Aufgaben zur Drehung - lernen mit Serlo!

Bestimme den Punkt $P^{'}$ , den du durch eine Drehung des Punktes $P$ um das Zentrum $Z$ mit dem Winkel $\alpha$ erhältst.

$P (3 ∣ 4)$ , $Z (2 ∣ 1)$ , $\alpha = 30°$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drehung eines Punktes um ein Zentrum
1. Schritt: Bestimme die Koordinaten des Hilfsvektors $\overset\longrightarrow {OQ}$ .
$\overset\longrightarrow{OQ} = \overset\longrightarrow{ZP}$
Setze die Koordinaten des Vektors ein.
$\overset\longrightarrow{ZP} = \begin{pmatrix}3 - 2\\4 - 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix} = \overset\longrightarrow{OQ}$
2. Schritt: Drehe $\overset\longrightarrow {OQ}$ mit Winkel $\alpha = 30°$ um den Ursprung.
$\overset\longrightarrow{OQ'} = \begin{pmatrix}\cos \alpha & -\sin \alpha\\\sin\alpha & \cos\alpha\end{pmatrix} \cdot\overset\longrightarrow{OQ}$
Setze den Vektor $\overset\longrightarrow{OQ}$ und den Winkel $\alpha$ ein.
$=\begin{pmatrix}\cos 30° & -\sin 30°\\\sin 30° & \cos 30°\end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}$
Führe die Matrix-Vektor-Multiplikation durch.
$\Rightarrow \overset\longrightarrow{OQ'} = \begin{pmatrix}\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{3}{2}\\\frac{1}{2} + \frac{3\sqrt{3}}{2}\end{pmatrix}$
3. Schritt: Verschiebe den Vektor $\overset\longrightarrow{OQ'}$ um den Vektor $\overset\longrightarrow{OZ}$ .
$\overset\longrightarrow{OP'} = \overset\longrightarrow{OQ'} + \overset\longrightarrow{OZ}$
Setze die Vektoren ein.
$\overset\longrightarrow{OP'} = \begin{pmatrix}\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{3}{2}\\\frac{1}{2} + \frac{3\sqrt{3}}{2}\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}2 \\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}\\\frac{3}{2} + \frac{3\sqrt{3}}{2}\end{pmatrix}$
$\Rightarrow P' = \left(\left.\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \right| \frac{3}{2} + \frac{3\sqrt{3}}{2}\right)$ ist der gesuchte Punkt.
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$P (- 3 ∣ 2)$ , $Z (0 ∣ - 2)$ , $\alpha = 315°$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drehung um einen Punkt
1. Schritt: Bestimme die Koordinaten des Hilfsvektors $\overset\longrightarrow {OQ}$ .
$\overset\longrightarrow{OQ} = \overset\longrightarrow{ZP}$
Setze die Koordinaten des Vektors ein.
$\overset\longrightarrow{ZP} = \begin{pmatrix}-3 - 0\\2 - (-2)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3\\4\end{pmatrix} = \overset\longrightarrow{OQ}$
2. Schritt: Drehe $\overset\longrightarrow {OQ}$ mit Winkel $\alpha = 315°$ um den Ursprung.
$\overset\longrightarrow{OQ'} = \begin{pmatrix}\cos \alpha & -\sin \alpha\\\sin\alpha & \cos\alpha\end{pmatrix} \cdot\overset\longrightarrow{OQ}$
Setze den Vektor $\overset\longrightarrow{OQ}$ und den Winkel $\alpha$ ein.
$=\begin{pmatrix}\cos 315° & -\sin 315°\\\sin 315° & \cos 315°\end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix}-3\\4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix}-3\\4\end{pmatrix}$
Führe die Matrix-Vektor-Multiplikation durch.
$\Rightarrow \overset\longrightarrow{OQ'} = \begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{7}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}$
3. Schritt: Verschiebe den Vektor $\overset\longrightarrow{OQ'}$ um den Vektor $\overset\longrightarrow{OZ}$ .
$\overset\longrightarrow{OP'} = \overset\longrightarrow{OQ'} + \overset\longrightarrow{OZ}$
Setze die Vektoren ein.
$\Rightarrow \overset\longrightarrow{OP'} = \begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{7}{\sqrt{2}}\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0\\-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{7}{\sqrt{2}} - 2\end{pmatrix}$
$\Rightarrow P' = \left(\left.\frac{1}{\sqrt{2}} \right| \frac{7}{\sqrt{2}} - 2\right)$ ist der gesuchte Punkt.
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$P (1 ∣ - 3)$ , $Z (- 1 ∣ - 2)$ , $\alpha = 60°$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drehung um einen Punkt
1. Schritt: Bestimme die Koordinaten des Hilfsvektors $\overset\longrightarrow {OQ}$ .
$\overset\longrightarrow{OQ} = \overset\longrightarrow{ZP}$
Setze die Koordinaten des Vektors ein.
$\overset\longrightarrow{ZP} = \begin{pmatrix}1 - (-1)\\-3 - (-2)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix} = \overset\longrightarrow{OQ}$
2. Schritt: Drehe $\overset\longrightarrow {OQ}$ mit Winkel $\alpha = 60°$ um den Ursprung.
$\overset\longrightarrow{OQ'} = \begin{pmatrix}\cos \alpha & -\sin \alpha\\\sin\alpha & \cos\alpha\end{pmatrix} \cdot\overset\longrightarrow{OQ}$
Setze den Vektor $\overset\longrightarrow{OQ}$ und den Winkel $\alpha$ ein.
$=\begin{pmatrix}\cos 60° & -\sin 60°\\\sin 60° & \cos 60°\end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}$
Führe die Matrix-Vektor-Multiplikation durch.
$\Rightarrow \overset\longrightarrow{OQ'} = \begin{pmatrix}1 + \frac{\sqrt{3}}{2}\\\sqrt{3} - \frac{1}{2}\end{pmatrix}$
3. Schritt: Verschiebe den Vektor $\overset\longrightarrow{OQ'}$ um den Vektor $\overset\longrightarrow{OZ}$ .
$\overset\longrightarrow{OP'} = \overset\longrightarrow{OQ'} + \overset\longrightarrow{OZ}$
Setze die Vektoren ein.
$\Rightarrow \overset\longrightarrow{OP'} = \begin{pmatrix}1 + \frac{\sqrt{3}}{2}\\\sqrt{3} - \frac{1}{2}\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-1\\-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{\sqrt{3}}{2}\\\sqrt{3} - \frac{5}{2}\end{pmatrix}$
$\Rightarrow P' = \left(\left.\frac{\sqrt{3}}{2} \right| \sqrt{3} - \frac{5}{2} \right)$ ist der gesuchte Punkt.
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$P (2 ∣ - 2)$ , $Z (2 ∣ - 1)$ , $\alpha = 120°$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drehung um einen Punkt
1. Schritt: Bestimme die Koordinaten des Hilfsvektors $\overset\longrightarrow {OQ}$ .
$\overset\longrightarrow{OQ} = \overset\longrightarrow{ZP}$
Setze die Koordinaten des Vektors ein.
$\overset\longrightarrow{ZP} = \begin{pmatrix}2 - 2\\-2 - (-1)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\-1\end{pmatrix} = \overset\longrightarrow{OQ}$
2. Schritt: Drehe $\overset\longrightarrow {OQ}$ mit Winkel $\alpha = 120°$ um den Ursprung.
$\overset\longrightarrow{OQ'} = \begin{pmatrix}\cos \alpha & -\sin \alpha\\\sin\alpha & \cos\alpha\end{pmatrix} \cdot\overset\longrightarrow{OQ}$
Setze den Vektor $\overset\longrightarrow{OQ}$ und den Winkel $\alpha$ ein.
$=\begin{pmatrix}\cos 120° & -\sin 120°\\\sin 120° & \cos 120°\end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix}0\\-1\end{pmatrix}$
Führe die Matrix-Vektor-Multiplikation durch.
$\Rightarrow \overset\longrightarrow{OQ'} = \begin{pmatrix}\frac{\sqrt{3}}{2}\\\frac{1}{2}\end{pmatrix}$
3. Schritt: Verschiebe den Vektor $\overset\longrightarrow{OQ'}$ um den Vektor $\overset\longrightarrow{OZ}$ .
$\overset\longrightarrow{OP'} = \overset\longrightarrow{OQ'} + \overset\longrightarrow{OZ}$
Setze die Vektoren ein.
$\Rightarrow \overset\longrightarrow{OP'} = \begin{pmatrix}\frac{\sqrt{3}}{2}\\\frac{1}{2}\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{\sqrt{3}}{2} + 2\\-\frac{1}{2}\end{pmatrix}$
$\Rightarrow P' = \left(\left.\frac{\sqrt{3}}{2} +2 \right| -\frac{1}{2} \right)$ ist der gesuchte Punkt.
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