Nachtermin Teil B - lernen mit Serlo!

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Teilaufgabe 1.1

Zeichnung des Vierecks ABCD:

Strecke [AB] = 10 cm.
$∡ B A D = 120 °$
$∡ C B A = 90 °$

$A D = 6 c m$
$B C = 8 c m$
Verbinde abschließend die Punkte D und C.

Länge der Strecke $[B D]$ über den Kosinussatz im Dreieck ABD:

${B D}^{2}$	$=$	${A B}^{2} + {A D}^{2} - 2 \cdot A B \cdot A D \cdot \cos (∡ B A D)$
${B D}^{2}$	$=$	$(10^{2} + 6^{2} - 2 \cdot 10 \cdot 6 \cdot \cos (120 °)) c m$
$B D$	$=$	$(\sqrt{10^{2} + 6^{2} - 2 \cdot 10 \cdot 6 \cdot \cos (120 °)}) c m$
$B D$	$=$	$14 c m$

Maß des Winkels $∡ D B A$ über den Sinussatz im Dreieck ABD:

$\frac{A D}{\sin (∡ D B A)}$	$=$	$\frac{B D}{\sin (∡ B A D)}$
$\frac{6 c m}{\sin (∡ D B A)}$	$=$	$\frac{14 c m}{\sin (120 °)}$
$\sin (∡ D B A)$	$=$	$\frac{6 c m \cdot \sin (120 °)}{14 c m}$
$\sin (∡ D B A)$	$\approx$	$0,3711...$
$∡ D B A$	$\approx$	$21,79 °$

Teilaufgabe 1.2

Umfang des Vierecks ABCD:

$∡ B A C$ im Dreieck ABC:

$\tan (∡ B A C) = \frac{G e g e n k a t h e t e}{A n k a t h e t e}$

$\tan (∡ B A C) = \frac{B C}{A B} = \frac{8 c m}{10 c m}$ $∡ B A C \approx 38,66 °$

$∡ C A D = 120 ° - ∡ B A C = 120 ° - 38,66 ° \approx 81,34 °$

$A C$ im Dreieck ABC mit dem Satz des Pythagoras:

$A C = \sqrt{{A B}^{2} + {B C}^{2}} = \sqrt{100 + 64} = \sqrt{164} \approx 12,81 c m$

$D C$ im Dreieck ACD mit Hilfe des Kosinussatzes:

${D C}^{2}$	$=$	${A C}^{2} + {A D}^{2} - 2 \cdot A C \cdot A D \cdot \cos (∡ C A D)$
$D C$	$=$	$(\sqrt{164 + 6^{2} - 2 \cdot \sqrt{164} \cdot 6 \cdot \cos (81,34 °)}) c m$
$D C$	$\approx$	$13,30 c m$

$u = A B + B C + C D + D A = (10 + 8 + 13,30 + 6) c m = 37,30 c m$

Bemerkung: Alternativ könne wir die Länge der Strecke $C D$ auch mit dem Kosinussatz im Dreieck $C B D$ berechnen. Der Winkel $∡ C B D$ ist ja leicht zu berechnen: $∡ C B D = 90^{\circ} - {21,79}^{\circ} = {68,21}^{\circ}$

Teilaufgabe 1.3

Zeichnung der Strecke [AF] und des Kreisbogens $\hat{G F}$ :

Der Kreis A berührt die Strecke [DB] im Punkt F, daher muss die Strecke [AF] in einem rechten Winkel zu [DB] stehen: Fälle der Lot von A auf die Strecke [DB].
Schnittpunk der Strecke [DB] und der Senkrechten ]AF[ ist der Punkt F.

Zeichne nun den Kreis um A mit Radius
r = [AF].
Der Schnittpunkt der Kreislinie und der Strecke [AB] ist der Punkt E.

Flächeninhalt A der entstandenen Figur GBF:

$A = A_{D r e i e c k (A B F)} - A_{K r e i s s e k t o r (A G F)}$

Fläche des Dreiecks ABF:

$A F$ im rechtwinkligen Dreieck ABF mit Hilfe der Trigonometrie

( $∡ F B A = ∡ D B A$ ):

$\sin (∡ F B A)$	$=$	$\frac{G e g e n k a t h e t e}{H y p o t e n u s e}$
$\sin (∡ F B A)$	$=$	$\frac{A F}{A B}$
$\sin (21,79 °)$	$=$	$\frac{A F}{10 c m}$	$\cdot 10 c m$
$A F$	$=$	$\sin (21,79 °) \cdot 10 c m$
$A F$	$\approx$	$3,71 c m$

Bemerkung: Alternativ können wir die Länge von $F B$ auch mit dem Satz des Pythagoras berechnen, die Längen von $A F$ und $A B$ sind ja bekannt.

$F B$ im rechtwinkligen Dreieck ABF mit Hilfe der Trigonometrie

$\tan (∡ F B A)$	$=$	$\frac{G e g e n k a t h e t e}{A n k a t h e t e}$
$\tan (∡ F B A)$	$=$	$\frac{A F}{F B}$
$\tan (21,79 °)$	$=$	$\frac{3,71 c m}{F B}$
$F B$	$=$	$\frac{3,71 c m}{\tan (21,79 °)}$
$F B$	$\approx$	$9,28 c m$

$A_{D r e i e c k} = \frac{1}{2} \cdot A F \cdot F B = \frac{1}{2} \cdot 3,71 c m \cdot 9,28 c m \approx 17,22 c m^{2}$

Fläche des Kreissektors: $A_{s} = r^{2} \cdot π \cdot \frac{α}{360 °}$

$α$ im Dreieck ABF über den Innenwinkelsumme im Dreieck:

$α = ∡ B A F = 180 ° - 90 ° - ∡ D B A = 180 ° - 90 ° - 21,79 ° = 68,21 °$

$A_{K r e i s s e k t o r} = r^{2} \cdot π \cdot \frac{α}{360 °} = {A F}^{2} \cdot π \cdot \frac{α}{360 °} = {(3,71 c m)}^{2} \cdot π \cdot \frac{68,21 °}{360 °} \approx 8,19 c m^{2}$

$A = A_{D r e i e c k} - A_{K r e i s s e k t o r} = 17,22 c m^{2} - 8,19 c m^{2} \approx 9,03 c m^{2}$

Teilaufgabe 1.4

Zeichnung der Strecke [ $H_{1} C$ ] für x = 6:

$H_{1} B = 6$ cm (pink) und $H_{1} B \in [B D]$
Verbinde die Punkte $H_{1}$ und C

Länge der Strecke $H_{1} C$ in Abhängigkeit von x mit Hilfe des Kosinussatzes im Dreieck $B C H_{1}$ :

Winkel $C B H_{1}$ : $∡ C B H_{1} = ∡ C B A - ∡ D B A = 90 ° - 21,79 ° = 68,21 °$

${H_{n} C}^{2} (x)$	$=$	${B H_{n}}^{2} + {B C}^{2} - 2 \cdot B H_{n} \cdot B C \cdot \cos (∡ C B H_{1})$
${H_{n} C}^{2} (x)$	$=$	$(x^{2} + 8^{2} - 2 \cdot x \cdot 8 \cdot \cos (68,21 °)) c m$
$H_{n} C (x)$	$=$	$(\sqrt{x^{2} + 8^{2} - 2 \cdot x \cdot 8 \cdot \cos (68,21 °)}) c m$
$H_{n} C (x)$	$\approx$	$(\sqrt{x^{2} + 64 - 5,94 \cdot x}) c m$
$H_{n} C (x)$	$\approx$	$(\sqrt{x^{2} - 5,94 x + 64}) c m$

Teilaufgabe 1.5

Der zugehörige Wert x für $[H_{0} C]$ :

Die Strecke [ $H_{n} C$ ] ist minimal, wenn [ $H_{n} C$ ] senkrecht auf [DB] steht (siehe Bild).

Das Dreieck $H_{0} B C$ ist rechtwinklig, somit kannst du die Länge $H_{0} C (x)$ mit Hilfe der Trigonometrie berechnen:

$\cos (∡ C B H_{0}) = \frac{A n k a t h e t e}{H y p o t e n u s e}$

$\cos (∡ C B H_{0}) = \frac{H_{0} B}{B C}$

$\cos (68,21 °) = \frac{x}{8 c m}$

$x = \cos (68,21 °) \cdot 8 c m \approx 2,97$

Wenn du die genaue Länge $H_{0} C$ berechnen willst, kannst du x in die obige Gleichung einsetzen:

$H_{0} C = (\sqrt{x^{2} - 5,94 x + 64}) c m = (\sqrt{{2,97}^{2} - 5,94 \cdot 2,97 + 64}) c m \approx 7,43 c m$

Teilaufgabe 1.6

Das Dreieck BCF ist nicht gleichschenklig:

Die Länge $C F$ mit Hilfe des Kosinussatzes:

${C F}^{2} = {B F}^{2} + {B C}^{2} - 2 \cdot B F \cdot B C \cdot \cos (∡ C B F)$

${C F}^{2} = ({9,28}^{2} + 8^{2} - 2 \cdot 9,28 \cdot 8 \cdot \cos (68,21 °)) c m$

$C F = (\sqrt{{9,28}^{2} + 8^{2} - 2 \cdot 9,28 \cdot 8 \cdot \cos (68,21 °)})$ cm

$C F \approx 9,75$ cm

$B C = 8 c m$ und $B F = 9,28 c m$

Damit ist das Dreieck nicht gleichschenklig.

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das?