Aufgaben zur Drehung mit Matrizen

Die Gerade $h$ mit der Gleichung $y=x$ $(\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R})$ ist Symmetrieachse von Rauten $A_nB_nC_nD_n$ . Die Diagonalen $[B_nD_n]$ der Rauten $A_nB_nC_nD_n$ liegen auf der Geraden $h$ . Die Punkte $A_n(x|2x+3)$ liegen auf der Geraden $g$ mit der Gleichung $y=2x+3$ $(\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R})$ . Die Abszisse der Punkte $D_n$ ist stets um vier größer als die Abszisse $x$ der Punkte $A_n$ . Dabei gilt: $x \in ]$ - $3 ; 5[$ .

Runde im folgenden auf zwei Nachkommastellen!

Zeichne die Geraden $g$ und $h$ sowie die Raute $A_1B_1C_1D_1$ für $x=-0{,}5$ und die Raute $A_2B_2C_2D_2$ für $x=2{,}5$ in ein Koordinatensystem! Für die Zeichnung: Längeneinheit $1 cm$ ; $-4\leq x \leq 9; -3\leq y \leq 9$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Punkt an Achse spiegeln
Zeichnen der Raute $A_1B_1C_1D_1$
Du fängst mit der Raute $A_1B_1C_1D_1$ an. Gegeben sind $x$ = $-0{,}5$ und die Gleichungen $y=2x+3$ für den Punkt $A_1$ und $y=x$ für die Punkte $C_1$ und $D_1$
Erst berechnest du die $y$ -Koordinate von $A_1$ .
$y_{A_1}=2\cdot -0{,}5 + 3=2$
Du trägst den Punkt $A_1(-0{,}5|2)$ ein. Dann berechnest du die Koordinaten von $D_1$ .
$x_{D_1}=x_{A_1}+4=-0{,}5+4=3{,}5$
$y_{D_1}=3{,}5$
Du trägst den Punkt $D_1(3{,}5|3{,}5)$ ein. Dann spiegelst du $A_1$ an $h$ , um $C_1$ einzutragen.
Als nächstes zeichnest du die Strecke $[A_1C_1]$ und spiegelst $D_1$ an dieser, um $B_1$ einzutragen.
Die Koordinaten von $C_1$ und $B_1$ musst du nicht berechnen.
Zeichnen der Raute $A_2B_2C_2D_2$
Für die Raute $A_2B_2C_2D_2$ : Gegeben sind $x=2{,}5$ und die Gleichungen $y=2x+3$ für den Punkt $A_2$ und $y=x$ für die Punkte $C_2$ und $D_2$ .
Du gehst für die zweite Raute genauso vor, wie für die erste.
Erst berechnest du die $y$ -Koordinate von $A_2$ .
$y_{A_2}=2\cdot 2{,}5 + 3=8$
Du trägst den Punkt $A_2(2{,}5|8)$ ein. Dann berechnest du die Koordinaten von $D_2$ .
$x_{D_2}=x_{A_2}+4=2{,}5+4=6{,}5$
$y_{D_2}=6{,}5$
Dann spiegelst du wieder $A_2$ an $h$ , um $C_2$ einzutragen und $D_2$ an $[A_2C_2]$ , um $B_2$ einzutragen.
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Zeige, dass für die Punkte $D_n$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_n$ gilt: $D_n(x+4|x+4)$ ! Bestätige sodann durch Rechnung die untere Intervallgrenze $x=-3$ der Rauten $A_nB_nC_nD_n$ !

1. Teilaufgabe
Die Abszissen der Punkte $D_n$ sind um 4 größer als die Abszissen der Punkte $A_n$ (in der Aufgabe definiert). Die Punkte $D_n$ liegen auf der Geraden $y=x$ .
Damit sind die Koordinaten der Punkte $D_n(x+4|x+4)$ .
2. Teilaufgabe
Die untere Intervallgrenze ist die Stelle, an der sich die Geraden $g: y=2x+3$ und $h: y=x$ schneiden.
Du berechnest also den Schnittpunkt der beiden Geraden
$2x+3=x$
und löst nach $x$ auf.
$\Leftrightarrow x=-3$
$\Rightarrow$ Die untere Intervallgrenze ist $x=-3$ .
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Begründe, warum sich für $[A_nD_n]\perp h$ die obere Intervallgrenze $x=5$ ergibt und bestätige diese durch Rechnung!

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt
Sobald $D_n$ auf der Diagonalen $[A_nC_n]$ liegt, liegt auch das an dieser Diagonalen gespiegelte $B_n$ auf der Diagonalen und es gibt keine Raute mehr.
Wenn das eintritt, ist die Strecke $[A_nD_n]$ orthogonal zur Geraden $h$ .
Die Strecke $[A_nD_n]$ kannst du als Vektor schreiben:
$\overrightarrow{A_nD_n}=\begin{pmatrix}x+4-x \\x+4-(2x+3)\end{pmatrix}$
Wenn dieser orthogonal zur Geraden $h$ ist, ist das Skalarprodukt des Richtungsvektors der Geraden $h$ und der Strecke $[A_nD_n]$ gleich null.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array} {lcr}&\begin{pmatrix} x+4-x \\ x+4-(2x+3) \end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix} 1 \\1 \end{pmatrix}=0 \\\Leftrightarrow \,\, & x+4-x+x+4-(2x+3)=0 \\\Leftrightarrow \,\, & x=5\end{array}$
Daher wurde die obere Intervallgrenze $x=5$ gewählt.
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Bestimme rechnerisch die Koordinaten der Punkte $C_n$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_n$ !

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spiegelung an einer Ursprungsgeraden
Gegeben: $A_n(x|2x+3)$
Spiegelachse: $y=x$
Du hast in Teilaufgabe 1 die Punkte $C_1$ und $C_2$ konstruiert, indem du die Punkte $A_1$ und $A_2$ an der Diagonalen $B_nD_n$ gespiegelt hast. Dies kannst du für alle Punkte $C_n$ machen.
Zunächst berechnest du den Winkel, den die Spiegelachse mit der x-Achse einschließt.
$\alpha=tan^{-1}(m)=tan^{-1}(1)=45^\circ$
Das kannst du in die Formel für die Achsenspiegelung an einer Ursprungsgeraden einsetzen.
$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \cos{2\alpha} & \sin{2\alpha} \\ \sin{2\alpha} & -\cos{2\alpha} \end{pmatrix}$ $\cdot\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$
$= \begin{pmatrix} \cos{2\cdot45^\circ} & \sin{2\cdot45^\circ}\\\sin{2\cdot45^\circ} & -\cos{2\cdot45^\circ} \end{pmatrix}$ $\cdot \begin{pmatrix} x \\ 2x+3 \end{pmatrix}$
$=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix} x \\ 2x+3 \end{pmatrix}$
$= \begin{pmatrix} 2x+3 \\ x \end{pmatrix}$
$\Rightarrow$ Die Koordinaten der Punkte $C_n$ in Abhängigkeit von der Abszisse x der Punkte $A_n$ sind $(2x+3|x)$ .
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Berechne den Flächeninhalt $A$ der Rauten $A_nB_nC_nD_n$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_n$ !

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt einer Raute berechnen
Gegeben: $A_n(x|2x+3)$ , $C_n(2x+3|x)$ , $D_n(x+4|x+4)$
Du bildest zuerst den Vektor $\overrightarrow{D_nA_n}$
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lcr} \overrightarrow{D_nA_n}= &\begin{pmatrix} x-(x+4) \\ 2x+3-(x+4)\end{pmatrix} \\ =& \begin{pmatrix} -4 \\ x-1 \end{pmatrix}\end{array}$
Dann bildest du den Vektor $\overrightarrow{D_nC_n}$ .
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lcr} \overrightarrow{D_nC_n}= &\begin{pmatrix} 2x+3-(x+4) \\ x-(x+4)\end{pmatrix} \\ =& \begin{pmatrix} x-1 \\ -4 \end{pmatrix}\end{array}$
Mit der Determinante rechnest du jetzt den Flächeninhalt $A$ aus. Das kannst du machen, da die Raute aus zwei gleich großen Dreiecken besteht.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lcr} A(x) = \begin{pmatrix} -4 & x-1 \\ x-1 & -4 \end{pmatrix}\end{array}\\\\=16-(x-1)(x-1)\\\\=-x^2+2x+15$
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Die Seite $[C_3D_3]$ der Raute $A_3B_3C_3D_3$ verläuft senkrecht zur $x$ -Achse. Berechne die Koordinaten des Punktes $D_3$ !

Gegeben: $D_n(x+4|x+4)$ , $C_n(2x+3|x)$
Wenn die Strecke $[C_3D_3]$ orthogonal zur $x$ -Achse ist, sind die Abszissen der Punkte $C_3$ und $D_3$ gleich.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lcr} & \,\, x_{D_3}=x_{C_3}\\& \,\, x+4=2x+3 \\\Leftrightarrow & \,\, x=1\end{array}$
Das Ergebnis setzt du in die Koordinaten von $D_n(x+4|x+4)$ ein.
$D_3(1+4|1+4)=(5|5)$
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In der Raute $A_4B_4C_4D_4$ hat die Diagonale $[A_4C_4]$ die gleiche Länge wie die Seite $[A_4D_4]$ . Begründe, dass für die Diagonale $[B_4D_4]$ gilt: $\overline{B_4D_4}=\overline{A_4D_4}\cdot \sqrt3$ !

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Höhe eines gleichseitigen Dreiecks
Du beschreibst zuerst die allgemeinen Eigenschaften einer Raute und verbindest das dann mit den Bedingungen, die in der Aufgabe gegeben sind. Es ist oft sinnvoll, eine Raute in zwei Dreiecke zu unterteilen und sich zunächst nur eins von diesen anzugucken.
Das markierte Dreieck $A_4C_4D_4$ ist gleichseitig:
$a=\overline{A_4C_4}=\overline{C_4D_4}=\overline{D_4A_4}$
Die Höhe $b$ eines gleichseitigen Dreiecks mit Seitenlänge $a$ kannst du der Formelsammlung entnehmen (oder diesem Artikel)
$b=\frac{\sqrt3}{2}a$
Die Strecke $[B_4D_4]$ ist doppelt so lang wie die Höhe $b$ des Dreiecks. Es gilt demnach:
$\overline{B_4D_4}=2 \cdot b=2 \cdot \frac{\sqrt3}{2} \cdot a=\sqrt3 \cdot a$
Jetzt verbindest du noch deine Argumente, um die gleiche Formel wiederzugeben, die in der Aufgabe verlangt ist.
$a=\overline{A_4D_4}$
$\Rightarrow \overline{B_4D_4}=\sqrt3 \cdot \overline{A_4D_4}$
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