Rechnung mit Vektoren (Vektoren in der Ebene II)

1 Übersicht

Inhalt des Kurses

Du weißt bereits was Vektoren sind. In diesem Kurs lernst du nun wie man mit ihnen rechnet. Es werden wichtige Begriffe wie Vektorkette oder die Streckung eines Vektors. Außerdem lernst du wie du Vektoren addierst oder subtrahierst.

Vorkenntnisse

Du sollstest wissen was ein Vektor ist. Dies wird im Kurs Vektoren in der Ebene I erklärt.

Kursdauer

ca. 2 Stunden

2 Addition (1/2)

Addition auf der Schatzkarte

Gibt es einen Vektor, der den direkten Weg vom Felsen zum Baum beschreibt? Also eine Möglichkeit ohne den Umweg über den Wegweiser, der auf der Schatzkarte eingezeichnet wurde, zu dem Baum zu gelangen?

Ja, denn: Du kannst einfach vom Felsen direkt zum Baum gehen. Wenn du beim Felsen beginnst, ist es egal, ob du erst zum Wegweiser und dann zum Baum oder gleich zum Baum gehst. Beide Wege führen zu dem Baum.

Das Ziel, an dem du ankommst, bleibt gleich.

Alt: Addition auf der SchatzkarteLink: (kein Link)

Hängt man also die Vektoren $\vec a$ und $\vec b$ aneinander, führt das zu demselben Punkt wie auch der Vector $\vec v$

Man kann zwei Vektoren aneinanderhängen, indem man sie addiert:

\displaystyle \ \ \ \ \ \vec a + \vec b = \vec v.

3 Addition (2/2)

Die Addition von zwei Vektoren erfolgt komponentenweise, das heißt man zählt $\vec a$ und $\vec b$ zusammen, indem man ihre Koordinaten addiert.

Allgemein

Gegeben: $\ \ \vec a = \begin{pmatrix} x_a \\ y_a \end{pmatrix}, \ \ \vec b = \begin{pmatrix} x_b \\ y_b \end{pmatrix}.$

Gesucht: $\ \ \vec a + \vec b.$

Lösung: $\ \ \vec a + \vec b = \begin{pmatrix} x_a \\ y_a \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x_b \\ y_b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_a+x_b \\ y_a+y_b \end{pmatrix}$

Beispiel

Gegeben: $\ \ \vec a = \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \end{pmatrix}, \ \ \vec b = \begin{pmatrix} 5 \\ -1 \end{pmatrix}.$

Gesucht: $\ \ \vec a + \vec b.$

Lösung: $\ \ \vec a + \vec b = \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 + 5 \\ 7 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ 6 \end{pmatrix}$

Veranschaulichung:

Alt: (kein alt text)Link: (kein Link)

Veranschaulichung:

Alt: (kein alt text)Link: (kein Link)

4 Kommutativität der Addition

Bei der Addition von Zahlen darf man laut dem Kommutativgesetz die Summanden vertauschen. Dies wendet man nun auf die Lösung der letzten Kursseite an. In der rechten Spalte werden weiterhin die selben Rechenschritte am Beispiel durchgeführt.

$\ \ \vec a + \vec b = \begin{pmatrix} x_a + x_b \\ y_a + y_b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_b + x_a \\ y_b + y_a \end{pmatrix}$

$\ \ \vec a + \vec b = \begin{pmatrix} 3 + 5 \\ 7 + (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 + 3 \\ -1 + 7 \end{pmatrix}$

Löst man dies nun wieder nach $\vec{a}$ und $\vec{b}$ auf, sieht man, dass man auch bei der Vektoraddition die beiden Summanden vertauschen darf.

$\ \ \begin{pmatrix} x_b + x_a \\ y_b + y_a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_b\\ y_b \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x_a \\ y_a \end{pmatrix} = \vec b + \vec a$

$\ \ \begin{pmatrix} 5 + 3 \\ -1 + 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \end{pmatrix} = \vec b + \vec a$

Es gilt also auch hier das Kommutativgesetz.

5 Aufgaben zur Addition

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6 Subtraktion (1/2)

Jetzt hast du schon gelernt, wie man Vektoren miteinander addiert. Die Subtraktion funktioniert im Grunde ähnlich.

Die Subtraktion von zwei Vektoren erfolgt komponentenweise, das heißt man zieht $\vec b$ von $\vec c$ ab, indem man ihre Koordinaten subtrahiert.

Man schreibt:

\displaystyle \vec a = \vec c - \vec b

Komponentenweise, mit $\vec c = \begin{pmatrix}x_c\\y_c\end{pmatrix}$ und $\vec b = \begin{pmatrix}x_b\\y_b\end{pmatrix}$ :

\displaystyle \vec c - \vec b = \begin{pmatrix}x_c\\y_c\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}x_b\\y_b\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x_c-x_b\\y_c-y_b\end{pmatrix}

Alt: (kein alt text)Link: (kein Link)

Anschaulich kann man sich diese Subtraktion so vorstellen, dass man den Gegenvektor addiert.

\displaystyle \vec c + (-\vec b) = \begin{pmatrix}c_1\\c_2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-b_1\\-b_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}c_1-b_1\\c_2-b_2\end{pmatrix}

Alt: (kein alt text)Link: (kein Link)

7 Subtraktion (2/2)

Beispiel

Man hat die Vektoren

$\vec v = \begin{pmatrix}-3\\5\end{pmatrix}$ und $\,\vec w = \begin{pmatrix}-6\\2\end{pmatrix}\,$ gegeben.

Du sollst nun die Vektorsubtraktion von $\vec v$ und $\vec w$ bestimmen. Bilde also die Differenz:

$\vec u = \vec v - \vec w = \begin{pmatrix}-3\\5\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}-6\\2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3-(-6)\\5-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\3\end{pmatrix}$

Wie das geometrsich aussieht, siehst du im Bild rechts.

Alt: (kein alt text)Link: (kein Link)

8 Aufgaben zur Subtraktion

Subtrahiere die Vektoren:

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9 Streckung von Vektoren

Nun kann man Vektoren nicht nur addieren und subtrahieren, sondern strecken oder stauchen, d.h. "größer oder kleiner machen". Die Richtung des Vektors verändert sich bis auf das Vorzeichen dabei nicht.

Mathematisch schreibt man das folgendermaßen:

$\vec w = k \cdot \vec v \ \\$ , wobei $\ k \in \mathbb{R}$

Unten könnt ihr mit einem Applet experimentieren, welches den Vektor $v$ bewegt (den blauen Punkt an der Spitze des Vektors bewegen), sowie Vielfache von $v$ erzeugt. (einfach den Schieberegler beim $k$ bewegen).

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10 Aufgaben zur Streckung von Vektoren

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11 Vektorkette (1/2)

Mithilfe von Vektoraddition, -Subtraktion und -Streckung kann man Vektorketten bilden. Durch Aneinanderreihung von verschiedenen Vektoren und Gegenvektoren entsteht so ein neuer Vektor.

Eine geschlossene Vektorkette (also eine Kette, in der die Spitze des letzten Vektors wieder auf den Fuß des ersten trifft) ergibt, egal welche Vektoren darin vorkommen, den Nullvektor.

Vektorketten sind nützlich, um geometrische Verhältnismäßigkeiten zu zeigen.

Beispiel

Gegeben: Das regelmäßige Sechseck $A B C D E F$ mit $A (3 ∣ 0)$ , $B (6 ∣ 0)$ , $C (7,5 ∣ 2,6)$ und $D (6 ∣ 5,2) .$

$E$ und $F$ sind nicht gegeben.

Gesucht: Der Vektor $\vec v.$

Alt: SechseckLink: (kein Link)

Um eine Vektorkette bilden zu können, rechnest du zuerst die Vektoren $\vec a$ , $\vec b$ und $\vec c$ aus:

$\vec a = \pmatrix{6-3\\0-0} = \pmatrix{3\\0}$

$\vec b = \pmatrix{7{,}5-6\\2{,}6-0} = \pmatrix{1{,}5\\2{,}6}$

$\vec c = \pmatrix{6-7{,}5\\5{,}2-2{,}6} = \pmatrix{-1{,}5\\2{,}6}$