Aufgaben zu sin, cos und tan im dreidimensionalen Raum
Aufgaben zu sin, cos und tan im dreidimensionalen Raum
Aufgaben
1.
Diese nicht maßstabsgetreue Skizze zeigt einen Würfel mit einer Seitenlänge von 4cm. Die Punkte A und B von △ABC sind die Mittelpunkte der Kanten des Würfels.
Zunächst denkst du dir ein rechtwinkliges Dreieck, indem du von Punkt A nach oben an die Ecke des Würfels gehst. Die Strecke von A zur oberen Ecke hat eine Länge von 2a=24cm=2cm.
Nun denkst du dir eine Diagonale von dieser Ecke des Würfels hinüber zu Punkt C. Die Länge d dieser Diagonale lässt sich mit dem Satz des Pythagoras berechnen: a2+a2(4cm)2+(4cm)232cm2d====ddd32cm≈5,66cm
Nun kannst du die Länge der Strecke AC berechnen:
ACACAC===(2a)2+d2(24cm)2+(32cm)26cm
Um den Winkel zu berechnen, benötigst du eine zweite Seite des eingezeichneten Dreiecks. Nämlich die der Strecke AB.
Wenn du nun im Dreieck △ABC die Höhe einzeichnest (wobei die Strecke [AB] die Grundseite darstellt), erhältst du zwei rechtwinklige Dreiecke. Du betrachtest das obere. In diesem kennst du die Länge der Gegenkathete (28cm=2cm) von 2α und die Länge der Hypothenuse (6cm). Mit diesen beiden Seiten bist du nun in der Lage, den Winkel auszurechnen. Dafür benutzt du den Sinus: sin(2α)2αα===6cm2cmsin−1(62)2⋅sin−1(62)≈27,27°