Lösung 1d

Aufgabenstellung

Ein Getränkehersteller führt eine Werbeaktion durch, um die Verkaufszahlen seiner Saftschorlen zu erhöhen. Bei %%100 \; 000%% der für die Werbeaktion produzierten zwei Millionen Flaschen wird auf der Innenseite des Verschlusses eine Marke für einen Geldgewinn angebracht. Von den Gewinnmarken sind %%12 \; 000%% jeweils %%5%% € wert, der Rest ist jeweils %%1%% € wert. Alle Flaschen der Werbeaktion werden zufällig auf Kästen verteilt. Im Folgenden werden nur Flaschen aus der Werbeaktion betrachtet.

Es wird eine Flasche geöffnet. Betrachtet werden folgende Ereignisse:

%%A%%: „Der Verschluss enthält eine Gewinnmarke.“

%%B%%: „Der Verschluss enthält eine Gewinnmarke im Wert von 1 €.“

%%a)%% Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten %%P(A)% %% und %%P(B)%%. (2 BE)

%%b)%% Es werden mehrere Flaschen geöffnet und für jede dieser Flaschen wird festgestellt, ob das Ereignis %%A%% eintritt. Begründen Sie, dass dieses Zufallsexperiment näherungsweise durch eine Bernoullikette beschrieben werden kann. (2 BE)

Im Folgenden gilt beim Öffnen einer Flasche stets %%P(A)=0,05%% und %%P(B)=0,044%%.

%%c)%% Es werden nacheinander zehn Flaschen geöffnet. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich er stmals in der fünften Flasche eine Gewinnmarke befindet. (2 BE)

%%d)%% Bestimmen Sie unter Zuhilfenahme des Tafelwerks, wie viele Flaschen man mindestens öffnen muss, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als %%5%% % mindestens zwei Gewinnmarken zu finden. (4 BE)

Lösung

Als erstes musst du dir eine Zufallsgröße definieren. Betrachte:

%%X:%% Anzahl der Gewinnmarken unter %%n%% Flaschen.

Für jedes %%n%% gilt: Die Zufallsgröße %%X%% ist binomialverteilt mit der von %%n%%-abhängigen Wahrscheinlichkeitsfunktion %%B(n;0,05)%%. Das folgt aus Teilaufgabe %%b)%%.

Nun möchtest du wissen, wie groß %%n%% mindestens sein muss, damit gilt:

$$P(X\geq2) > 0,05$$

Als nächstes nutzt du aus, dass %%P(X\geq2) = 1 - P(X\leq1)%% ist. Dann folgt:

$$P(X\leq1) < 0,95 \Leftrightarrow P(X=0)+P(X=1) < 0,95$$

Da die Zufallsgröße %%X%% binomialverteilt ist, folgt weiter:

%%\binom{n}{0}\cdot0,05^0\cdot0,95^n +\binom{n}{1}\cdot 0,05^1\cdot 0,95^{n-1} < 0,95%%

Jetzt kommt das Tafelwerk zum Einsatz. Dort siehst du unter Binomialverteilung zur Wahrscheinlichkeit %%p = 0,05%% nach und suchst den passenden Wert für %%n%%. Alternativ kann man auch verschiedene Werte für %%n%% einsetzen und schauen, wann die Gleichung erstmals erfüllt wird.

Mit beiden Methoden folgt: %%n \geq 8%%.

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