\frac{7}{5}x +7$

$\Rightarrow Q_n(x|-\frac{7}{5}x+7)$

Die Drehung um $90 °$ wird besonders häufig gebraucht; somit verwenden wir hier direkt die folgende Matrixformel:

\displaystyle \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0 & -1\\1 & 0\end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}

\displaystyle \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0 & -1\\1 & 0\end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix}x \\ -\frac75x+7 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}\frac{7}{5}x-7\\ x\end{pmatrix}

$\Rightarrow$ Der gedrehte Punkt $R_{n}$ hat also folgende Koordinaten:

\displaystyle R_n\left( \frac{7}{5}x -7\vert x \right)

\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \Rightarrow \begin{array}{rrll}x'&=& \frac{7}{5}x -7 & (1) \\y'&=&x &(2)\end{array}

Als letztes muss noch der Trägergraph $g^{'}$ bestimmt werden: Dazu löst man die (1)-Gleichung nach $x$ auf.

\displaystyle x=\frac{5}{7}x'+5 \qquad(1')

Setze (1') in (2) ein:

\displaystyle y'= \frac{5}{7}x'+5

Die Gerade $g$ hat demnach folgende Gleichung:

\displaystyle g':y'=\frac{5}{7}x'+5

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