$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}x'&=& \cos\alpha \cdot x&-&\sin\alpha\cdot y\\y'&=&\sin\alpha \cdot x&+&\cos\alpha\cdot y\end{array}$

Setze die beiden Punkte $P$ und $P'$ in das Gleichungssystem ein.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}\frac{5\sqrt3}{2}&=& \cos\alpha \cdot 5&-&\sin\alpha\cdot 0\\\frac52&=&\sin\alpha \cdot 5&+&\cos\alpha\cdot 0\end{array}$

Löse die Gleichungen nach $\alpha$ auf.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}\frac{\sqrt3}{2}&=& \cos\alpha \\\frac12&=&\sin\alpha \\\Rightarrow \alpha &=&30°\end{array}$

$\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos\alpha&-\sin\alpha\\\sin\alpha&\cos\alpha\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$

Setze die beiden Punkte $P$ und $P'$ in das Gleichungssystem ein.

$\begin{pmatrix}\frac{5\sqrt3}{2}\\\frac52\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos\alpha&-\sin\alpha\\\sin\alpha&\cos\alpha\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}5\\0\end{pmatrix}$

Führe die Matrix-Vektor-Multiplikation durch.

$\begin{pmatrix}\frac{5\sqrt3}{2}\\\frac52\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\cdot \cos\alpha\\5\cdot \sin\alpha\end{pmatrix}$

Schreibe die Gleichung in ein Gleichungssystem um.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}\frac{5\sqrt3}{2}&=5\cdot \cos\alpha\\\frac52&=5\cdot \sin\alpha\end{array}$

Löse die Gleichungen.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}\frac{\sqrt3}{2}&=&\cos\alpha\\\frac12&=&\sin\alpha\\\Rightarrow\alpha&=&30°\end{array}$

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}x'&=& \cos\alpha\cdot x &-& \sin\alpha\cdot y\\y'&=& \sin\alpha\cdot x &+& \cos\alpha\cdot y\end{array}$

Setze die beiden Punkte $P$ und $P'$ in das Gleichungssystem ein.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}\frac32\cdot (1+\sqrt 3)&=& \cos\alpha\cdot 3 &-& \sin\alpha\cdot (-3)\\\frac32\cdot (-1+\sqrt 3)&=& \sin\alpha\cdot 3 &+& \cos\alpha\cdot (-3)\end{array}$

Löse die Gleichungen nach $\alpha$ auf.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}\frac12\cdot (1+\sqrt 3)&=& \cos\alpha &+& \sin\alpha\\\frac12\cdot (-1+\sqrt 3)&=& \sin\alpha &-& \cos\alpha\end{array}$

Verwende das Addionsverfahren.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}\frac12\cdot (1+\sqrt3)+\frac12\cdot(-1+\sqrt3)&=& \cos\alpha+\sin\alpha+\sin\alpha-\cos\alpha\\\frac12\cdot (1+\sqrt3)+\frac12\cdot(-1+\sqrt3)&=&2\cdot \sin\alpha\\\sqrt3&=&2\cdot \sin\alpha\\\frac{\sqrt3}{2}&=& \sin\alpha\\\Rightarrow \alpha&=&60°\end{array}$

Vereinfache die Gleichung.

$\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos\alpha&-\sin\alpha\\\sin\alpha&\cos\alpha\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$

Setze die beiden Punkte $P$ und $P'$ in das Gleichungssystem ein.

$\begin{pmatrix}\frac32\cdot (1+\sqrt 3)\\\frac32\cdot (-1+\sqrt3)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos\alpha&-\sin\alpha\\\sin\alpha&\cos\alpha\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}3\\-3\end{pmatrix}$

Führe die Matrix-Vektor-Multiplikation durch.

$\begin{pmatrix}\frac32\cdot (1+\sqrt 3)\\\frac32\cdot (-1+\sqrt3)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos\alpha\cdot 3&-\sin\alpha\cdot (-3)\\\sin\alpha\cdot 3&\cos\alpha\cdot (-3)\end{pmatrix}\cdot$

Schreibe die Gleichung in ein Gleichungssystem um.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}\frac32\cdot (1+\sqrt 3)&=& \cos\alpha\cdot 3 &-& \sin\alpha\cdot (-3)\\\frac32\cdot (-1+\sqrt 3)&=& \sin\alpha\cdot 3 &+& \cos\alpha\cdot (-3)\end{array}$

Löse die Gleichungen.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}\frac12\cdot (1+\sqrt 3)&=& \cos\alpha &+& \sin\alpha\\\frac12\cdot (-1+\sqrt 3)&=& \sin\alpha &-& \cos\alpha\\\Rightarrow \alpha&=&60°\end{array}$