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2Lösung 1d

Aufgabenstellung

Ein Getränkehersteller führt eine Werbeaktion durch, um die Verkaufszahlen seiner Saftschorlen zu erhöhen. Bei 100  000100 \; 000 der für die Werbeaktion produzierten zwei Millionen Flaschen wird auf der Innenseite des Verschlusses eine Marke für einen Geldgewinn angebracht. Von den Gewinnmarken sind 12  00012 \; 000 jeweils 55 € wert, der Rest ist jeweils 11 € wert. Alle Flaschen der Werbeaktion werden zufällig auf Kästen verteilt. Im Folgenden werden nur Flaschen aus der Werbeaktion betrachtet.

 

Es wird eine Flasche geöffnet. Betrachtet werden folgende Ereignisse:

 

AA: „Der Verschluss enthält eine Gewinnmarke.“

 

BB: „Der Verschluss enthält eine Gewinnmarke im Wert von 1 €.“

 

a)a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten P(A)P(A)% und P(B)P(B). (2 BE)

 

b)b) Es werden mehrere Flaschen geöffnet und für jede dieser Flaschen wird festgestellt, ob das Ereignis AA eintritt. Begründen Sie, dass dieses Zufallsexperiment näherungsweise durch eine Bernoullikette beschrieben werden kann. (2 BE)

 

Im Folgenden gilt beim Öffnen einer Flasche stets P(A)=0,05P(A)=0{,}05 und P(B)=0,044P(B)=0{,}044.

 

c)c) Es werden nacheinander zehn Flaschen geöffnet. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich erstmals in der fünften Flasche eine Gewinnmarke befindet. (2 BE)

d)d) Bestimmen Sie unter Zuhilfenahme des Tafelwerks, wie viele Flaschen man mindestens öffnen muss, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 55 % mindestens zwei Gewinnmarken zu finden. (4 BE)

Lösung

Als erstes musst du dir eine Zufallsgröße definieren. Betrachte:

 

X:X: Anzahl der Gewinnmarken unter nn Flaschen.

 

Für jedes nn gilt: Die Zufallsgröße XX ist binomialverteilt mit der von nn-abhängigen Wahrscheinlichkeitsfunktion B(n;0,05)B(n;0{,}05). Das folgt aus Teilaufgabe b)b).

 

Nun möchtest du wissen, wie groß nn mindestens sein muss, damit gilt:

 

 

Als nächstes nutzt du aus, dass P(X2)=1P(X1)P(X\geq2) = 1 - P(X\leq1) ist. Dann folgt:

 

 

Da die Zufallsgröße XX binomialverteilt ist, folgt weiter:

 

(n0)0,0500,95n+(n1)0,0510,95n1<0,95\binom{n}{0}\cdot0{,}05^0\cdot0{,}95^n +\binom{n}{1}\cdot 0{,}05^1\cdot 0{,}95^{n-1} < 0{,}95

 

Jetzt kommt das Tafelwerk zum Einsatz. Dort siehst du unter Binomialverteilung zur Wahrscheinlichkeit p=0,05p = 0{,}05 nach und suchst den passenden Wert für nn. Alternativ kann man auch verschiedene Werte für nn einsetzen und schauen, wann die Gleichung erstmals erfüllt wird.

 

Mit beiden Methoden folgt: n8n \geq 8.


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