4Lösung 2b

Aufgabenstellung

$2$Eine zweite Modellierung des Querschnitts der Tunnelwand verwendet eine Kosinusfunktion vom Typ $k: x \mapsto 5\cdot cos(c\cdot x)$ mit $c\in\mathbb{R}$ und Definitionsbereich $D_k=[-5;5]$, bei der offensichtlich Bedingung II erfüllt ist.

$a)$ Bestimmen Sie c so, dass auch Bedingung I erfüllt ist, und berechnen Sie damit den Inhalt der Querschnittsfläche des Tunnels. (5 BE)

(zur Kontrolle: $c=\frac{\pi}{10}$, Inhalt der Querschnittsfläche: $\frac{100}{\pi}m^2$)

Zeigen Sie, dass Bedingung III weder bei einer Modellierung mit p aus Aufgabe 1 noch bei einer Modellierung mit k erfüllt ist. (2 BE)

Lösung

Bedingung III ist bei p nicht erfüllt

$p: x \mapsto \; -0{,}2x^2+5$ und Bedingung III: Der Tunnel ist auf einer Breite von mindestens 6 m mindestens 4 m hoch.

Das heißt, die Funktion müsste an der Stelle $x=6:2=3$ noch mindestens $4m$ hoch sein. Das testet man, indem man $x=3$ in die Funktion einsetzt.

$p(3)=-0{,}2\cdot 3^2+5=-1{,}8+5=3{,}2<4$

Man sieht, dass die Bedingung nicht erfüllt ist.

Bedingung III ist bei k nicht erfüllt

Man geht genauso vor wie für p.

$k(3)=5\cdot cos(\frac{\pi}{10}\cdot 3)=2{,}9389…<4$

Man sieht, dass auch hier die Bedinung nicht erfüllt wird.