Aufgaben zur Drehung - lernen mit Serlo!

Berechne den Winkel $\alpha$ , um welchen der Punkt $P$ zum Punkt $P^{'}$ gedreht wurde.

$P (5 ∣ 0)$ , $P'\left(\frac{5\cdot \sqrt{3}}{2}\left| \frac{5}{2}\right.\right)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drehung eines Punktes
1. Variante: Koordinatenform
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}x'&=& \cos\alpha \cdot x&-&\sin\alpha\cdot y\\y'&=&\sin\alpha \cdot x&+&\cos\alpha\cdot y\end{array}$
Setze die beiden Punkte $P$ und $P^{'}$ in das Gleichungssystem ein.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}\frac{5\sqrt3}{2}&=& \cos\alpha \cdot 5&-&\sin\alpha\cdot 0\\\frac52&=&\sin\alpha \cdot 5&+&\cos\alpha\cdot 0\end{array}$
Löse die Gleichungen nach $\alpha$ auf.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}\frac{\sqrt3}{2}&=& \cos\alpha \\\frac12&=&\sin\alpha \\\Rightarrow \alpha &=&30°\end{array}$
2. Variante: Matrixform
$\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos\alpha&-\sin\alpha\\\sin\alpha&\cos\alpha\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$
Setze die beiden Punkte $P$ und $P^{'}$ in das Gleichungssystem ein.
$\begin{pmatrix}\frac{5\sqrt3}{2}\\\frac52\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos\alpha&-\sin\alpha\\\sin\alpha&\cos\alpha\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}5\\0\end{pmatrix}$
Führe die Matrix-Vektor-Multiplikation durch.
$\begin{pmatrix}\frac{5\sqrt3}{2}\\\frac52\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\cdot \cos\alpha\\5\cdot \sin\alpha\end{pmatrix}$
Schreibe die Gleichung in ein Gleichungssystem um.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}\frac{5\sqrt3}{2}&=5\cdot \cos\alpha\\\frac52&=5\cdot \sin\alpha\end{array}$
Löse die Gleichungen.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}\frac{\sqrt3}{2}&=&\cos\alpha\\\frac12&=&\sin\alpha\\\Rightarrow\alpha&=&30°\end{array}$
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$P (3 ∣ - 3)$ , $P'\left(\left.\frac32\cdot \left(1+\sqrt 3\right)\right|\frac32\cdot\left(-1+\sqrt3\right)\right)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drehung eines Punktes
1. Variante: Koordinatenform
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}x'&=& \cos\alpha\cdot x &-& \sin\alpha\cdot y\\y'&=& \sin\alpha\cdot x &+& \cos\alpha\cdot y\end{array}$
Setze die beiden Punkte $P$ und $P^{'}$ in das Gleichungssystem ein.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}\frac32\cdot (1+\sqrt 3)&=& \cos\alpha\cdot 3 &-& \sin\alpha\cdot (-3)\\\frac32\cdot (-1+\sqrt 3)&=& \sin\alpha\cdot 3 &+& \cos\alpha\cdot (-3)\end{array}$
Löse die Gleichungen nach $\alpha$ auf.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}\frac12\cdot (1+\sqrt 3)&=& \cos\alpha &+& \sin\alpha\\\frac12\cdot (-1+\sqrt 3)&=& \sin\alpha &-& \cos\alpha\end{array}$
Verwende das Addionsverfahren.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}\frac12\cdot (1+\sqrt3)+\frac12\cdot(-1+\sqrt3)&=& \cos\alpha+\sin\alpha+\sin\alpha-\cos\alpha\\\frac12\cdot (1+\sqrt3)+\frac12\cdot(-1+\sqrt3)&=&2\cdot \sin\alpha\\\sqrt3&=&2\cdot \sin\alpha\\\frac{\sqrt3}{2}&=& \sin\alpha\\\Rightarrow \alpha&=&60°\end{array}$
Vereinfache die Gleichung.
2. Variante: Matrixform
$\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos\alpha&-\sin\alpha\\\sin\alpha&\cos\alpha\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$
Setze die beiden Punkte $P$ und $P^{'}$ in das Gleichungssystem ein.
$\begin{pmatrix}\frac32\cdot (1+\sqrt 3)\\\frac32\cdot (-1+\sqrt3)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos\alpha&-\sin\alpha\\\sin\alpha&\cos\alpha\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}3\\-3\end{pmatrix}$
Führe die Matrix-Vektor-Multiplikation durch.
$\begin{pmatrix}\frac32\cdot (1+\sqrt 3)\\\frac32\cdot (-1+\sqrt3)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos\alpha\cdot 3&-\sin\alpha\cdot (-3)\\\sin\alpha\cdot 3&\cos\alpha\cdot (-3)\end{pmatrix}\cdot$
Schreibe die Gleichung in ein Gleichungssystem um.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}\frac32\cdot (1+\sqrt 3)&=& \cos\alpha\cdot 3 &-& \sin\alpha\cdot (-3)\\\frac32\cdot (-1+\sqrt 3)&=& \sin\alpha\cdot 3 &+& \cos\alpha\cdot (-3)\end{array}$
Löse die Gleichungen.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}\frac12\cdot (1+\sqrt 3)&=& \cos\alpha &+& \sin\alpha\\\frac12\cdot (-1+\sqrt 3)&=& \sin\alpha &-& \cos\alpha\\\Rightarrow \alpha&=&60°\end{array}$
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1. Variante: Koordinatenform

2. Variante: Matrixform

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1. Variante: Koordinatenform

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