Entscheidungsregel eines Hypothesentests

Begriffe

Der Grenzwert zwischen An- und Ablehnungsbereich wird üblicherweise als kritischer Wert bezeichnet. Man wählt dabei meistens die Trefferzahl, ab der die zu überprüfende Hypothese angenommen wird.

Die Entscheidungsregel aufstellen heißt, für eine der beiden Hypothesen - üblicherweise für die Nullhypothese - Annahme- und Ablehnungsbereich festzulegen.

Bemerkung: Bei zweiseitigen Signifikanztests ist nach Abweichungen der Trefferwahrscheinlichkeit in beide Richtungen gesucht. Hier ist der Ablehnungsbereich der Nullhypothese zweigeteilt.

Beispiel

Jemand hat festgelegt, dass die Hypothese $H$: "Höchstens $2\;\%$ der Werkstücke sind defekt"

Entscheidungsregel mit Signifikanzniveau

Die Entscheidungsregel darf nicht willkürlich gewählt werden, denn sie bestimmt die Aussagekraft des Tests. Wird der kritische Wert zu niedrig oder zu hoch angesetzt, wird die Hypothese unabhängig von der tatsächlichen Wahrscheinlichkeit fast immer angenommen bzw. abgelehnt.

Um eine gewisse Aussagekraft, man spricht auch von Signifikanz, sicherzustellen, bestimmt man das Signifikanzniveau des Tests. Das ist gleich der Wahrscheinlichkeit, einen Fehler 1. Art zu begehen.

Nun wählt man den kritischen Wert so, dass der Fehler 1. Art kleiner als das Signifikanzniveau ist. Dazu stellt man die Formel für den Fehler auf und sucht den kleinsten Wert, der die Bedingung noch erfüllt.

Typische Werte für das Signifikanzniveau sind $1\;\%$, $5\;\%$ oder $10\;\%$. Die konkrete Wahl hängt meist von der Länge n der Stichprobe ab. Bei $n<100$ ist es sehr schwer, den Fehler auf unter $1\;\%$ zu halten. Dieses Niveau wird daher nur bei großen Stichproben verwendet. $10\;\%$ können bei größeren Proben dafür zu sehr großen Abweichungen führen.

Beispiel

Um das Signifikanzniveau im obigen Beispiel zu bestimmen, muss man also die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art bestimmen. Dieser tritt ein, wenn fünf oder mehr defekte Stücke auftreten, obwohl immer noch nur $2\;\%$ Ausschuss produziert werden. Bestimme also die Wahrscheinlichkeit für fünf oder mehr Treffer bei $n=100$ Versuchen mit Trefferwahrscheinlichkeit $p=0{,}02$. Das kann man z.B. mit dem Tafelwerk zur Binomialverteilung. Da hier aber immer die Wahrscheinlichkeit für null bis $k$ Treffer angegeben sind, muss man über das Gegenereignis gehen. Bestimme also die Wahrscheinlichkeit für $(100-5)=95$ oder weniger Treffer bei $n=100$ und $p=0{,}98$ und ziehe diese von eins ab.

$1-P^{100}_{0{,}98}(X\le95)=1- 0{,}9492= 0{,}0502\approx5\%$

Warum nicht 0%?

Optimal wäre es natürlich, überhaupt keinen Fehler zu machen. Das ist aber nicht möglich, da man dazu die Nullhypothese immer annehmen müsste. Denn im Extremfall kann es dazu kommen, dass kein einziger entsprechender Treffer auftritt, obwohl sie wahr ist. Ein solcher Test würde aber keinen Sinn ergeben.

Zudem besteht ein indirekter Zusammenhang zwischen den beiden Fehlern. Je geringer die Chance für einen Fehler 1. Art ist, desto größer wird die Chance für einen Fehler 2. Art.

Man wählt den Fehler 1. Art für das Signifikanzniveau, da eine geringe Wahrscheinlichkeit hier bedeutet, dass man eher bei der bisherigen Ansicht bleibt. Nur wenn es auffallende Abweichungen gibt, bestätigt man die neue Hypothese.