Diese nicht maßstabsgetreue Skizze zeigt einen Würfel mit einer Seitenlänge von 4cm. Die Punkte A und B von △ABC sind die Mittelpunkte der Kanten des Würfels.
Berechne den Winkel α.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Satz des Pythagoras
Zunächst denkst du dir ein rechtwinkliges Dreieck, indem du von Punkt A nach oben an die Ecke des Würfels gehst. Die Strecke von A zur oberen Ecke hat eine Länge von 2a=24cm=2cm.
Nun denkst du dir eine Diagonale von dieser Ecke des Würfels hinüber zu Punkt C. Die Länge d dieser Diagonale lässt sich mit dem Satz des Pythagoras berechnen: a2+a2(4cm)2+(4cm)232cm2d====ddd32cm≈5,66cm
Nun kannst du die Länge der Strecke AC berechnen:
Um den Winkel zu berechnen, benötigst du eine zweite Seite des eingezeichneten Dreiecks. Nämlich die der Strecke AB.
Wenn du nun im Dreieck △ABC die Höhe einzeichnest (wobei die Strecke [AB] die Grundseite darstellt), erhältst du zwei rechtwinklige Dreiecke. Du betrachtest das obere. In diesem kennst du die Länge der Gegenkathete (28cm=2cm) von 2α und die Länge der Hypothenuse (6cm). Mit diesen beiden Seiten bist du nun in der Lage, den Winkel auszurechnen. Dafür benutzt du den Sinus: sin(2α)2αα===6cm2cmsin−1(62)2⋅sin−1(62)≈27,27°