Aufgaben zu sin, cos und tan im dreidimensionalen Raum

Diese nicht maßstabsgetreue Skizze zeigt einen Würfel mit einer Seitenlänge von 4cm4 \text{cm}4cm. Die Punkte AAA und BBB von △ABC\triangle\mathrm{ABC}△ABC sind die Mittelpunkte der Kanten des Würfels.
Berechne den Winkel α\alphaα.

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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Satz des Pythagoras

Zunächst denkst du dir ein rechtwinkliges Dreieck, indem du von Punkt A nach oben an die Ecke des Würfels gehst. Die Strecke von AAA zur oberen Ecke hat eine Länge von a2=4cm2=2cm.\dfrac{a}{2} = \dfrac{4\text{cm}}{2} = 2\text{cm}.2a​=24cm​=2cm.﻿
Nun denkst du dir eine Diagonale von dieser Ecke des Würfels hinüber zu Punkt CCC. Die Länge ddd dieser Diagonale lässt sich mit dem Satz des Pythagoras  berechnen: a2+a2=d(4cm)2+(4cm)2=d32cm2=dd=32cm≈5,66cm\begin{array}{rcl}
\sqrt{a^2 + a^2} &=& d \\
\sqrt{(4\text{cm})^2 + (4\text{cm})^2} &=& d \\
\sqrt{32\text{cm}^2} &=& d \\
d &=& \sqrt{32}\text{cm} \approx 5,66\text{cm}
\end{array}a2+a2​(4cm)2+(4cm)2​32cm2​d​====​ddd32​cm≈5,66cm​﻿
Nun kannst du die Länge der Strecke AC‾\overline{AC}AC berechnen:
AC‾=(a2)2+d2AC‾=(4cm2)2+(32cm)2AC‾=6cm\displaystyle \begin{array}{rcl}
\overline{AC} &=&\sqrt{\left(\frac a2\right)^2+d^2}\\
\overline{AC} &=& \sqrt{\left(\frac{4cm}{2}\right)^2+(\sqrt{32}cm)^2}\\
\overline{AC} &=& 6cm
\end{array}ACACAC​===​(2a​)2+d2​(24cm​)2+(32​cm)2​6cm​
Um den Winkel zu berechnen, benötigst du eine zweite Seite des eingezeichneten Dreiecks. Nämlich die der Strecke AB‾\overline{AB}AB.
AB‾=(a2)2+(a2)2AB‾=(4cm2)2+(4cm2)2AB‾=8cm≈2,83cm\displaystyle \begin{array}{rcl}
\overline{AB} &=& \sqrt[{}]{\left(\frac a2\right)^2+\left(\frac a2\right)^2}\\
\overline{AB} &=& \sqrt[{}]{\left(\frac{4cm}2\right)^2+\left(\frac{4cm}2\right)^2}\\
\overline{AB} &=& \sqrt{8}\text{cm} &\approx & 2,83\text{cm}
\end{array}ABABAB​===​(2a​)2+(2a​)2​(24cm​)2+(24cm​)2​8​cm​≈​2,83cm​
Wenn du nun im Dreieck △ABC\triangle ABC△ABC die Höhe einzeichnest (wobei die Strecke [AB][AB][AB] die Grundseite darstellt), erhältst du zwei rechtwinklige Dreiecke. Du betrachtest das obere. In diesem kennst du die Länge der Gegenkathete (82cm=2cm\dfrac{\sqrt{8}}{2}\text{cm} = \sqrt{2}\text{cm}28​​cm=2​cm) von α2\dfrac{\alpha}{2}2α​ und die Länge der Hypothenuse (6cm6\text{cm}6cm). Mit diesen beiden Seiten bist du nun in der Lage, den Winkel auszurechnen. Dafür benutzt du den Sinus: sin⁡(α2)=2cm6cmα2=sin⁡−1(26)α=2⋅sin⁡−1(26)≈27,27°\begin{array}{rcl}
\sin(\dfrac{\alpha}{2}) &=& \dfrac{\sqrt{2}\text{cm}}{6\text{cm}} \\\\
\dfrac{\alpha}{2} &=& \sin^{-1}(\frac{\sqrt{2}}{6})\\\\
\alpha &=& 2\cdot\sin^{-1}(\frac{\sqrt{2}}{6}) &\approx& 27,27 °
\end{array}sin(2α​)2α​α​===​6cm2​cm​sin−1(62​​)2⋅sin−1(62​​)​≈​27,27°​﻿
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