Aufgaben zur Drehung mit Matrizen

Hier findest du Übungsaufgaben zur Drehung mithilfe von Matrizen. Wiederhole wichtige Grundlagen und vertiefe dein Wissen!

1
Bestimme die Abbildungsgleichung bei einer Drehung des Punktes $P$ um den Winkel $α$ um den Ursprung und die Koordinaten des dadurch abgebildeten Punktes $P^{'}$ .
1. $α = 30 °$
  $P (1 | 4)$
  
  Lösungsweg 1: Koordinatenform
  $α = 30 °$
  Um den Punkt $P$ um den Ursprung zu drehen, kannst du die Koordinatenform benutzen:
  $x^{'} = x \cdot \cos α - y \cdot \sin α$
  $y^{'} = x \cdot \sin α + y \cdot \cos α$
  Um die Abbildungsgleichung zu erhalten, setzt du $α = 30 °$ ein.
  $x^{'} = x \cdot \cos 30 ° - y \cdot \sin 30 °$
  $y^{'} = x \cdot \sin 30 ° + y \cdot \cos 30 °$
  Um nun die Koordinaten des gedrehten Punktes $P^{'}$ zu bestimmen, setzt man die Koordinaten des ursprünglichen Punktes $P$ in die Abbildungsgleichung ein.
  $x^{'} = 1 \cdot \cos 30 ° - 4 \cdot \sin 30 °$
  $y^{'} = 1 \cdot \sin 30 ° + 4 \cdot \cos 30 °$
  Dies kannst du noch weiter vereinfachen.
  $x^{'} = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - 4 \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} - 2$
  $y^{'} = 1 \cdot \frac{1}{2} + 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} + 2 \sqrt{3}$
  $\Rightarrow P^{'} (\frac{\sqrt{3}}{2} - 2 | \frac{1}{2} + 2 \sqrt{3})$
  Nun hast du die Koordinaten des gedrehten Punktes $P^{'}$ bestimmt.
  Lösungsweg 2: Matrixform
  $α = 30 °$
  Um den Punkt $P$ um den Ursprung zu drehen, kannst du die Matrixform benutzen:
  $(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{cc} \cos α & - \sin α \\ \sin α & \cos α \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x \\ y \end{array})$
  Um die Abbildungsgleichung zu erhalten, setzt du $α = 30 °$ ein.
  $(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{cc} \cos 30 ° & - \sin 30 ° \\ \sin 30 ° & \cos 30 ° \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x \\ y \end{array})$
  Um nun die Koordinaten des gedrehten Punktes $P^{'}$ zu bestimmen, setzt man die Koordinaten des ursprünglichen Punktes $P$ in die Abbildungsgleichung ein.
  $(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{cc} \cos 30 ° & - \sin 30 ° \\ \sin 30 ° & \cos 30 ° \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 4 \end{array})$
  Dies kannst du noch weiter vereinfachen.
  $(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{cc} \frac{\sqrt{3}}{2} & - \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 4 \end{array}) = (\begin{array}{c} \frac{\sqrt{3}}{2} - 2 \\ \frac{1}{2} + 2 \sqrt{3} \end{array})$
  $\Rightarrow P^{'} (\frac{\sqrt{3}}{2} - 2 | \frac{1}{2} + 2 \sqrt{3})$
  Nun hast du die Koordinaten des gedrehten Punktes $P^{'}$ bestimmt.
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  Drehung
2. $α = 90 °$
  $P (3 | - 2)$
  
  Lösungsweg 1: Koordinatenform
  $α = 90 °$
  Um den Punkt $P$ um den Ursprung zu drehen, kannst du die Koordinatenform benutzen:
  $x^{'} = x \cdot \cos α - y \cdot \sin α$
  $y^{'} = x \cdot \sin α + y \cdot \cos α$
  Um die Abbildungsgleichung zu erhalten, setzt du $α = 90 °$ ein.
  $x^{'} = x \cdot \cos 90 ° - y \cdot \sin 90 °$
  $y^{'} = x \cdot \sin 90 ° + y \cdot \cos 90 °$
  Um nun die Koordinaten des gedrehten Punktes $P^{'}$ zu bestimmen, setzt man die Koordinaten des ursprünglichen Punktes $P$ in die Abbildungsgleichung ein.
  $x^{'} = 3 \cdot \cos 90 ° - (- 2) \cdot \sin 90 °$
  $y^{'} = 3 \cdot \sin 90 ° + (- 2) \cdot \cos 90 °$
  Dies kannst du noch vereinfachen.
  $x^{'} = 3 \cdot 0 - (- 2) \cdot 1 = 2$
  $y^{'} = 3 \cdot 1 + (- 2) \cdot 0 = 3$
  $\Rightarrow P^{'} (2 | 3)$
  Nun hast du die Koordinaten des gedrehten Punktes $P^{'}$ bestimmt.
  Lösungsweg 2: Matrixform
  Um den Punkt $P$ um den Ursprung zu drehen, kannst du die Matrixform benutzen:
  $(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{cc} \cos α & - \sin α \\ \sin α & \cos α \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x \\ y \end{array})$
  Um die Abbildungsgleichung zu erhalten, setzt du $α = 90 °$ ein.
  $(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{cc} \cos 90 ° & - \sin 90 ° \\ \sin 90 ° & \cos 90 ° \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x \\ y \end{array})$
  Um nun die Koordinaten des gedrehten Punktes $P^{'}$ zu bestimmen, setzt man die Koordinaten des ursprünglichen Punktes $P$ in die Abbildungsgleichung ein.
  $(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{cc} \cos 90 ° & - \sin 90 ° \\ \sin 90 ° & \cos 90 ° \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ - 2 \end{array})$
  Dies kannst du noch weiter vereinfachen.
  $(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{cc} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ - 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array})$
  $\Rightarrow P^{'} (2 | 3)$
  Nun hast du die Koordinaten des gedrehten Punktes $P^{'}$ bestimmt.
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  Drehung
3. $α = 120 °$
  $P (12,5 | - 3)$
  
  Lösungsweg 1: Koordinatenform
  Skizze:
  Um den Punkt $P$ um den Ursprung zu drehen, kannst du die Koordinatenform benutzen:
  $x^{'} = x \cdot \cos α - y \cdot \sin α$
  $y^{'} = x \cdot \sin α + y \cdot \cos α$
  Um die Abbildungsgleichung zu erhalten, setzt du $α = 120 °$ ein.
  $x^{'} = x \cdot \cos 120 ° - y \cdot \sin 120 °$
  $y^{'} = x \cdot \sin 120 ° + y \cdot \cos 120 °$
  Um nun die Koordinaten des gedrehten Punktes $P^{'}$ zu bestimmen, setzt man die Koordinaten des ursprünglichen Punktes $P$ in die Abbildungsgleichung ein.
  $x^{'} = 12,5 \cdot \cos 120 ° - (- 3) \cdot \sin 120 °$
  $y^{'} = 12,5 \cdot \sin 120 ° + (- 3) \cdot \cos 120 °$
  Dies kannst du noch vereinfachen.
  $x^{'} = 12,5 \cdot (- \frac{1}{2}) - (- 3) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = - 6,25 + 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$
  $y^{'} = 12,5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + (- 3) \cdot - (\frac{1}{2}) = 6,25 \cdot \sqrt{3} + 1,5$
  $\Rightarrow P^{'} (- 6,25 + 3 \frac{\sqrt{3}}{2} | 6,25 \sqrt{3} + 1,5)$
  Nun hast du die Koordinaten des gedrehten Punktes $P^{'}$ bestimmt.
  Lösungsweg 2: Matrixform
  Skizze:
  Um den Punkt $P$ um den Ursprung zu drehen, kannst du die Matrixform benutzen:
  $(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{cc} \cos α & - \sin α \\ \sin α & \cos α \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x \\ y \end{array})$
  Um die Abbildungsgleichung zu erhalten, setzt du $α = 120 °$ ein.
  $(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{cc} \cos 120 ° & - \sin 120 ° \\ \sin 120 ° & \cos 120 ° \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x \\ y \end{array})$
  Um nun die Koordinaten des gedrehten Punktes $P^{'}$ zu bestimmen, setzt man die Koordinaten des ursprünglichen Punktes $P$ in die Abbildungsgleichung ein.
  $(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{cc} \cos 120 ° & - \sin 120 ° \\ \sin 120 ° & \cos 120 ° \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 12,5 \\ - 3 \end{array})$
  Dies kannst du ebenfalls noch vereinfachen.
  $(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{cc} (- \frac{1}{2}) & - \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & (- \frac{1}{2}) \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 12,5 \\ - 3 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 6,25 + 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \\ 6,25 \cdot \sqrt{3} + 1,5 \end{array})$
  $\Rightarrow P^{'} (- 6,25 + 3 \frac{\sqrt{3}}{2} | 6,25 \sqrt{3} + 1,5)$
  Nun hast du die Koordinaten des gedrehten Punktes $P^{'}$ bestimmt.
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  Drehung
2
Berechne den Winkel $α$ , um welchen der Punkt $P$ zum Punkt $P^{'}$ gedreht wurde.
1. $P (5 | 0)$ , $P^{'} (\frac{5 \cdot \sqrt{3}}{2} | \frac{5}{2})$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drehung eines Punktes
  1. Variante: Koordinatenform
  $\begin{matrix} x^{'} & = & \cos α \cdot x & - & \sin α \cdot y \\ y^{'} & = & \sin α \cdot x & + & \cos α \cdot y \end{matrix}$
  Setze die beiden Punkte $P$ und $P^{'}$ in das Gleichungssystem ein.
  $\begin{matrix} \frac{5 \sqrt{3}}{2} & = & \cos α \cdot 5 & - & \sin α \cdot 0 \\ \frac{5}{2} & = & \sin α \cdot 5 & + & \cos α \cdot 0 \end{matrix}$
  Löse die Gleichungen nach $α$ auf.
  $\begin{matrix} \frac{\sqrt{3}}{2} & = & \cos α \\ \frac{1}{2} & = & \sin α \\ \Rightarrow α & = & 30 ° \end{matrix}$
  2. Variante: Matrixform
  $(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{cc} \cos α & - \sin α \\ \sin α & \cos α \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x \\ y \end{array})$
  Setze die beiden Punkte $P$ und $P^{'}$ in das Gleichungssystem ein.
  $(\begin{array}{c} \frac{5 \sqrt{3}}{2} \\ \frac{5}{2} \end{array}) = (\begin{array}{cc} \cos α & - \sin α \\ \sin α & \cos α \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 5 \\ 0 \end{array})$
  Führe die Matrix-Vektor-Multiplikation durch.
  $(\begin{array}{c} \frac{5 \sqrt{3}}{2} \\ \frac{5}{2} \end{array}) = (\begin{array}{c} 5 \cdot \cos α \\ 5 \cdot \sin α \end{array})$
  Schreibe die Gleichung in ein Gleichungssystem um.
  $\begin{matrix} \frac{5 \sqrt{3}}{2} & = 5 \cdot \cos α \\ \frac{5}{2} & = 5 \cdot \sin α \end{matrix}$
  Löse die Gleichungen.
  $\begin{matrix} \frac{\sqrt{3}}{2} & = & \cos α \\ \frac{1}{2} & = & \sin α \\ \Rightarrow α & = & 30 ° \end{matrix}$
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2. $P (3 | - 3)$ , $P^{'} (\frac{3}{2} \cdot (1 + \sqrt{3}) | \frac{3}{2} \cdot (- 1 + \sqrt{3}))$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drehung eines Punktes
  1. Variante: Koordinatenform
  $\begin{matrix} x^{'} & = & \cos α \cdot x & - & \sin α \cdot y \\ y^{'} & = & \sin α \cdot x & + & \cos α \cdot y \end{matrix}$
  Setze die beiden Punkte $P$ und $P^{'}$ in das Gleichungssystem ein.
  $\begin{matrix} \frac{3}{2} \cdot (1 + \sqrt{3}) & = & \cos α \cdot 3 & - & \sin α \cdot (- 3) \\ \frac{3}{2} \cdot (- 1 + \sqrt{3}) & = & \sin α \cdot 3 & + & \cos α \cdot (- 3) \end{matrix}$
  Löse die Gleichungen nach $α$ auf.
  $\begin{matrix} \frac{1}{2} \cdot (1 + \sqrt{3}) & = & \cos α & + & \sin α \\ \frac{1}{2} \cdot (- 1 + \sqrt{3}) & = & \sin α & - & \cos α \end{matrix}$
  Verwende das Addionsverfahren.
  $\begin{matrix} \frac{1}{2} \cdot (1 + \sqrt{3}) + \frac{1}{2} \cdot (- 1 + \sqrt{3}) & = & \cos α + \sin α + \sin α - \cos α \\ \frac{1}{2} \cdot (1 + \sqrt{3}) + \frac{1}{2} \cdot (- 1 + \sqrt{3}) & = & 2 \cdot \sin α \\ \sqrt{3} & = & 2 \cdot \sin α \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & = & \sin α \\ \Rightarrow α & = & 60 ° \end{matrix}$
  Vereinfache die Gleichung.
  2. Variante: Matrixform
  $(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{cc} \cos α & - \sin α \\ \sin α & \cos α \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x \\ y \end{array})$
  Setze die beiden Punkte $P$ und $P^{'}$ in das Gleichungssystem ein.
  $(\begin{array}{c} \frac{3}{2} \cdot (1 + \sqrt{3}) \\ \frac{3}{2} \cdot (- 1 + \sqrt{3}) \end{array}) = (\begin{array}{cc} \cos α & - \sin α \\ \sin α & \cos α \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ - 3 \end{array})$
  Führe die Matrix-Vektor-Multiplikation durch.
  $(\begin{array}{c} \frac{3}{2} \cdot (1 + \sqrt{3}) \\ \frac{3}{2} \cdot (- 1 + \sqrt{3}) \end{array}) = (\begin{array}{cc} \cos α \cdot 3 & - \sin α \cdot (- 3) \\ \sin α \cdot 3 & \cos α \cdot (- 3) \end{array}) \cdot$
  Schreibe die Gleichung in ein Gleichungssystem um.
  $\begin{matrix} \frac{3}{2} \cdot (1 + \sqrt{3}) & = & \cos α \cdot 3 & - & \sin α \cdot (- 3) \\ \frac{3}{2} \cdot (- 1 + \sqrt{3}) & = & \sin α \cdot 3 & + & \cos α \cdot (- 3) \end{matrix}$
  Löse die Gleichungen.
  $\begin{matrix} \frac{1}{2} \cdot (1 + \sqrt{3}) & = & \cos α & + & \sin α \\ \frac{1}{2} \cdot (- 1 + \sqrt{3}) & = & \sin α & - & \cos α \\ \Rightarrow α & = & 60 ° \end{matrix}$
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3
Die Gerade $g$ wird durch Drehung um den Ursprung mit dem Winkelmaß $α$ auf die Gerade $g^{'}$ abgebildet. Berechne die Geradengleichung von $g^{'}$ .
1. $g : y = 2 x + 4$ mit $α = 50 °$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drehung einer Gerade
  Skizze:
  Die Gerade $g$ mit $y = 2 x + 4$ soll mit dem Winkel $α = 50 °$ um den Ursprung gedreht werden.
  Gesucht ist jetzt also die Geradengleichung von $g^{'}$ .
  Man wählt einen allgemeinen Punkt $P_{n} (x | 2 x + 4)$ auf der Geraden und dreht diesen um $50 °$ um den Ursprung:
  $(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{matrix} \cos 50 ° - \sin 50 ° \\ \sin 50 ° \cos 50 ° \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x \\ 2 x + 4 \end{matrix}) =$
  $(\begin{matrix} 0,6 - 0,8 \\ 0,8 0,6 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x \\ 2 x + 4 \end{matrix}) =$
  $(\begin{array}{c} 0,6 x - 0,8 (2 x + 4) \\ 0,8 x + 0,6 (2 x + 4) \end{array}) =$
  $(\begin{array}{c} - x - 3,2 \\ 2 x + 2,4 \end{array})$
  $\Rightarrow \begin{array}{rrcc} x^{'} & = - x & - 3,2 & (1) \\ y^{'} & = 2 x & + 2,4 & (2) \end{array}$
  $\Rightarrow P_{n}^{'} (- x - 3,2 | 2 x + 2,4)$
  Als letztes muss noch der Trägergraph $g^{'}$ bestimmt werden:
  Dazu löst man die (1)-Gleichung nach $x$ auf.
  $x = - x^{'} - 3,2$
  Setze (1') in (2) ein:
  $y^{'} = 2 \cdot (- x^{'} - 3,2) + 2,4 = - 2 x^{'} - 6,4 + 2,4 = - 2 x^{'} - 4$
  Die gedrehte Gerade hat demnach folgende Gleichung $y^{'} = - 2 x^{'} - 4$
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2. $g : y = x - 3$ mit $α = - 30 °$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drehung einer Gerade
  $g : y = x - 3$ , $α = - 30 °$
  Wähle einen beliebigen Punkt auf der Gerade.
  $P_{n} (x | x - 3)$
  Nun spiegelst du diesen Punkt $P_{n}$ an der Geraden $g$ auf den Bildpunkt $P_{n}^{'}$ .
  $(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{cc} \cos α & - \sin α \\ \sin α & \cos α \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x \\ y \end{array})$
  Setze den allgemeinen Punkt $P_{n}$ und den Winkel $α$ in die Gleichung ein.
  $(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{cc} \cos (- 30 °) & - \sin (- 30 °) \\ \sin (- 30 °) & \cos (- 30 °) \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x \\ x - 3 \end{array}) = (\begin{array}{cc} \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\ - \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x \\ x - 3 \end{array})$
  Führe die Matrix-Vektor-Multiplikation durch.
  $(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{c} \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot x + \frac{1}{2} \cdot (x - 3) \\ - \frac{1}{2} \cdot x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (x - 3) \end{array}) = (\begin{array}{c} \frac{1 + \sqrt{3}}{2} \cdot x - \frac{3}{2} \\ \frac{- 1 + \sqrt{3}}{2} \cdot x - \frac{3 \sqrt{3}}{2} \end{array})$
  $\Rightarrow P_{n}^{'} (\frac{1 + \sqrt{3}}{2} \cdot x - \frac{3}{2} | \frac{- 1 + \sqrt{3}}{2} \cdot x - \frac{3 \sqrt{3}}{2})$
  $P_{n}^{'}$ ist ein beliebiger Punkt auf der Bildgeraden.
  Bestimme nun den Trägergraph $g^{'}$ .
  $\begin{matrix} x^{'} & = & \frac{1 + \sqrt{3}}{2} \cdot x & - & \frac{3}{2} \\ y^{'} & = & \frac{- 1 + \sqrt{3}}{2} \cdot x & - & \frac{3 \sqrt{3}}{2} \end{matrix}$
  Löse die erste Gleichung nach $x^{'}$ auf und setze diese in die zweite Gleichung ein.
  $x = \frac{2 \cdot x^{'}}{1 + \sqrt{3}} - \frac{3}{1 + \sqrt{3}}$
  $y^{'} = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{2} \cdot (\frac{2 \cdot x^{'}}{1 + \sqrt{3}} - \frac{3}{1 + \sqrt{3}}) - \frac{3}{2} = \frac{\sqrt{3} - 1}{2} \cdot x^{'} - \frac{9 + 3 \sqrt{3}}{4}$
  Die gespiegelte Gerade $g^{'} : y^{'} = \frac{\sqrt{3} - 1}{2} \cdot x^{'} - \frac{9 + 3 \sqrt{3}}{4}$
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3. $g : y = - 0,5 x - 1$ mit $α = 120 °$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drehung einer Gerade
  Die Gerade $g$ mit $y = - 0,5 x - 1$ soll mit dem Winkel $α = 120 °$ um den Ursprung gedreht werden.
  Gesucht ist jetzt also die Geradengleichung von $g^{'}$ .
  Man wählt einen allgemeinen Punkt $P_{n} (x | - 0,5 x - 1)$ auf der Geraden und dreht diesen um $120 °$ um den Ursprung:
  $(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{matrix} \cos 120 ° - \sin 120 ° \\ \sin 120 ° \cos 120 ° \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x \\ - 0,5 x - 1 \end{matrix}) =$
  $(\begin{matrix} - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x \\ - 0,5 x - 1 \end{matrix}) =$
  $(\begin{array}{c} - \frac{1}{2} x + \frac{\sqrt{3}}{4} x + \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} x + \frac{1}{4} x + \frac{1}{2} \end{array}) =$
  $(\begin{array}{c} \frac{\sqrt{3} - 2}{4} x + \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3} + 2}{4} x + \frac{1}{2} \end{array})$
  $\Rightarrow \begin{array}{rrcc} x^{'} & = \frac{\sqrt{3} - 2}{4} x & + \frac{\sqrt{3}}{2} & (1) \\ y^{'} & = \frac{\sqrt{3} + 2}{4} x & + \frac{1}{2} & (2) \end{array}$
  $\Rightarrow P_{n}^{'} (\frac{\sqrt{3} - 2}{4} x + \frac{\sqrt{3}}{2} | \frac{\sqrt{3} + 2}{4} x + \frac{1}{2})$
  Als letztes muss noch der Trägergraph $g^{'}$ bestimmt werden:
  Dazu löst man die (1)-Gleichung nach $x$ auf.
  $x = \frac{4 (x^{'} - \frac{\sqrt{3}}{2})}{\sqrt{3} - 2}$
  Setze (1') in (2) ein:
  $y^{'} = \frac{\sqrt{3} + 2}{4} \cdot \frac{4 (x^{'} - \frac{\sqrt{3}}{2})}{\sqrt{3} - 2} + \frac{1}{2} = (7 + 4 \sqrt{3}) x^{'} - 12 - \frac{13}{2} \sqrt{3}$
  Die gedrehte Gerade hat demnach folgende Gleichung $y^{'} = (7 + 4 \sqrt{3}) x^{'} - 12 - \frac{13}{2} \sqrt{3}$
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4
Der Graph zu $f$ mit $y = 2^{x + 4} - 1$ definiert die Position der Punkte $D_{n} (x | 2^{x + 4} - 1)$ . Diese bilden zusammen mit $A (1 | 1), B_{n}$ und $C_{n}$ das Quadrat $A B_{n} C_{n} D_{n}$ .
Links siehst du den Graphen mit den Quadraten $A B_{1} C_{1} D_{1}$ für den Fall $x_{1} = - 2$ und $A B_{2} C_{2} D_{2}$ für den Fall $x_{2} = - 3$ .
Zeige, dass für $B_{n}$ in Abhängigkeit von $D$ gilt: $B = (2^{x + 4} - 1 | - x + 2)$ .
Überprüfe anschließend ob es für $B_{n}$ Punkte auf der x-Achse, bzw. y-Achse gibt.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektor aufstellen
Koordinaten des Punktes $B$
$A (1 | 1)$
$D_{n} (x | 2^{x + 4} - 1)$
Stelle den Vektor $\vec{A D}$ auf mithilfe der Regel Spitze minus Fuß.
$\vec{A D} = (\begin{array}{c} x \\ 2^{x + 4} - 1 \end{array}) - (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}) =$ $(\begin{array}{c} x - 1 \\ 2^{x + 4} - 2 \end{array})$
Drehe nun den Vektor um $90 °$ im Uhrzeigersinn. Das entspricht einer Drehung um $270 °$ gegen den Uhrzeigersinn.
$\vec{A B} = (\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x - 1 \\ 2^{x + 4} - 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 2^{x + 4} - 2 \\ - x + 1 \end{array})$
Der Vektor muss nun noch um $\vec{O A}$ verschoben werden.
$\vec{O A} + \vec{A B} = (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}) + (\begin{array}{c} 2^{x + 4} - 2 \\ - x + 1 \end{array}) =$ $(\begin{array}{c} 2^{x + 4} - 1 \\ - x + 2 \end{array})$
Damit ergeben sich die Koordinaten: $B = (2^{x + 4} - 1 | - x + 2)$
Punkte auf der x-Achse
Um zu testen, ob es Punkte auf der x-Achse gibt musst du die y-Koordinate mit Null gleichsetzen.
$- x + 2 = 0$
$\Leftrightarrow x = 2$
Daraus folgt, dass es für $x = 2$ einen Punkt $B_{n}$ auf der x-Achse gibt.
Punkte auf der y-Achse
Für die y-Achse muss die x-Koordinate mit Null gleichgesetzt werden.
$2^{x + 4} - 2 = 0$
$2^{x + 4} = 2$
Dies ist nur erfüllt für $B_{n}$ mit $x = - 3$ .
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Die Gerade $h$ mit der Gleichung $y = x$ $(𝔾 = ℝ \times ℝ)$ ist Symmetrieachse von Rauten $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ . Die Diagonalen $[B_{n} D_{n}]$ der Rauten $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ liegen auf der Geraden $h$ . Die Punkte $A_{n} (x | 2 x + 3)$ liegen auf der Geraden $g$ mit der Gleichung $y = 2 x + 3$ $(𝔾 = ℝ \times ℝ)$ . Die Abszisse der Punkte $D_{n}$ ist stets um vier größer als die Abszisse $x$ der Punkte $A_{n}$ . Dabei gilt: $x \in]$ - $3; 5 [$ .
Runde im folgenden auf zwei Nachkommastellen!
1. Zeichne die Geraden $g$ und $h$ sowie die Raute $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ für $x = - 0,5$ und die Raute $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ für $x = 2,5$ in ein Koordinatensystem! Für die Zeichnung: Längeneinheit $1 c m$ ; $- 4 \leq x \leq 9; - 3 \leq y \leq 9$ .
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Punkt an Achse spiegeln
  Zeichnen der Raute $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$
  Du fängst mit der Raute $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ an. Gegeben sind $x$ = $- 0,5$ und die Gleichungen $y = 2 x + 3$ für den Punkt $A_{1}$ und $y = x$ für die Punkte $C_{1}$ und $D_{1}$
  Erst berechnest du die $y$ -Koordinate von $A_{1}$ .
  $y_{A_{1}} = 2 \cdot - 0,5 + 3 = 2$
  Du trägst den Punkt $A_{1} (- 0,5 | 2)$ ein. Dann berechnest du die Koordinaten von $D_{1}$ .
  $x_{D_{1}} = x_{A_{1}} + 4 = - 0,5 + 4 = 3,5$
  $y_{D_{1}} = 3,5$
  Du trägst den Punkt $D_{1} (3,5 | 3,5)$ ein. Dann spiegelst du $A_{1}$ an $h$ , um $C_{1}$ einzutragen.
  Als nächstes zeichnest du die Strecke $[A_{1} C_{1}]$ und spiegelst $D_{1}$ an dieser, um $B_{1}$ einzutragen.
  Die Koordinaten von $C_{1}$ und $B_{1}$ musst du nicht berechnen.
  Zeichnen der Raute $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$
  Für die Raute $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ : Gegeben sind $x = 2,5$ und die Gleichungen $y = 2 x + 3$ für den Punkt $A_{2}$ und $y = x$ für die Punkte $C_{2}$ und $D_{2}$ .
  Du gehst für die zweite Raute genauso vor, wie für die erste.
  Erst berechnest du die $y$ -Koordinate von $A_{2}$ .
  $y_{A_{2}} = 2 \cdot 2,5 + 3 = 8$
  Du trägst den Punkt $A_{2} (2,5 | 8)$ ein. Dann berechnest du die Koordinaten von $D_{2}$ .
  $x_{D_{2}} = x_{A_{2}} + 4 = 2,5 + 4 = 6,5$
  $y_{D_{2}} = 6,5$
  Dann spiegelst du wieder $A_{2}$ an $h$ , um $C_{2}$ einzutragen und $D_{2}$ an $[A_{2} C_{2}]$ , um $B_{2}$ einzutragen.
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2. Zeige, dass für die Punkte $D_{n}$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_{n}$ gilt: $D_{n} (x + 4 | x + 4)$ ! Bestätige sodann durch Rechnung die untere Intervallgrenze $x = - 3$ der Rauten $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ !
  
  1. Teilaufgabe
  Die Abszissen der Punkte $D_{n}$ sind um 4 größer als die Abszissen der Punkte $A_{n}$ (in der Aufgabe definiert). Die Punkte $D_{n}$ liegen auf der Geraden $y = x$ .
  Damit sind die Koordinaten der Punkte $D_{n} (x + 4 | x + 4)$ .
  2. Teilaufgabe
  Die untere Intervallgrenze ist die Stelle, an der sich die Geraden $g : y = 2 x + 3$ und $h : y = x$ schneiden.
  Du berechnest also den Schnittpunkt der beiden Geraden
  $2 x + 3 = x$
  und löst nach $x$ auf.
  $\Leftrightarrow x = - 3$
  $\Rightarrow$ Die untere Intervallgrenze ist $x = - 3$ .
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3. Begründe, warum sich für $[A_{n} D_{n}] ⟂ h$ die obere Intervallgrenze $x = 5$ ergibt und bestätige diese durch Rechnung!
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt
  Sobald $D_{n}$ auf der Diagonalen $[A_{n} C_{n}]$ liegt, liegt auch das an dieser Diagonalen gespiegelte $B_{n}$ auf der Diagonalen und es gibt keine Raute mehr.
  Wenn das eintritt, ist die Strecke $[A_{n} D_{n}]$ orthogonal zur Geraden $h$ .
  Die Strecke $[A_{n} D_{n}]$ kannst du als Vektor schreiben:
  $\vec{A_{n} D_{n}} = (\begin{array}{c} x + 4 - x \\ x + 4 - (2 x + 3) \end{array})$
  Wenn dieser orthogonal zur Geraden $h$ ist, ist das Skalarprodukt des Richtungsvektors der Geraden $h$ und der Strecke $[A_{n} D_{n}]$ gleich null.
  $ \begin{array}{lcr} (\begin{array}{c} x + 4 - x \\ x + 4 - (2 x + 3) \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}) = 0 \\ \Leftrightarrow & x + 4 - x + x + 4 - (2 x + 3) = 0 \\ \Leftrightarrow & x = 5 \end{array}$
  Daher wurde die obere Intervallgrenze $x = 5$ gewählt.
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4. Bestimme rechnerisch die Koordinaten der Punkte $C_{n}$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_{n}$ !
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spiegelung an einer Ursprungsgeraden
  Gegeben: $A_{n} (x | 2 x + 3)$
  Spiegelachse: $y = x$
  Du hast in Teilaufgabe 1 die Punkte $C_{1}$ und $C_{2}$ konstruiert, indem du die Punkte $A_{1}$ und $A_{2}$ an der Diagonalen $B_{n} D_{n}$ gespiegelt hast. Dies kannst du für alle Punkte $C_{n}$ machen.
  Zunächst berechnest du den Winkel, den die Spiegelachse mit der x-Achse einschließt.
  $α = t a n^{- 1} (m) = t a n^{- 1} (1) = 45^{\circ}$
  Das kannst du in die Formel für die Achsenspiegelung an einer Ursprungsgeraden einsetzen.
  $(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{cc} \cos 2 α & \sin 2 α \\ \sin 2 α & - \cos 2 α \end{array})$ $\cdot (\begin{array}{c} x \\ y \end{array})$
  $= (\begin{array}{cc} \cos 2 \cdot 45^{\circ} & \sin 2 \cdot 45^{\circ} \\ \sin 2 \cdot 45^{\circ} & - \cos 2 \cdot 45^{\circ} \end{array})$ $\cdot (\begin{array}{c} x \\ 2 x + 3 \end{array})$
  $= (\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x \\ 2 x + 3 \end{array})$
  $= (\begin{array}{c} 2 x + 3 \\ x \end{array})$
  $\Rightarrow$ Die Koordinaten der Punkte $C_{n}$ in Abhängigkeit von der Abszisse x der Punkte $A_{n}$ sind $(2 x + 3 | x)$ .
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5. Berechne den Flächeninhalt $A$ der Rauten $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_{n}$ !
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt einer Raute berechnen
  Gegeben: $A_{n} (x | 2 x + 3)$ , $C_{n} (2 x + 3 | x)$ , $D_{n} (x + 4 | x + 4)$
  Du bildest zuerst den Vektor $\vec{D_{n} A_{n}}$
  $\begin{array}{lcr} \vec{D_{n} A_{n}} = & (\begin{array}{c} x - (x + 4) \\ 2 x + 3 - (x + 4) \end{array}) \\ = & (\begin{array}{c} - 4 \\ x - 1 \end{array}) \end{array}$
  Dann bildest du den Vektor $\vec{D_{n} C_{n}}$ .
  $\begin{array}{lcr} \vec{D_{n} C_{n}} = & (\begin{array}{c} 2 x + 3 - (x + 4) \\ x - (x + 4) \end{array}) \\ = & (\begin{array}{c} x - 1 \\ - 4 \end{array}) \end{array}$
  Mit der Determinante rechnest du jetzt den Flächeninhalt $A$ aus. Das kannst du machen, da die Raute aus zwei gleich großen Dreiecken besteht.
  $\begin{array}{l} \begin{array}{lcr} A (x) = (\begin{array}{cc} - 4 & x - 1 \\ x - 1 & - 4 \end{array}) \end{array} \\ = 16 - (x - 1) (x - 1) \\ = - x^{2} + 2 x + 15 \end{array}$
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6. Die Seite $[C_{3} D_{3}]$ der Raute $A_{3} B_{3} C_{3} D_{3}$ verläuft senkrecht zur $x$ -Achse. Berechne die Koordinaten des Punktes $D_{3}$ !
  
  Gegeben: $D_{n} (x + 4 | x + 4)$ , $C_{n} (2 x + 3 | x)$
  Wenn die Strecke $[C_{3} D_{3}]$ orthogonal zur $x$ -Achse ist, sind die Abszissen der Punkte $C_{3}$ und $D_{3}$ gleich.
  $\begin{array}{lcr} x_{D_{3}} = x_{C_{3}} \\ x + 4 = 2 x + 3 \\ \Leftrightarrow & x = 1 \end{array}$
  Das Ergebnis setzt du in die Koordinaten von $D_{n} (x + 4 | x + 4)$ ein.
  $D_{3} (1 + 4 | 1 + 4) = (5 | 5)$
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7. In der Raute $A_{4} B_{4} C_{4} D_{4}$ hat die Diagonale $[A_{4} C_{4}]$ die gleiche Länge wie die Seite $[A_{4} D_{4}]$ . Begründe, dass für die Diagonale $[B_{4} D_{4}]$ gilt: $B_{4} D_{4} = A_{4} D_{4} \cdot \sqrt{3}$ !
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Höhe eines gleichseitigen Dreiecks
  Du beschreibst zuerst die allgemeinen Eigenschaften einer Raute und verbindest das dann mit den Bedingungen, die in der Aufgabe gegeben sind. Es ist oft sinnvoll, eine Raute in zwei Dreiecke zu unterteilen und sich zunächst nur eins von diesen anzugucken.
  Das markierte Dreieck $A_{4} C_{4} D_{4}$ ist gleichseitig:
  $a = A_{4} C_{4} = C_{4} D_{4} = D_{4} A_{4}$
  Die Höhe $b$ eines gleichseitigen Dreiecks mit Seitenlänge $a$ kannst du der Formelsammlung entnehmen (oder diesem Artikel)
  $b = \frac{\sqrt{3}}{2} a$
  Die Strecke $[B_{4} D_{4}]$ ist doppelt so lang wie die Höhe $b$ des Dreiecks. Es gilt demnach:
  $B_{4} D_{4} = 2 \cdot b = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot a = \sqrt{3} \cdot a$
  Jetzt verbindest du noch deine Argumente, um die gleiche Formel wiederzugeben, die in der Aufgabe verlangt ist.
  $a = A_{4} D_{4}$
  $\Rightarrow B_{4} D_{4} = \sqrt{3} \cdot A_{4} D_{4}$
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Gegeben ist das Dreieck $A B C$ mit den Eckpunkten $A (- 2 | 0), B (4 | 0)$ und $C (- 1 | 7)$ .Die Eckpunkte $Q_{n}$ auf der Seite $[B C]$ des Dreiecks bilden mit dem Punkt $P$ und Punkten $R_{n}$ auf $g$ gleichschenklig-rechtwinklige Dreiecke $P Q_{n} R_{n}$ mit $∢ Q_{n} P R_{n} = 90 °$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drehung
Wir wollen also den Punkt $Q_{n}$ um $90 °$ um den Ursprung $P$ drehen.
Das heißt, man muss zuerst die Geradengleichung durch die Punkte $B$ und $C$ bestimmen, um die allgemeinen Koordinaten des Punktes $Q_{n}$ zu bekommen.
$\vec{B C} = (\begin{array}{c} - 5 \\ 7 \end{array})$
$\Rightarrow m_{B C} = - \frac{7}{5}$
$\Rightarrow B C : y = - \frac{7}{5} x + 7$
$\Rightarrow Q_{n} (x | - \frac{7}{5} x + 7)$
Die Drehung um $90 °$ wird besonders häufig gebraucht; somit verwenden wir hier direkt die folgende Matrixformel:
$(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{cc} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x \\ y \end{array})$
$(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{cc} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x \\ - \frac{7}{5} x + 7 \end{array}) = (\begin{array}{c} \frac{7}{5} x - 7 \\ x \end{array})$
$\Rightarrow$ Der gedrehte Punkt $R_{n}$ hat also folgende Koordinaten:
$R_{n} (\frac{7}{5} x - 7 | x)$
$\Rightarrow \begin{array}{rrll} x^{'} & = & \frac{7}{5} x - 7 & (1) \\ y^{'} & = & x & (2) \end{array}$
Als letztes muss noch der Trägergraph $g^{'}$ bestimmt werden: Dazu löst man die (1)-Gleichung nach $x$ auf.
$x = \frac{5}{7} x^{'} + 5 (1^{'})$
Setze (1') in (2) ein:
$y^{'} = \frac{5}{7} x^{'} + 5$
Die Gerade $g$ hat demnach folgende Gleichung:
$g^{'} : y^{'} = \frac{5}{7} x^{'} + 5$
7
Bestimme den Punkt $P^{'}$ , den du durch eine Drehung des Punktes $P$ um das Zentrum $Z$ mit dem Winkel $α$ erhältst.
1. $P (3 | 4)$ , $Z (2 | 1)$ , $α = 30 °$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drehung eines Punktes um ein Zentrum
  1. Schritt: Bestimme die Koordinaten des Hilfsvektors $\overset{⟶}{O}$ .
  $\overset{⟶}{O} = \overset{⟶}{Z}$
  Setze die Koordinaten des Vektors ein.
  $\overset{⟶}{Z} = (\begin{array}{c} 3 - 2 \\ 4 - 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \end{array}) = \overset{⟶}{O}$
  2. Schritt: Drehe $\overset{⟶}{O}$ mit Winkel $α = 30 °$ um den Ursprung.
  $\overset{⟶}{O} = (\begin{array}{cc} \cos α & - \sin α \\ \sin α & \cos α \end{array}) \cdot \overset{⟶}{O}$
  Setze den Vektor $\overset{⟶}{O}$ und den Winkel $α$ ein.
  $= (\begin{array}{cc} \cos 30 ° & - \sin 30 ° \\ \sin 30 ° & \cos 30 ° \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \end{array})$
  Führe die Matrix-Vektor-Multiplikation durch.
  $\Rightarrow \overset{⟶}{O} = (\begin{array}{c} \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{3}{2} \\ \frac{1}{2} + \frac{3 \sqrt{3}}{2} \end{array})$
  3. Schritt: Verschiebe den Vektor $\overset{⟶}{O}$ um den Vektor $\overset{⟶}{O}$ .
  $\overset{⟶}{O} = \overset{⟶}{O} + \overset{⟶}{O}$
  Setze die Vektoren ein.
  $\overset{⟶}{O} = (\begin{array}{c} \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{3}{2} \\ \frac{1}{2} + \frac{3 \sqrt{3}}{2} \end{array}) + (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{3}{2} + \frac{3 \sqrt{3}}{2} \end{array})$
  $\Rightarrow P^{'} = (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} | \frac{3}{2} + \frac{3 \sqrt{3}}{2})$ ist der gesuchte Punkt.
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2. $P (- 3 | 2)$ , $Z (0 | - 2)$ , $α = 315 °$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drehung um einen Punkt
  1. Schritt: Bestimme die Koordinaten des Hilfsvektors $\overset{⟶}{O}$ .
  $\overset{⟶}{O} = \overset{⟶}{Z}$
  Setze die Koordinaten des Vektors ein.
  $\overset{⟶}{Z} = (\begin{array}{c} - 3 - 0 \\ 2 - (- 2) \end{array}) = (\begin{array}{c} - 3 \\ 4 \end{array}) = \overset{⟶}{O}$
  2. Schritt: Drehe $\overset{⟶}{O}$ mit Winkel $α = 315 °$ um den Ursprung.
  $\overset{⟶}{O} = (\begin{array}{cc} \cos α & - \sin α \\ \sin α & \cos α \end{array}) \cdot \overset{⟶}{O}$
  Setze den Vektor $\overset{⟶}{O}$ und den Winkel $α$ ein.
  $= (\begin{array}{cc} \cos 315 ° & - \sin 315 ° \\ \sin 315 ° & \cos 315 ° \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} - 3 \\ 4 \end{array}) = (\begin{array}{cc} \frac{1}{\sqrt{2}} & - \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} - 3 \\ 4 \end{array})$
  Führe die Matrix-Vektor-Multiplikation durch.
  $\Rightarrow \overset{⟶}{O} = (\begin{array}{c} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{7}{\sqrt{2}} \end{array})$
  3. Schritt: Verschiebe den Vektor $\overset{⟶}{O}$ um den Vektor $\overset{⟶}{O}$ .
  $\overset{⟶}{O} = \overset{⟶}{O} + \overset{⟶}{O}$
  Setze die Vektoren ein.
  $\Rightarrow \overset{⟶}{O} = (\begin{array}{c} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{7}{\sqrt{2}} \end{array}) + (\begin{array}{c} 0 \\ - 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{7}{\sqrt{2}} - 2 \end{array})$
  $\Rightarrow P^{'} = (\frac{1}{\sqrt{2}} | \frac{7}{\sqrt{2}} - 2)$ ist der gesuchte Punkt.
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3. $P (1 | - 3)$ , $Z (- 1 | - 2)$ , $α = 60 °$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drehung um einen Punkt
  1. Schritt: Bestimme die Koordinaten des Hilfsvektors $\overset{⟶}{O}$ .
  $\overset{⟶}{O} = \overset{⟶}{Z}$
  Setze die Koordinaten des Vektors ein.
  $\overset{⟶}{Z} = (\begin{array}{c} 1 - (- 1) \\ - 3 - (- 2) \end{array}) = (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \end{array}) = \overset{⟶}{O}$
  2. Schritt: Drehe $\overset{⟶}{O}$ mit Winkel $α = 60 °$ um den Ursprung.
  $\overset{⟶}{O} = (\begin{array}{cc} \cos α & - \sin α \\ \sin α & \cos α \end{array}) \cdot \overset{⟶}{O}$
  Setze den Vektor $\overset{⟶}{O}$ und den Winkel $α$ ein.
  $= (\begin{array}{cc} \cos 60 ° & - \sin 60 ° \\ \sin 60 ° & \cos 60 ° \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \end{array})$
  Führe die Matrix-Vektor-Multiplikation durch.
  $\Rightarrow \overset{⟶}{O} = (\begin{array}{c} 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \sqrt{3} - \frac{1}{2} \end{array})$
  3. Schritt: Verschiebe den Vektor $\overset{⟶}{O}$ um den Vektor $\overset{⟶}{O}$ .
  $\overset{⟶}{O} = \overset{⟶}{O} + \overset{⟶}{O}$
  Setze die Vektoren ein.
  $\Rightarrow \overset{⟶}{O} = (\begin{array}{c} 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \sqrt{3} - \frac{1}{2} \end{array}) + (\begin{array}{c} - 1 \\ - 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \sqrt{3} - \frac{5}{2} \end{array})$
  $\Rightarrow P^{'} = (\frac{\sqrt{3}}{2} | \sqrt{3} - \frac{5}{2})$ ist der gesuchte Punkt.
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4. $P (2 | - 2)$ , $Z (2 | - 1)$ , $α = 120 °$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drehung um einen Punkt
  1. Schritt: Bestimme die Koordinaten des Hilfsvektors $\overset{⟶}{O}$ .
  $\overset{⟶}{O} = \overset{⟶}{Z}$
  Setze die Koordinaten des Vektors ein.
  $\overset{⟶}{Z} = (\begin{array}{c} 2 - 2 \\ - 2 - (- 1) \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \end{array}) = \overset{⟶}{O}$
  2. Schritt: Drehe $\overset{⟶}{O}$ mit Winkel $α = 120 °$ um den Ursprung.
  $\overset{⟶}{O} = (\begin{array}{cc} \cos α & - \sin α \\ \sin α & \cos α \end{array}) \cdot \overset{⟶}{O}$
  Setze den Vektor $\overset{⟶}{O}$ und den Winkel $α$ ein.
  $= (\begin{array}{cc} \cos 120 ° & - \sin 120 ° \\ \sin 120 ° & \cos 120 ° \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \end{array})$
  Führe die Matrix-Vektor-Multiplikation durch.
  $\Rightarrow \overset{⟶}{O} = (\begin{array}{c} \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{1}{2} \end{array})$
  3. Schritt: Verschiebe den Vektor $\overset{⟶}{O}$ um den Vektor $\overset{⟶}{O}$ .
  $\overset{⟶}{O} = \overset{⟶}{O} + \overset{⟶}{O}$
  Setze die Vektoren ein.
  $\Rightarrow \overset{⟶}{O} = (\begin{array}{c} \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{1}{2} \end{array}) + (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 \\ - \frac{1}{2} \end{array})$
  $\Rightarrow P^{'} = (\frac{\sqrt{3}}{2} + 2 | - \frac{1}{2})$ ist der gesuchte Punkt.
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