Aufgaben zur Drehung mit Matrizen

Hier findest du Übungsaufgaben zur Drehung mithilfe von Matrizen. Wiederhole wichtige Grundlagen und vertiefe dein Wissen!

1
Bestimme die Abbildungsgleichung bei einer Drehung des Punktes $P$ um den Winkel $\alpha$ um den Ursprung und die Koordinaten des dadurch abgebildeten Punktes $P^{'}$ .
1. $\alpha=30°$
  $P (1 ∣ 4)$
  
  Lösungsweg 1: Koordinatenform
  $\alpha=30°$
  Um den Punkt $P$ um den Ursprung zu drehen, kannst du die Koordinatenform benutzen:
  $x'=x\cdot \cos{\alpha}-y\cdot \sin{\alpha}$
  $y'=x\cdot \sin{\alpha}+y\cdot \cos{\alpha}$
  Um die Abbildungsgleichung zu erhalten, setzt du $\alpha=30°$ ein.
  $x'=x\cdot \cos{30°}-y\cdot \sin{30°}$
  $y'=x\cdot \sin{30°}+y\cdot \cos{30°}$
  Um nun die Koordinaten des gedrehten Punktes $P^{'}$ zu bestimmen, setzt man die Koordinaten des ursprünglichen Punktes $P$ in die Abbildungsgleichung ein.
  $x'=1\cdot \cos{30°}-4\cdot \sin{30°}$
  $y'=1\cdot \sin{30°}+4\cdot \cos{30°}$
  Dies kannst du noch weiter vereinfachen.
  $x'=1\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-4\cdot \frac12=\frac{\sqrt{3}}{2}-2$
  $y'=1\cdot \frac12+4\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac12+2\sqrt{3}$
  $\Rightarrow P'(\frac{\sqrt3}{2}-2|\frac{1}{2}+2\sqrt3)$
  Nun hast du die Koordinaten des gedrehten Punktes $P^{'}$ bestimmt.
  Lösungsweg 2: Matrixform
  $\alpha=30°$
  Um den Punkt $P$ um den Ursprung zu drehen, kannst du die Matrixform benutzen:
  $\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\cos{\alpha}& -\sin{\alpha}\\\sin{\alpha} & \cos{\alpha}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$
  Um die Abbildungsgleichung zu erhalten, setzt du $\alpha=30°$ ein.
  $\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\cos{30°}& -\sin{30°}\\\sin{30°} & \cos{30°}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$
  Um nun die Koordinaten des gedrehten Punktes $P^{'}$ zu bestimmen, setzt man die Koordinaten des ursprünglichen Punktes $P$ in die Abbildungsgleichung ein.
  $\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\cos{30°}& -\sin{30°}\\\sin{30°} & \cos{30°}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}$
  Dies kannst du noch weiter vereinfachen.
  $\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\ \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac12\\\frac12 & \frac{\sqrt{3}}{2}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\ \frac{\sqrt{3}}{2}-2\\\frac12 +2\sqrt{3}\end{pmatrix}$
  $\Rightarrow P'(\frac{\sqrt3}{2}-2|\frac{1}{2}+2\sqrt3)$
  Nun hast du die Koordinaten des gedrehten Punktes $P^{'}$ bestimmt.
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  Drehung
2. $\alpha=90°$
  $P (3 ∣ - 2)$
  
  Lösungsweg 1: Koordinatenform
  $\alpha=90°$
  Um den Punkt $P$ um den Ursprung zu drehen, kannst du die Koordinatenform benutzen:
  $x'=x\cdot \cos{\alpha}-y\cdot \sin{\alpha}$
  $y'=x\cdot \sin{\alpha}+y\cdot \cos{\alpha}$
  Um die Abbildungsgleichung zu erhalten, setzt du $\alpha=90°$ ein.
  $x'=x\cdot \cos{90°}-y\cdot \sin{90°}$
  $y'=x\cdot \sin{90°}+y\cdot \cos{90°}$
  Um nun die Koordinaten des gedrehten Punktes $P^{'}$ zu bestimmen, setzt man die Koordinaten des ursprünglichen Punktes $P$ in die Abbildungsgleichung ein.
  $x'=3\cdot \cos{90°}-(-2)\cdot \sin{90°}$
  $y'=3\cdot \sin{90°}+(-2)\cdot \cos{90°}$
  Dies kannst du noch vereinfachen.
  $x'=3\cdot 0-(-2)\cdot 1=2$
  $y'=3\cdot 1+(-2)\cdot 0=3$
  $\Rightarrow P'(2|3)$
  Nun hast du die Koordinaten des gedrehten Punktes $P^{'}$ bestimmt.
  Lösungsweg 2: Matrixform
  Um den Punkt $P$ um den Ursprung zu drehen, kannst du die Matrixform benutzen:
  $\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\cos{\alpha}& -\sin{\alpha}\\\sin{\alpha} & \cos{\alpha}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$
  Um die Abbildungsgleichung zu erhalten, setzt du $\alpha=90°$ ein.
  $\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\cos{90°}& -\sin{90°}\\\sin{90°} & \cos{90°}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$
  Um nun die Koordinaten des gedrehten Punktes $P^{'}$ zu bestimmen, setzt man die Koordinaten des ursprünglichen Punktes $P$ in die Abbildungsgleichung ein.
  $\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\cos{90°}& -\sin{90°}\\\sin{90°} & \cos{90°}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}$
  Dies kannst du noch weiter vereinfachen.
  $\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\ 0 & -1\\\ 1 & 0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\3 \end{pmatrix}$
  $\Rightarrow P'(2|3)$
  Nun hast du die Koordinaten des gedrehten Punktes $P^{'}$ bestimmt.
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  Drehung
3. $\alpha=120°$
  $P (12,5 ∣ - 3)$
  
  Lösungsweg 1: Koordinatenform
  Skizze:
  Um den Punkt $P$ um den Ursprung zu drehen, kannst du die Koordinatenform benutzen:
  $x'=x\cdot \cos{\alpha}-y\cdot \sin{\alpha}$
  $y'=x\cdot \sin{\alpha}+y\cdot \cos{\alpha}$
  Um die Abbildungsgleichung zu erhalten, setzt du $\alpha=120°$ ein.
  $x'=x\cdot \cos{120°}-y\cdot \sin{120°}$
  $y'=x\cdot \sin{120°}+y\cdot \cos{120°}$
  Um nun die Koordinaten des gedrehten Punktes $P^{'}$ zu bestimmen, setzt man die Koordinaten des ursprünglichen Punktes $P$ in die Abbildungsgleichung ein.
  $x'=12{,}5\cdot \cos{120°}-(-3)\cdot \sin{120°}$
  $y'=12{,}5\cdot \sin{120°}+(-3)\cdot \cos{120°}$
  Dies kannst du noch vereinfachen.
  $x'=12{,}5\cdot(-\frac12)- (-3)\cdot \frac{\sqrt3}{2}=-6{,}25+3\cdot\frac{\sqrt3}{2}$
  $y'=12{,}5\cdot \frac{\sqrt3}{2}+(-3)\cdot -(\frac12)=6{,}25 \cdot\sqrt3+1{,}5$
  $\Rightarrow P'(-6{,}25+3\frac{\sqrt{3}}{2}|6{,}25\sqrt{3}+1{,}5)$
  Nun hast du die Koordinaten des gedrehten Punktes $P^{'}$ bestimmt.
  Lösungsweg 2: Matrixform
  Skizze:
  Um den Punkt $P$ um den Ursprung zu drehen, kannst du die Matrixform benutzen:
  $\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\cos{\alpha}& -\sin{\alpha}\\\sin{\alpha} & \cos{\alpha}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$
  Um die Abbildungsgleichung zu erhalten, setzt du $\alpha=120°$ ein.
  $\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\cos{120°}& -\sin{120°}\\\sin{120°} & \cos{120°}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$
  Um nun die Koordinaten des gedrehten Punktes $P^{'}$ zu bestimmen, setzt man die Koordinaten des ursprünglichen Punktes $P$ in die Abbildungsgleichung ein.
  $\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\cos{120°}& -\sin{120°}\\\sin{120°} & \cos{120°}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}12{,}5\\-3\end{pmatrix}$
  Dies kannst du ebenfalls noch vereinfachen.
  $\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\ (-\frac12) & -\frac{\sqrt3}{2}\\\ \frac{\sqrt3}{2} & (-\frac12)\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}12{,}5\\-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -6{,}25+3\cdot\frac{\sqrt3}{2} \\6{,}25 \cdot\sqrt3+1{,}5 \end{pmatrix}$
  $\Rightarrow P'(-6{,}25+3\frac{\sqrt3}{2}|6{,}25\sqrt3+1{,}5)$
  Nun hast du die Koordinaten des gedrehten Punktes $P^{'}$ bestimmt.
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  Drehung
2
Berechne den Winkel $\alpha$ , um welchen der Punkt $P$ zum Punkt $P^{'}$ gedreht wurde.
1. $P (5 ∣ 0)$ , $P'\left(\frac{5\cdot \sqrt{3}}{2}\left| \frac{5}{2}\right.\right)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drehung eines Punktes
  1. Variante: Koordinatenform
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}x'&=& \cos\alpha \cdot x&-&\sin\alpha\cdot y\\y'&=&\sin\alpha \cdot x&+&\cos\alpha\cdot y\end{array}$
  Setze die beiden Punkte $P$ und $P^{'}$ in das Gleichungssystem ein.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}\frac{5\sqrt3}{2}&=& \cos\alpha \cdot 5&-&\sin\alpha\cdot 0\\\frac52&=&\sin\alpha \cdot 5&+&\cos\alpha\cdot 0\end{array}$
  Löse die Gleichungen nach $\alpha$ auf.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}\frac{\sqrt3}{2}&=& \cos\alpha \\\frac12&=&\sin\alpha \\\Rightarrow \alpha &=&30°\end{array}$
  2. Variante: Matrixform
  $\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos\alpha&-\sin\alpha\\\sin\alpha&\cos\alpha\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$
  Setze die beiden Punkte $P$ und $P^{'}$ in das Gleichungssystem ein.
  $\begin{pmatrix}\frac{5\sqrt3}{2}\\\frac52\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos\alpha&-\sin\alpha\\\sin\alpha&\cos\alpha\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}5\\0\end{pmatrix}$
  Führe die Matrix-Vektor-Multiplikation durch.
  $\begin{pmatrix}\frac{5\sqrt3}{2}\\\frac52\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\cdot \cos\alpha\\5\cdot \sin\alpha\end{pmatrix}$
  Schreibe die Gleichung in ein Gleichungssystem um.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}\frac{5\sqrt3}{2}&=5\cdot \cos\alpha\\\frac52&=5\cdot \sin\alpha\end{array}$
  Löse die Gleichungen.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}\frac{\sqrt3}{2}&=&\cos\alpha\\\frac12&=&\sin\alpha\\\Rightarrow\alpha&=&30°\end{array}$
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2. $P (3 ∣ - 3)$ , $P'\left(\left.\frac32\cdot \left(1+\sqrt 3\right)\right|\frac32\cdot\left(-1+\sqrt3\right)\right)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drehung eines Punktes
  1. Variante: Koordinatenform
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}x'&=& \cos\alpha\cdot x &-& \sin\alpha\cdot y\\y'&=& \sin\alpha\cdot x &+& \cos\alpha\cdot y\end{array}$
  Setze die beiden Punkte $P$ und $P^{'}$ in das Gleichungssystem ein.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}\frac32\cdot (1+\sqrt 3)&=& \cos\alpha\cdot 3 &-& \sin\alpha\cdot (-3)\\\frac32\cdot (-1+\sqrt 3)&=& \sin\alpha\cdot 3 &+& \cos\alpha\cdot (-3)\end{array}$
  Löse die Gleichungen nach $\alpha$ auf.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}\frac12\cdot (1+\sqrt 3)&=& \cos\alpha &+& \sin\alpha\\\frac12\cdot (-1+\sqrt 3)&=& \sin\alpha &-& \cos\alpha\end{array}$
  Verwende das Addionsverfahren.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}\frac12\cdot (1+\sqrt3)+\frac12\cdot(-1+\sqrt3)&=& \cos\alpha+\sin\alpha+\sin\alpha-\cos\alpha\\\frac12\cdot (1+\sqrt3)+\frac12\cdot(-1+\sqrt3)&=&2\cdot \sin\alpha\\\sqrt3&=&2\cdot \sin\alpha\\\frac{\sqrt3}{2}&=& \sin\alpha\\\Rightarrow \alpha&=&60°\end{array}$
  Vereinfache die Gleichung.
  2. Variante: Matrixform
  $\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos\alpha&-\sin\alpha\\\sin\alpha&\cos\alpha\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$
  Setze die beiden Punkte $P$ und $P^{'}$ in das Gleichungssystem ein.
  $\begin{pmatrix}\frac32\cdot (1+\sqrt 3)\\\frac32\cdot (-1+\sqrt3)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos\alpha&-\sin\alpha\\\sin\alpha&\cos\alpha\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}3\\-3\end{pmatrix}$
  Führe die Matrix-Vektor-Multiplikation durch.
  $\begin{pmatrix}\frac32\cdot (1+\sqrt 3)\\\frac32\cdot (-1+\sqrt3)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos\alpha\cdot 3&-\sin\alpha\cdot (-3)\\\sin\alpha\cdot 3&\cos\alpha\cdot (-3)\end{pmatrix}\cdot$
  Schreibe die Gleichung in ein Gleichungssystem um.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}\frac32\cdot (1+\sqrt 3)&=& \cos\alpha\cdot 3 &-& \sin\alpha\cdot (-3)\\\frac32\cdot (-1+\sqrt 3)&=& \sin\alpha\cdot 3 &+& \cos\alpha\cdot (-3)\end{array}$
  Löse die Gleichungen.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}\frac12\cdot (1+\sqrt 3)&=& \cos\alpha &+& \sin\alpha\\\frac12\cdot (-1+\sqrt 3)&=& \sin\alpha &-& \cos\alpha\\\Rightarrow \alpha&=&60°\end{array}$
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3
Die Gerade $g$ wird durch Drehung um den Ursprung mit dem Winkelmaß $\alpha$ auf die Gerade $g^{'}$ abgebildet. Berechne die Geradengleichung von $g^{'}$ .
1. $g : y = 2 x + 4$ mit $\alpha = 50°$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drehung einer Gerade
  Skizze:
  Die Gerade $g$ mit $y = 2 x + 4$ soll mit dem Winkel $\alpha=50°$ um den Ursprung gedreht werden.
  Gesucht ist jetzt also die Geradengleichung von $g^{'}$ .
  Man wählt einen allgemeinen Punkt $P_{n} (x ∣ 2 x + 4)$ auf der Geraden und dreht diesen um $50 °$ um den Ursprung:
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{pmatrix}x' \\ y'\end{pmatrix}= \left(\begin{array}{}\cos 50°\ \ -\sin 50°\\\sin 50° \ \ \ \ \ \ \cos 50°\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{}x \\ 2x+4\end{array}\right)=$
  $\def\arraystretch{1.25} \left(\begin{array}{}0{,}6\ \ -0{,}8\\0{,}8 \ \ \ \ \ \ 0{,}6\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{}x \\ 2x+4\end{array}\right)=$
  $\begin{pmatrix}0{,}6x-0{,}8(2x+4)\\0{,}8x+0{,}6(2x+4)\end{pmatrix}=$
  $\begin{pmatrix}-x-3{,}2\\2x + 2{,}4\end{pmatrix}$
  $\def\arraystretch{1.25} \Rightarrow \begin{array}{rrcc}x'&= -x & -3{,}2 &(1)\\y'&= 2x & +2{,}4 &(2)\end{array}$
  $\Rightarrow P_n'(-x-3{,}2|2x+2{,}4)$
  Als letztes muss noch der Trägergraph $g^{'}$ bestimmt werden:
  Dazu löst man die (1)-Gleichung nach $x$ auf.
  $x = - x^{'} - 3,2$
  Setze (1') in (2) ein:
  $y'= 2 \cdot (-x'-3{,}2) +2{,}4 = -2x' -6{,}4 +2{,}4= -2x' -4$
  Die gedrehte Gerade hat demnach folgende Gleichung $y^{'} = - 2 x^{'} - 4$
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2. $g : y = x - 3$ mit $\alpha=-30°$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drehung einer Gerade
  $g : y = x - 3$ , $\alpha=-30°$
  Wähle einen beliebigen Punkt auf der Gerade.
  $P_{n} (x ∣ x - 3)$
  Nun spiegelst du diesen Punkt $P_{n}$ an der Geraden $g$ auf den Bildpunkt $P_{n}^{'}$ .
  $\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos\alpha & -\sin\alpha\\\sin\alpha & \cos\alpha\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$
  Setze den allgemeinen Punkt $P_{n}$ und den Winkel $\alpha$ in die Gleichung ein.
  $\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos (-30°) & -\sin(-30°)\\\sin (-30°) & \cos(-30°)\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\x-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{\sqrt3}{2}&\frac12 \\-\frac12&\frac{\sqrt3}{2}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\x-3\end{pmatrix}$
  Führe die Matrix-Vektor-Multiplikation durch.
  $\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{\sqrt3}{2}\cdot x +\frac12\cdot (x-3)\\-\frac12\cdot x +\frac{\sqrt3}{2}\cdot (x-3)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{1+\sqrt3}{2}\cdot x-\frac{3}{2}\\\frac{-1+\sqrt3}{2}\cdot x-\frac{3\sqrt3}{2}\end{pmatrix}$
  $\Rightarrow P'_n\left(\left.\frac{1+\sqrt3}{2}\cdot x-\frac{3}{2}\right|\frac{-1+\sqrt3}{2}\cdot x-\frac{3\sqrt3}{2}\right)$
  $P_{n}^{'}$ ist ein beliebiger Punkt auf der Bildgeraden.
  Bestimme nun den Trägergraph $g^{'}$ .
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}x'&=&\frac{1+\sqrt3}{2}\cdot x&-&\frac{3}{2}\\y'&=&\frac{-1+\sqrt3}{2}\cdot x&-&\frac{3\sqrt3}{2}\end{array}$
  Löse die erste Gleichung nach $x^{'}$ auf und setze diese in die zweite Gleichung ein.
  $x=\frac{2\cdot x'}{1+\sqrt3}-\frac{3}{1+\sqrt3}$
  $y'=\frac{-1+\sqrt3}{2}\cdot \left(\frac{2\cdot x'}{1+\sqrt3}-\frac{3}{1+\sqrt3}\right)-\frac32=\frac{\sqrt3-1}{2}\cdot x'-\frac{9+3\sqrt3}{4}$
  Die gespiegelte Gerade $g':y'=\frac{\sqrt3-1}{2}\cdot x'-\frac{9+3\sqrt3}{4}$
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3. $g : y = - 0,5 x - 1$ mit $\alpha=120°$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drehung einer Gerade
  Die Gerade $g$ mit $y = - 0,5 x - 1$ soll mit dem Winkel $\alpha=120°$ um den Ursprung gedreht werden.
  Gesucht ist jetzt also die Geradengleichung von $g^{'}$ .
  Man wählt einen allgemeinen Punkt $P_n(x|-0{,}5x-1)$ auf der Geraden und dreht diesen um $120 °$ um den Ursprung:
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{pmatrix}x' \\ y'\end{pmatrix}= \left(\begin{array}{}\cos 120°\ \ -\sin 120°\\\sin 120° \ \ \ \ \ \ \cos 120°\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{}x \\ -0{,}5x-1\end{array}\right)=$
  $\def\arraystretch{1.25} \left(\begin{array}{}-\frac{1}{2}\ \ -\frac{\sqrt3}{2}\\\frac{\sqrt3}{2} \ \ \ \ -\frac{1}{2} \end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{}x \\ -0{,}5x-1\end{array}\right)=$
  $\begin{pmatrix}-\frac{1}{2}x+\frac{\sqrt3}{4}x+\frac{\sqrt3}{2}\\\frac{\sqrt3}{2}x+\frac{1}{4}x+\frac{1}{2}\end{pmatrix}=$
  $\begin{pmatrix}\frac{\sqrt3-2}{4}x+\frac{\sqrt3}{2}\\\frac{\sqrt3+2}{4}x+\frac{1}{2}\end{pmatrix}$
  $\def\arraystretch{1.25} \Rightarrow \begin{array}{rrcc}x'&= \frac{\sqrt3-2}{4}x & +\frac{\sqrt3}{2} &(1)\\y'&= \frac{\sqrt3+2}{4}x & +\frac{1}{2} &(2)\end{array}$
  $\Rightarrow P_n'(\frac{\sqrt3-2}{4}x+\frac{\sqrt3}{2}|\frac{\sqrt3+2}{4}x+\frac{1}{2})$
  Als letztes muss noch der Trägergraph $g^{'}$ bestimmt werden:
  Dazu löst man die (1)-Gleichung nach $x$ auf.
  $x=\frac{4(x'-\frac{\sqrt3}{2})}{\sqrt3-2}$
  Setze (1') in (2) ein:
  $y'= \frac{\sqrt3+2}{4} \cdot \frac{4(x'-\frac{\sqrt3}{2})}{\sqrt3-2} +\frac{1}{2} = (7+4\sqrt3)x' -12-\frac{13}{2}\sqrt3$
  Die gedrehte Gerade hat demnach folgende Gleichung $y'=(7+4\sqrt3)x' -12-\frac{13}{2}\sqrt3$
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4
Der Graph zu $f$ mit $y= 2^{x+4}-1$ definiert die Position der Punkte $D_n(x|2^{x+4}-1)$ . Diese bilden zusammen mit $A (1 ∣ 1), B_{n}$ und $C_{n}$ das Quadrat $A B_{n} C_{n} D_{n}$ .
Links siehst du den Graphen mit den Quadraten $A B_{1} C_{1} D_{1}$ für den Fall $x_{1} = - 2$ und $A B_{2} C_{2} D_{2}$ für den Fall $x_{2} = - 3$ .
Zeige, dass für $B_{n}$ in Abhängigkeit von $D$ gilt: $B=(2^{x+4}-1|-x+2)$ .
Überprüfe anschließend ob es für $B_{n}$ Punkte auf der x-Achse, bzw. y-Achse gibt.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektor aufstellen
Koordinaten des Punktes $B$
$A (1 ∣ 1)$
$D_n(x|2^{x+4}-1)$
Stelle den Vektor $\overrightarrow{AD}$ auf mithilfe der Regel Spitze minus Fuß.
$\overrightarrow{AD}=\begin{pmatrix}x\\2^{x+4}-1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}=$ $\begin{pmatrix}x-1\\ 2^{x+4}-2\end{pmatrix}$
Drehe nun den Vektor um $90 °$ im Uhrzeigersinn. Das entspricht einer Drehung um $270 °$ gegen den Uhrzeigersinn.
$\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x-1\\2^{x+4}-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2^{x+4}-2\\-x+1 \end{pmatrix}$
Der Vektor muss nun noch um $\overrightarrow{OA}$ verschoben werden.
$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2^{x+4}-2\\-x+1\end{pmatrix}=$ $\begin{pmatrix}2^{x+4}-1\\-x+2\end{pmatrix}$
Damit ergeben sich die Koordinaten: $B=(2^{x+4}-1|-x+2)$
Punkte auf der x-Achse
Um zu testen, ob es Punkte auf der x-Achse gibt musst du die y-Koordinate mit Null gleichsetzen.
$- x + 2 = 0$
$\Leftrightarrow x=2$
Daraus folgt, dass es für $x = 2$ einen Punkt $B_{n}$ auf der x-Achse gibt.
Punkte auf der y-Achse
Für die y-Achse muss die x-Koordinate mit Null gleichgesetzt werden.
$2^{x+4}-2=0$
$2^{x+4}=2$
Dies ist nur erfüllt für $B_{n}$ mit $x = - 3$ .
5
Die Gerade $h$ mit der Gleichung $y = x$ $(\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R})$ ist Symmetrieachse von Rauten $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ . Die Diagonalen $[B_{n} D_{n}]$ der Rauten $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ liegen auf der Geraden $h$ . Die Punkte $A_{n} (x ∣ 2 x + 3)$ liegen auf der Geraden $g$ mit der Gleichung $y = 2 x + 3$ $(\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R})$ . Die Abszisse der Punkte $D_{n}$ ist stets um vier größer als die Abszisse $x$ der Punkte $A_{n}$ . Dabei gilt: $x \in ]$ - $3; 5 [$ .
Runde im folgenden auf zwei Nachkommastellen!
1. Zeichne die Geraden $g$ und $h$ sowie die Raute $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ für $x = - 0,5$ und die Raute $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ für $x = 2,5$ in ein Koordinatensystem! Für die Zeichnung: Längeneinheit $1 c m$ ; $-4\leq x \leq 9; -3\leq y \leq 9$ .
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Punkt an Achse spiegeln
  Zeichnen der Raute $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$
  Du fängst mit der Raute $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ an. Gegeben sind $x$ = $- 0,5$ und die Gleichungen $y = 2 x + 3$ für den Punkt $A_{1}$ und $y = x$ für die Punkte $C_{1}$ und $D_{1}$
  Erst berechnest du die $y$ -Koordinate von $A_{1}$ .
  $y_{A_1}=2\cdot -0{,}5 + 3=2$
  Du trägst den Punkt $A_1(-0{,}5|2)$ ein. Dann berechnest du die Koordinaten von $D_{1}$ .
  $x_{D_1}=x_{A_1}+4=-0{,}5+4=3{,}5$
  $y_{D_1}=3{,}5$
  Du trägst den Punkt $D_1(3{,}5|3{,}5)$ ein. Dann spiegelst du $A_{1}$ an $h$ , um $C_{1}$ einzutragen.
  Als nächstes zeichnest du die Strecke $[A_{1} C_{1}]$ und spiegelst $D_{1}$ an dieser, um $B_{1}$ einzutragen.
  Die Koordinaten von $C_{1}$ und $B_{1}$ musst du nicht berechnen.
  Zeichnen der Raute $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$
  Für die Raute $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ : Gegeben sind $x = 2,5$ und die Gleichungen $y = 2 x + 3$ für den Punkt $A_{2}$ und $y = x$ für die Punkte $C_{2}$ und $D_{2}$ .
  Du gehst für die zweite Raute genauso vor, wie für die erste.
  Erst berechnest du die $y$ -Koordinate von $A_{2}$ .
  $y_{A_2}=2\cdot 2{,}5 + 3=8$
  Du trägst den Punkt $A_2(2{,}5|8)$ ein. Dann berechnest du die Koordinaten von $D_{2}$ .
  $x_{D_2}=x_{A_2}+4=2{,}5+4=6{,}5$
  $y_{D_2}=6{,}5$
  Dann spiegelst du wieder $A_{2}$ an $h$ , um $C_{2}$ einzutragen und $D_{2}$ an $[A_{2} C_{2}]$ , um $B_{2}$ einzutragen.
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2. Zeige, dass für die Punkte $D_{n}$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_{n}$ gilt: $D_{n} (x + 4 ∣ x + 4)$ ! Bestätige sodann durch Rechnung die untere Intervallgrenze $x = - 3$ der Rauten $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ !
  
  1. Teilaufgabe
  Die Abszissen der Punkte $D_{n}$ sind um 4 größer als die Abszissen der Punkte $A_{n}$ (in der Aufgabe definiert). Die Punkte $D_{n}$ liegen auf der Geraden $y = x$ .
  Damit sind die Koordinaten der Punkte $D_{n} (x + 4 ∣ x + 4)$ .
  2. Teilaufgabe
  Die untere Intervallgrenze ist die Stelle, an der sich die Geraden $g : y = 2 x + 3$ und $h : y = x$ schneiden.
  Du berechnest also den Schnittpunkt der beiden Geraden
  $2 x + 3 = x$
  und löst nach $x$ auf.
  $\Leftrightarrow x=-3$
  $\Rightarrow$ Die untere Intervallgrenze ist $x = - 3$ .
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3. Begründe, warum sich für $[A_nD_n]\perp h$ die obere Intervallgrenze $x = 5$ ergibt und bestätige diese durch Rechnung!
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt
  Sobald $D_{n}$ auf der Diagonalen $[A_{n} C_{n}]$ liegt, liegt auch das an dieser Diagonalen gespiegelte $B_{n}$ auf der Diagonalen und es gibt keine Raute mehr.
  Wenn das eintritt, ist die Strecke $[A_{n} D_{n}]$ orthogonal zur Geraden $h$ .
  Die Strecke $[A_{n} D_{n}]$ kannst du als Vektor schreiben:
  $\overrightarrow{A_nD_n}=\begin{pmatrix}x+4-x \\x+4-(2x+3)\end{pmatrix}$
  Wenn dieser orthogonal zur Geraden $h$ ist, ist das Skalarprodukt des Richtungsvektors der Geraden $h$ und der Strecke $[A_{n} D_{n}]$ gleich null.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array} {lcr}&\begin{pmatrix} x+4-x \\ x+4-(2x+3) \end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix} 1 \\1 \end{pmatrix}=0 \\\Leftrightarrow \,\, & x+4-x+x+4-(2x+3)=0 \\\Leftrightarrow \,\, & x=5\end{array}$
  Daher wurde die obere Intervallgrenze $x = 5$ gewählt.
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4. Bestimme rechnerisch die Koordinaten der Punkte $C_{n}$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_{n}$ !
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spiegelung an einer Ursprungsgeraden
  Gegeben: $A_{n} (x ∣ 2 x + 3)$
  Spiegelachse: $y = x$
  Du hast in Teilaufgabe 1 die Punkte $C_{1}$ und $C_{2}$ konstruiert, indem du die Punkte $A_{1}$ und $A_{2}$ an der Diagonalen $B_{n} D_{n}$ gespiegelt hast. Dies kannst du für alle Punkte $C_{n}$ machen.
  Zunächst berechnest du den Winkel, den die Spiegelachse mit der x-Achse einschließt.
  $\alpha=tan^{-1}(m)=tan^{-1}(1)=45^\circ$
  Das kannst du in die Formel für die Achsenspiegelung an einer Ursprungsgeraden einsetzen.
  $\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \cos{2\alpha} & \sin{2\alpha} \\ \sin{2\alpha} & -\cos{2\alpha} \end{pmatrix}$ $\cdot\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$
  $= \begin{pmatrix} \cos{2\cdot45^\circ} & \sin{2\cdot45^\circ}\\\sin{2\cdot45^\circ} & -\cos{2\cdot45^\circ} \end{pmatrix}$ $\cdot \begin{pmatrix} x \\ 2x+3 \end{pmatrix}$
  $=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix} x \\ 2x+3 \end{pmatrix}$
  $= \begin{pmatrix} 2x+3 \\ x \end{pmatrix}$
  $\Rightarrow$ Die Koordinaten der Punkte $C_{n}$ in Abhängigkeit von der Abszisse x der Punkte $A_{n}$ sind $(2 x + 3 ∣ x)$ .
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5. Berechne den Flächeninhalt $A$ der Rauten $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_{n}$ !
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt einer Raute berechnen
  Gegeben: $A_{n} (x ∣ 2 x + 3)$ , $C_{n} (2 x + 3 ∣ x)$ , $D_{n} (x + 4 ∣ x + 4)$
  Du bildest zuerst den Vektor $\overrightarrow{D_nA_n}$
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lcr} \overrightarrow{D_nA_n}= &\begin{pmatrix} x-(x+4) \\ 2x+3-(x+4)\end{pmatrix} \\ =& \begin{pmatrix} -4 \\ x-1 \end{pmatrix}\end{array}$

Aufgaben zur Drehung mit Matrizen

Lösungsweg 1: Koordinatenform

Lösungsweg 2: Matrixform

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Lösungsweg 1: Koordinatenform

Lösungsweg 2: Matrixform

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Lösungsweg 1: Koordinatenform

Lösungsweg 2: Matrixform

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1. Variante: Koordinatenform

2. Variante: Matrixform

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1. Variante: Koordinatenform

2. Variante: Matrixform

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Koordinaten des Punktes BBB

Punkte auf der x-Achse

Punkte auf der y-Achse

Zeichnen der Raute A1B1C1D1A_1B_1C_1D_1A1​B1​C1​D1​

Zeichnen der Raute A2B2C2D2A_2B_2C_2D_2A2​B2​C2​D2​

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1. Teilaufgabe

2. Teilaufgabe

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Koordinaten des Punktes $B$

Zeichnen der Raute $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$

Zeichnen der Raute $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$