Aufgaben zum Volumen eines Kegels

Du hast bald Geburtstag und möchtest coole Partyhüte basteln. Die Hüte sollen möglichst hoch sein, da das Motto deiner Party ist: "Je höher desto besser". Zunächst misst deine Mama den Umfang deines Kopfes, dieser beträgt $66 \;\mathrm{cm}$ . Du entscheidest dich für eine Höhe von $30 \;\mathrm{cm}$ .

Am Ende der Party darf jeder Gast seinen Hut mit Süßigkeiten füllen. Wie schaffst du es, dass jeder gleich viel Platz für seine Süßigkeiten hat, wenn aber nicht alle den gleichen Kopfumfang haben?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumen eines Kegels

Wie gehst du vor?

Du musst dir überlegen wie alle den gleichen Platz für ihre Süßigkeiten bekommen. Dies ist am fairsten, wenn alle Hüte das gleiche Volumen haben. Dazu musst du zuerst das Volumen deines Hutes ausrechnen.

Gegebene Maße

Dein Kopfumfang: $U_{Du} = 66 \; \mathrm{cm}$
Höhe des Hutes: $h = 30\; \mathrm{cm}$

1. Schritt: Bestimme den Radius

$\displaystyle U$	$=$	$\displaystyle 2\cdot\pi\cdot r$
	↓	stelle nach r um
$\displaystyle r_{Du}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{U_{Du}}{2\cdot\pi}$
	↓	Setze die Werte ein.
$\displaystyle r_{Du}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{66\cm}{2\cdot\pi}$
$\displaystyle r_{Du}$	$≈$	$\displaystyle 10{,}50\cm$

2. Schritt: Berechne das Volumen

$\displaystyle V$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}r^2\cdot\pi\cdot h$
	↓	Setze deine Werte ein und berechne das Volumen deines Hutes.
$\displaystyle V_{Du}$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}\cdot\left(10{,}50\cm\right)^2\cdot\pi\cdot30\cm$
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}\cdot110{,}25\cm^3\cdot\pi\cdot30\cm$
	$=$	$\displaystyle 1102{,}5\cm^3\cdot\pi$
	$≈$	$\displaystyle 3463{,}61\cm^3$

Dein Hut hat also ein Volumen von ungefähr $3463{,}61\; \mathrm{cm}^3$

Weiter geht es

… mit den Volumina der Hüte deiner Freunde. Wir wissen, dass alle das gleiche Volumen haben sollen. Den Umfang der Köpfe kann man messen und damit den Radius bestimmen (siehe Schritt 1). Was fehlt jetzt noch in der Formel $V_{Kegel} = \frac{1}{3} \cdot r^2 \cdot \pi \cdot h$ ? Richtig, die Höhe!

$\displaystyle V_{Kegel}$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}r^2\cdot\pi\cdot h$
	↓	Stelle nach h um.
$\displaystyle h$	$=$	$\displaystyle \frac{V_{Kegel}\cdot3}{r^2\cdot\pi}$

Und fertig! :-) Alles was du jetzt noch tun musst, ist das Volumen deines Hutes einsetzen, den Umfang der Köpfe deiner Freunde messen und den Radius ausrechnen und schon weißt du wie hoch der Hut deiner Freunde sein muss, damit jeder gleich viel Platz für seine Süßigkeiten hat.

Lösung: Man kann die Höhe der Hüte berechnen durch:

\displaystyle h = \frac {3463{,}61\;\mathrm{cm^3} \cdot 3}{r^2 \cdot \pi}

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