Aufgaben
Diese nicht maßstabsgetreue Skizze zeigt einen Würfel mit einer Seitenlänge von 4cm4 \text{cm}. Die Punkte AA und BB von ABC\triangle\mathrm{ABC} sind die Mittelpunkte der Kanten des Würfels.
Berechne den Winkel α\alpha.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Satz des Pythagoras

Zunächst denkst du dir ein rechtwinkliges Dreieck, indem du von Punkt A nach oben an die Ecke des Würfels gehst. Die Strecke von AA zur oberen Ecke hat eine Länge von a2=4cm2=2cm.\dfrac{a}{2} = \dfrac{4\text{cm}}{2} = 2\text{cm}.
Nun denkst du dir eine Diagonale von dieser Ecke des Würfels hinüber zu Punkt CC. Die Länge dd dieser Diagonale lässt sich mit dem Satz des Pythagoras berechnen: a2+a2=d(4cm)2+(4cm)2=d32cm2=dd=32cm5,66cm\begin{array}{rcl} \sqrt{a^2 + a^2} &=& d \\ \sqrt{(4\text{cm})^2 + (4\text{cm})^2} &=& d \\ \sqrt{32\text{cm}^2} &=& d \\ d &=& \sqrt{32}\text{cm} \approx 5,66\text{cm} \end{array}
Nun kannst du die Länge der Strecke AC\overline{AC} berechnen:
AC=(a2)2+d2AC=(4cm2)2+(32cm)2AC=6cm\displaystyle \begin{array}{rcl} \overline{AC} &=&\sqrt{\left(\frac a2\right)^2+d^2}\\ \overline{AC} &=& \sqrt{\left(\frac{4cm}{2}\right)^2+(\sqrt{32}cm)^2}\\ \overline{AC} &=& 6cm \end{array}
Um den Winkel zu berechnen, benötigst du eine zweite Seite des eingezeichneten Dreiecks. Nämlich die der Strecke AB\overline{AB}.
AB=(a2)2+(a2)2AB=(4cm2)2+(4cm2)2AB=8cm2,83cm\displaystyle \begin{array}{rcl} \overline{AB} &=& \sqrt[{}]{\left(\frac a2\right)^2+\left(\frac a2\right)^2}\\ \overline{AB} &=& \sqrt[{}]{\left(\frac{4cm}2\right)^2+\left(\frac{4cm}2\right)^2}\\ \overline{AB} &=& \sqrt{8}\text{cm} &\approx & 2,83\text{cm} \end{array}
Wenn du nun im Dreieck ABC\triangle ABC die Höhe einzeichnest (wobei die Strecke [AB][AB] die Grundseite darstellt), erhältst du zwei rechtwinklige Dreiecke. Du betrachtest das obere. In diesem kennst du die Länge der Gegenkathete (82cm=2cm\dfrac{\sqrt{8}}{2}\text{cm} = \sqrt{2}\text{cm}) von α2\dfrac{\alpha}{2} und die Länge der Hypothenuse (6cm6\text{cm}). Mit diesen beiden Seiten bist du nun in der Lage, den Winkel auszurechnen. Dafür benutzt du den Sinus: sin(α2)=2cm6cmα2=sin1(26)α=2sin1(26)27,27°\begin{array}{rcl} \sin(\dfrac{\alpha}{2}) &=& \dfrac{\sqrt{2}\text{cm}}{6\text{cm}} \\\\ \dfrac{\alpha}{2} &=& \sin^{-1}(\frac{\sqrt{2}}{6})\\\\ \alpha &=& 2\cdot\sin^{-1}(\frac{\sqrt{2}}{6}) &\approx& 27,27 ° \end{array}

Diese nicht maßstabsgetreue Skizze zeigt einen Quader und dessen Abmessungen.
Berechne den Winkel α\alpha.
Quader mit Diagonalen
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