Aufgabenstellung
In einem kartesischen Koordinatensystem legen die Punkte , und das gleichseitige Dreieck fest. a) Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene E, in der das Dreieck liegt, in Normalform.
Spiegelt man die Punkte , und am Symmetriezentrum , so erhält man die Punkte , bzw. .
b) Beschreiben Sie die Lage der Ebene, in der die Punkte , und liegen, im Koordinatensystem. Zeigen Sie, dass die Strecke senkrecht auf diese Ebene steht.
c) Begründen Sie, dass das Viereck ein Quadrat mit der Seitenlänge ist.
Der Körper ist ein sogenanntesOktaeder. Er besteht aus zwei Pyramiden mitdem Quadrat als gemeinsamer Grundflächeund den Pyramidenspitzen bzw. .
d) Weisen Sie nach, dass das Oktaederdas Volumen besitzt.
e) Bestimmen Sie die Größe des Winkelszwischen den Seitenflächen und.
f) Alle Eckpunkte des Oktaeders liegen auf einer Kugel. Geben Sie eine Gleichung dieser Kugel an. Berechnen Sie den Anteil des Oktaedervolumens am Kugelvolumen.
Lösung
Da , und durch Spiegelung an entstanden sind und ein Quadrat ist, ist der Mittelpunkt der Kugel.
Der Radius ist dann die Länge aller Vektoren, die von ausgehen. Nehme zum Beispiel , von dem du bereits weißt, dass er lang ist.
Kugelgleichung
,
Stelle die Kugelgleichung auf.
Kugelvolumen
Setze in die Formel für das Kugelvolumen ein.