Lösung 1c

Aufgabenstellung

Ein Getränkehersteller führt eine Werbeaktion durch, um die Verkaufszahlen seiner Saftschorlen zu erhöhen. Bei %%100 \; 000%% der für die Werbeaktion produzierten zwei Millionen Flaschen wird auf der Innenseite des Verschlusses eine Marke für einen Geldgewinn angebracht. Von den Gewinnmarken sind %%12 \; 000%% jeweils %%5%% € wert, der Rest ist jeweils %%1%% € wert. Alle Flaschen der Werbeaktion werden zufällig auf Kästen verteilt. Im Folgenden werden nur Flaschen aus der Werbeaktion betrachtet.

Es wird eine Flasche geöffnet. Betrachtet werden folgende Ereignisse:

%%A%%: „Der Verschluss enthält eine Gewinnmarke.“

%%B%%: „Der Verschluss enthält eine Gewinnmarke im Wert von 1 €.“

%%a)%% Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten %%P(A)% %% und %%P(B)%%. (2 BE)

%%b)%% Es werden mehrere Flaschen geöffnet und für jede dieser Flaschen wird festgestellt, ob das Ereignis %%A%% eintritt. Begründen Sie, dass dieses Zufallsexperiment näherungsweise durch eine Bernoullikette beschrieben werden kann. (2 BE)

Im Folgenden gilt beim Öffnen einer Flasche stets %%P(A)=0,05%% und %%P(B)=0,044%%.

%%c)%% Es werden nacheinander zehn Flaschen geöffnet. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich erstmals in der fünften Flasche eine Gewinnmarke befindet. (2 BE)

Lösung

Zunächst stellst du aus den vorherigen Aufgaben fest, dass du das Zufallsexperiment als "Ziehen mit Zurücklegen" betrachten kannst. Die Wahrscheinlichkeit von Ereignis %%A%% nimmst du daher als konstant an.

Betrachte nun das Ereignis:

%%C%%: Die ersten %%4%% Flaschen sind ohne Gewinnmarke, die %%5.%% Flasche mit.

Ereignis %%C%% kann als Produkt der Ereignisse %%A%% und dessen Gegenereignis %%\overline{A}%% geschrieben werden.

Es gilt:

$$P(C)=P(\overline{A})\cdot P(\overline{A})\cdot P(\overline{A})\cdot P(\overline{A})\cdot P(A) = \frac{19}{20}\cdot \frac{19}{20}\cdot \frac{19}{20}\cdot \frac{19}{20}\cdot \frac{1}{20} \approx 0,041$$

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