Aufgaben zur Drehung - lernen mit Serlo!

Bestimme den Punkt $P^{'}$ , den du durch eine Drehung des Punktes $P$ um das Zentrum $Z$ mit dem Winkel $α$ erhältst.

$P (3 | 4)$ , $Z (2 | 1)$ , $α = 30 °$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drehung eines Punktes um ein Zentrum
1. Schritt: Bestimme die Koordinaten des Hilfsvektors $\overset{⟶}{O}$ .
$\overset{⟶}{O} = \overset{⟶}{Z}$
Setze die Koordinaten des Vektors ein.
$\overset{⟶}{Z} = (\begin{array}{c} 3 - 2 \\ 4 - 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \end{array}) = \overset{⟶}{O}$
2. Schritt: Drehe $\overset{⟶}{O}$ mit Winkel $α = 30 °$ um den Ursprung.
$\overset{⟶}{O} = (\begin{array}{cc} \cos α & - \sin α \\ \sin α & \cos α \end{array}) \cdot \overset{⟶}{O}$
Setze den Vektor $\overset{⟶}{O}$ und den Winkel $α$ ein.
$= (\begin{array}{cc} \cos 30 ° & - \sin 30 ° \\ \sin 30 ° & \cos 30 ° \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \end{array})$
Führe die Matrix-Vektor-Multiplikation durch.
$\Rightarrow \overset{⟶}{O} = (\begin{array}{c} \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{3}{2} \\ \frac{1}{2} + \frac{3 \sqrt{3}}{2} \end{array})$
3. Schritt: Verschiebe den Vektor $\overset{⟶}{O}$ um den Vektor $\overset{⟶}{O}$ .
$\overset{⟶}{O} = \overset{⟶}{O} + \overset{⟶}{O}$
Setze die Vektoren ein.
$\overset{⟶}{O} = (\begin{array}{c} \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{3}{2} \\ \frac{1}{2} + \frac{3 \sqrt{3}}{2} \end{array}) + (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{3}{2} + \frac{3 \sqrt{3}}{2} \end{array})$
$\Rightarrow P^{'} = (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} | \frac{3}{2} + \frac{3 \sqrt{3}}{2})$ ist der gesuchte Punkt.
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$P (- 3 | 2)$ , $Z (0 | - 2)$ , $α = 315 °$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drehung um einen Punkt
1. Schritt: Bestimme die Koordinaten des Hilfsvektors $\overset{⟶}{O}$ .
$\overset{⟶}{O} = \overset{⟶}{Z}$
Setze die Koordinaten des Vektors ein.
$\overset{⟶}{Z} = (\begin{array}{c} - 3 - 0 \\ 2 - (- 2) \end{array}) = (\begin{array}{c} - 3 \\ 4 \end{array}) = \overset{⟶}{O}$
2. Schritt: Drehe $\overset{⟶}{O}$ mit Winkel $α = 315 °$ um den Ursprung.
$\overset{⟶}{O} = (\begin{array}{cc} \cos α & - \sin α \\ \sin α & \cos α \end{array}) \cdot \overset{⟶}{O}$
Setze den Vektor $\overset{⟶}{O}$ und den Winkel $α$ ein.
$= (\begin{array}{cc} \cos 315 ° & - \sin 315 ° \\ \sin 315 ° & \cos 315 ° \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} - 3 \\ 4 \end{array}) = (\begin{array}{cc} \frac{1}{\sqrt{2}} & - \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} - 3 \\ 4 \end{array})$
Führe die Matrix-Vektor-Multiplikation durch.
$\Rightarrow \overset{⟶}{O} = (\begin{array}{c} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{7}{\sqrt{2}} \end{array})$
3. Schritt: Verschiebe den Vektor $\overset{⟶}{O}$ um den Vektor $\overset{⟶}{O}$ .
$\overset{⟶}{O} = \overset{⟶}{O} + \overset{⟶}{O}$
Setze die Vektoren ein.
$\Rightarrow \overset{⟶}{O} = (\begin{array}{c} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{7}{\sqrt{2}} \end{array}) + (\begin{array}{c} 0 \\ - 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{7}{\sqrt{2}} - 2 \end{array})$
$\Rightarrow P^{'} = (\frac{1}{\sqrt{2}} | \frac{7}{\sqrt{2}} - 2)$ ist der gesuchte Punkt.
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$P (1 | - 3)$ , $Z (- 1 | - 2)$ , $α = 60 °$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drehung um einen Punkt
1. Schritt: Bestimme die Koordinaten des Hilfsvektors $\overset{⟶}{O}$ .
$\overset{⟶}{O} = \overset{⟶}{Z}$
Setze die Koordinaten des Vektors ein.
$\overset{⟶}{Z} = (\begin{array}{c} 1 - (- 1) \\ - 3 - (- 2) \end{array}) = (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \end{array}) = \overset{⟶}{O}$
2. Schritt: Drehe $\overset{⟶}{O}$ mit Winkel $α = 60 °$ um den Ursprung.
$\overset{⟶}{O} = (\begin{array}{cc} \cos α & - \sin α \\ \sin α & \cos α \end{array}) \cdot \overset{⟶}{O}$
Setze den Vektor $\overset{⟶}{O}$ und den Winkel $α$ ein.
$= (\begin{array}{cc} \cos 60 ° & - \sin 60 ° \\ \sin 60 ° & \cos 60 ° \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \end{array})$
Führe die Matrix-Vektor-Multiplikation durch.
$\Rightarrow \overset{⟶}{O} = (\begin{array}{c} 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \sqrt{3} - \frac{1}{2} \end{array})$
3. Schritt: Verschiebe den Vektor $\overset{⟶}{O}$ um den Vektor $\overset{⟶}{O}$ .
$\overset{⟶}{O} = \overset{⟶}{O} + \overset{⟶}{O}$
Setze die Vektoren ein.
$\Rightarrow \overset{⟶}{O} = (\begin{array}{c} 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \sqrt{3} - \frac{1}{2} \end{array}) + (\begin{array}{c} - 1 \\ - 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \sqrt{3} - \frac{5}{2} \end{array})$
$\Rightarrow P^{'} = (\frac{\sqrt{3}}{2} | \sqrt{3} - \frac{5}{2})$ ist der gesuchte Punkt.
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$P (2 | - 2)$ , $Z (2 | - 1)$ , $α = 120 °$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drehung um einen Punkt
1. Schritt: Bestimme die Koordinaten des Hilfsvektors $\overset{⟶}{O}$ .
$\overset{⟶}{O} = \overset{⟶}{Z}$
Setze die Koordinaten des Vektors ein.
$\overset{⟶}{Z} = (\begin{array}{c} 2 - 2 \\ - 2 - (- 1) \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \end{array}) = \overset{⟶}{O}$
2. Schritt: Drehe $\overset{⟶}{O}$ mit Winkel $α = 120 °$ um den Ursprung.
$\overset{⟶}{O} = (\begin{array}{cc} \cos α & - \sin α \\ \sin α & \cos α \end{array}) \cdot \overset{⟶}{O}$
Setze den Vektor $\overset{⟶}{O}$ und den Winkel $α$ ein.
$= (\begin{array}{cc} \cos 120 ° & - \sin 120 ° \\ \sin 120 ° & \cos 120 ° \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \end{array})$
Führe die Matrix-Vektor-Multiplikation durch.
$\Rightarrow \overset{⟶}{O} = (\begin{array}{c} \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{1}{2} \end{array})$
3. Schritt: Verschiebe den Vektor $\overset{⟶}{O}$ um den Vektor $\overset{⟶}{O}$ .
$\overset{⟶}{O} = \overset{⟶}{O} + \overset{⟶}{O}$
Setze die Vektoren ein.
$\Rightarrow \overset{⟶}{O} = (\begin{array}{c} \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{1}{2} \end{array}) + (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 \\ - \frac{1}{2} \end{array})$
$\Rightarrow P^{'} = (\frac{\sqrt{3}}{2} + 2 | - \frac{1}{2})$ ist der gesuchte Punkt.
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