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Aufgaben zur Drehung mit Matrizen

Hier findest du Übungsaufgaben zur Drehung mithilfe von Matrizen. Wiederhole wichtige Grundlagen und vertiefe dein Wissen!

  1. 1

    Bestimme die Abbildungsgleichung bei einer Drehung des Punktes PP um den Winkel α\alpha um den Ursprung und die Koordinaten des dadurch abgebildeten Punktes PP'.

    1. α=30°\alpha=30°

      P(14)P(1|4)

    2. α=90°\alpha=90°

      P(32)P(3|-2)

    3. α=120°\alpha=120°

      P(12,53)P(12{,}5|-3)

  2. 2

    Berechne den Winkel α\alpha, um welchen der Punkt PP zum Punkt PP' gedreht wurde.

    1. P(50)P(5|0), P(53252)P'\left(\frac{5\cdot \sqrt{3}}{2}\left| \frac{5}{2}\right.\right)

    2. P(33)P(3|-3), P(32(1+3)32(1+3))P'\left(\left.\frac32\cdot \left(1+\sqrt 3\right)\right|\frac32\cdot\left(-1+\sqrt3\right)\right)

  3. 3

    Die Gerade gg wird durch Drehung um den Ursprung mit dem Winkelmaß α\alphaauf die Gerade gg' abgebildet. Berechne die Geradengleichung von gg'.

    1. g:y=2x+4g:y=2x+4 mit α=50°\alpha = 50°

    2. g:y=x3g:y=x-3 mit α=30°\alpha=-30°

    3. g:y=0,5x1g:y=-0{,}5x-1 mit α=120°\alpha=120°

  4. 4

    Der Graph zu ff mit y=2x+41y= 2^{x+4}-1 definiert die Position der Punkte Dn(x2x+41)D_n(x|2^{x+4}-1). Diese bilden zusammen mit A(11),BnA(1|1), B_n und CnC_n das Quadrat ABnCnDnAB_nC_nD_n.

    Skizze

    Links siehst du den Graphen mit den Quadraten AB1C1D1AB_1C_1D_1 für den Fall x1=2x_1=-2 und AB2C2D2AB_2C_2D_2 für den Fall x2=3x_2=-3.

    Zeige, dass für BnB_n in Abhängigkeit von DD gilt: B=(2x+41x+2)B=(2^{x+4}-1|-x+2).

    Überprüfe anschließend ob es für BnB_n Punkte auf der x-Achse, bzw. y-Achse gibt.

  5. 5

    Die Gerade hh mit der Gleichung y=xy=x (G=R×R)(\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R}) ist Symmetrieachse von Rauten AnBnCnDnA_nB_nC_nD_n. Die Diagonalen [BnDn][B_nD_n] der Rauten AnBnCnDnA_nB_nC_nD_n liegen auf der Geraden hh. Die Punkte An(x2x+3)A_n(x|2x+3) liegen auf der Geraden gg mit der Gleichung y=2x+3y=2x+3 (G=R×R)(\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R}). Die Abszisse der Punkte DnD_n ist stets um vier größer als die Abszisse xx der Punkte AnA_n. Dabei gilt: x]x \in ]-3;5[3 ; 5[.

    Runde im folgenden auf zwei Nachkommastellen!

    1. Zeichne die Geraden gg und hh sowie die Raute A1B1C1D1A_1B_1C_1D_1 für x=0,5x=-0{,}5 und die Raute A2B2C2D2A_2B_2C_2D_2 für x=2,5x=2{,}5 in ein Koordinatensystem! Für die Zeichnung: Längeneinheit 1cm1 cm; 4x9;3y9-4\leq x \leq 9; -3\leq y \leq 9.

    2. Zeige, dass für die Punkte DnD_n in Abhängigkeit von der Abszisse xx der Punkte AnA_n gilt: Dn(x+4x+4)D_n(x+4|x+4)! Bestätige sodann durch Rechnung die untere Intervallgrenze x=3x=-3 der Rauten AnBnCnDnA_nB_nC_nD_n!

    3. Begründe, warum sich für [AnDn]h[A_nD_n]\perp h die obere Intervallgrenze x=5x=5 ergibt und bestätige diese durch Rechnung!

    4. Bestimme rechnerisch die Koordinaten der Punkte CnC_n in Abhängigkeit von der Abszisse xx der Punkte AnA_n!

    5. Berechne den Flächeninhalt AA der Rauten AnBnCnDnA_nB_nC_nD_n in Abhängigkeit von der Abszisse xx der Punkte AnA_n!

    6. Die Seite [C3D3][C_3D_3] der Raute A3B3C3D3A_3B_3C_3D_3 verläuft senkrecht zur xx-Achse. Berechne die Koordinaten des Punktes D3D_3!

    7. In der Raute A4B4C4D4A_4B_4C_4D_4 hat die Diagonale [A4C4][A_4C_4] die gleiche Länge wie die Seite [A4D4][A_4D_4]. Begründe, dass für die Diagonale [B4D4][B_4D_4] gilt: B4D4=A4D43\overline{B_4D_4}=\overline{A_4D_4}\cdot \sqrt3!

  6. 6

    Gegeben ist das Dreieck ABCABC mit den Eckpunkten A(20),B(40)A(-2|0), B(4|0) und C(17)C(-1|7).Die Eckpunkte QnQ_n auf der Seite [BC][BC] des Dreiecks bilden mit dem Punkt PP und Punkten RnR_n auf gg gleichschenklig-rechtwinklige Dreiecke PQnRnPQ_nR_n mit QnPRn=90°\sphericalangle Q_nPR_n=90°.

  7. 7

    Bestimme den Punkt PP', den du durch eine Drehung des Punktes PP um das Zentrum ZZ mit dem Winkel α\alpha erhältst.

    1. P(34)P(3|4), Z(21)Z(2|1), α=30°\alpha = 30°

    2. P(32)P(-3|2), Z(02)Z(0|-2), α=315°\alpha = 315°

    3. P(13)P(1|-3), Z(12)Z(-1|-2), α=60°\alpha = 60°

    4. P(22)P(2|-2), Z(21)Z(2|-1), α=120°\alpha = 120°


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