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Hypothesentest

Bei einem Hypothesentest stehen sich zwei einander widersprechende Behauptungen / Vermutungen (sog. Hypothesen) gegenüber. Welche der beiden Hypothesen wahr ist und welche falsch, weiß man nicht und man kann es auch nicht wissen, da in den Hypothesen Aussagen über vom Zufall beeinflusste Vorgänge gemacht werden.

Der Hypothesentest dient nun dazu, anhand des Ergebnisses einer Stichprobe zu einer Entscheidung darüber zu kommen, welche der beiden Hypothesen man eher zu glauben bereit ist oder anders ausgedrückt: Welche der beiden Hypothesen angenommen (bzw. beibehalten) und welche verworfen wird. 

Eine 100%100\%ige Sicherheit, dass die angenommene Hypothese auch tatsächlich wahr ist, kann der Hypothesentest naturgemäß niemals bieten.

Zur Berechnung der Wahrscheinlichkeiten eines solchen Tests benutzt man die Binomialverteilung.

Vorgehensweise

Die beiden Hypothesen

Als Erstes muss man aus der Aufgabenstellung die beiden einander gegenüberstehenden Hypothesen herauslesen.

In der Regel werden in den beiden Hypothesen Aussagen über die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines bestimmten Ereignisses gemacht.

  1. Um welches Ereignis handelt es sich? Dieses Ereignis wird dann als „Treffer“ (im Sinne des Treffers einer Bernoulli-Kette) aufgefasst und seine Wahrscheinlichkeit üblicherweise mit pp abgekürzt.

  2. Welche Aussagen über p stehen einander gegenüber? Oft wird in der Aufgabenstellung nur eine der beiden Hypothesen konkret formuliert. Die andere muss man dann (zumeist einfach durch logische Verneinung der angegebenen Hypothese) selbst erschließen.

  3. Bei einem Signifikanztest: Welche der beiden Hypothesen ist die Nullhypothese und welche die Gegenhypothese?

Die Stichprobe: Testgröße und Stichprobenlänge

Um zu einer Entscheidung darüber zu gelangen, welche der beiden Hypothesen angenommen und welche verworfen werden soll, plant man nun die Durchführung einer Stichprobe: Das Zufallsexperiment wird n-mal voneinander unabhängig durchgeführt und dabei notiert wird, wie oft das betreffende Ereignis eintritt.

Die Anzahl n der Wiederholungen des Zufallsexperiments bezeichnet man als die Länge der Stichprobe.

Das, worauf bei der Durchführung der einzelnen Versuche geachtet wird (also die Anzahl der "Treffer"), nennt man die Testgröße. Sie wird manchmal mit TT, oft auch mit XX oder ZZ abgekürzt.

Bei der Stichprobe handelt es sich dabei um eine Bernoulli-Kette. Die Testgröße ist daher binomialverteilt.

Die Entscheidungsregel: Annahme- und Ablehnungsbereich

Abhängig vom Wert, den die Testgröße in der Stichprobe annimmt, wird man die Richtigkeit der einen bzw. der anderen der beiden Hypothesen annehmen.

Diejenigen Werte zwischen 00 und n, bei denen die Richtigkeit der Hypothese HH angenommen werden soll, bezeichnet man als den Annahmebereich von HH. Die anderen Werte, also die, bei denen HH verworfen (d. h. abgelehnt) wird, bilden den Ablehnungsbereich von HH.

Die Entscheidungsregel aufstellen heißt, für eine der beiden Hypothesen – üblicherweise für die Nullhypothese - Annahme- und Ablehnungsbereich festzulegen.

Weitere wichtige Begriffe

Fehler 1. Art und 2. Art

Bei einem Hypothesentest können zwei spezielle Fehler auftreten:

  • Ein Fehler 1. Art liegt vor, wenn bei einem Hypothesentest die Nullhypothese zu Unrecht verworfen wird.

  • Ein Fehler 2. Art liegt vor, wenn bei einem Hypothesentest die Nullhypothese zu Unrecht beibehalten wird.

Damit ergeben sich vier mögliche Ausgänge für einen Hypothesentest. Diese lassen sich mit einer Tabelle veranschaulichen:

H0H_0 ist wahr

H0H_0 ist falsch

Die Testgröße T nimmt bei der Stichprobe einen Wert im Annahmebereich von H0H_0 an.

Richtige Entscheidung H0H_0 ist wahr und wird (zu Recht) beibehalten.

Falsche Entscheidung H0H_0 ist falsch und wird zu Unrecht beibehalten. Fehler 2. Art

Die Testgröße T nimmt bei der Stichprobe einen Wert im Ablehnungsbereich von H0H_0 an.

Falsche Entscheidung H0H_0​ ist wahr und wird zu Unrecht verworfen. Fehler 1. Art

Richtige Entscheidung H0H_0 ist falsch und wird (zu Recht) verworfen.

Der Fehler 2. Art lässt sich im Allgemeinen nicht berechnen, da für die Gegenhypothese keine Trefferwahrscheinlichkeit angegeben ist (Ausnahme Alternativtest).

Signifikanzniveau

Die Entscheidungsregel sollte nicht willkürlich oder nach Gefühl aufgestellt werden. Denn dann kann es passieren, dass Hypothesen zu leicht angenommen oder abgelehnt werden, was die Aussagekraft des Tests verschlechtert.

Um das zu verhindern, bestimmt man vorher ein Signifikanzniveau. Dieses stellt sicher, dass das Ergebnis des Tests aussagekräftig ist.

Das Signifikanzniveau ist dabei gleich der Wahrscheinlichkeit einen Fehler 1. Art zu begehen. Übliche Werte sind 5%5\% und 10%,10\%, bei großen Stichproben manchmal auch 1%1\%.

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