Aufgaben zu sin, cos und tan im dreidimensionalen Raum

Hier findest du Übungsaufgaben zu Sinus, Kosinus und Tangens. Lerne, Strecken im dreidimensionalen Raum zu bestimmen!

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Diese nicht maßstabsgetreue Skizze zeigt einen Würfel mit einer Seitenlänge von $4 \text{cm}$ . Die Punkte $A$ und $B$ von $\triangle\mathrm{ABC}$ sind die Mittelpunkte der Kanten des Würfels.
Berechne den Winkel $\alpha$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Satz des Pythagoras
Zunächst denkst du dir ein rechtwinkliges Dreieck, indem du von Punkt A nach oben an die Ecke des Würfels gehst. Die Strecke von $A$ zur oberen Ecke hat eine Länge von $\dfrac{a}{2} = \dfrac{4\text{cm}}{2} = 2\text{cm}.$
Nun denkst du dir eine Diagonale von dieser Ecke des Würfels hinüber zu Punkt $C$ . Die Länge $d$ dieser Diagonale lässt sich mit dem Satz des Pythagoras berechnen: $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} \sqrt{a^2 + a^2} &=& d \\ \sqrt{(4\text{cm})^2 + (4\text{cm})^2} &=& d \\ \sqrt{32\text{cm}^2} &=& d \\ d &=& \sqrt{32}\text{cm} \approx 5{,}66\text{cm} \end{array}$
Nun kannst du die Länge der Strecke $\overline{AC}$ berechnen:
Um den Winkel zu berechnen, benötigst du eine zweite Seite des eingezeichneten Dreiecks. Nämlich die der Strecke $\overline{AB}$ .
Wenn du nun im Dreieck $\triangle ABC$ die Höhe einzeichnest (wobei die Strecke $[AB]$ die Grundseite darstellt), erhältst du zwei rechtwinklige Dreiecke. Du betrachtest das obere. In diesem kennst du die Länge der Gegenkathete ( $\dfrac{\sqrt{8}}{2}\text{cm} = \sqrt{2}\text{cm}$ ) von $\dfrac{\alpha}{2}$ und die Länge der Hypothenuse ( $6\text{cm}$ ). Mit diesen beiden Seiten bist du nun in der Lage, den Winkel auszurechnen. Dafür benutzt du den Sinus: $\def\arraystretch{2} \begin{array}{rcl} \sin(\dfrac{\alpha}{2}) &=& \dfrac{\sqrt{2}\text{cm}}{6\text{cm}} \\\\ \dfrac{\alpha}{2} &=& \sin^{-1}(\frac{\sqrt{2}}{6})\\\\ \alpha &=& 2\cdot\sin^{-1}(\frac{\sqrt{2}}{6}) &\approx& 27{,}27 ° \end{array}$
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Diese nicht maßstabsgetreue Skizze zeigt einen Quader und dessen Abmessungen.
Berechne den Winkel $\alpha$ .
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Kosinus und Tangens
Der gesuchte Winkel $\alpha$ liegt in einem Dreieck, das begrenzt wird von
einer Kante, die die Länge $2 \, \mathrm{cm}$ hat,
einer Flächendiagonale (die zu dem Rechteck mit den Seitenlängen $3 \, \mathrm{cm}$ und $4 \, \mathrm{cm}$ gehört), (in der Skizze hier mit $f_{ }^{ }$ bezeichnet)
einer der Raumdiagonalen des Quaders (in der Skizze hier mit $d^{ }$ bezeichnet).
Dieses Dreieck ist rechtwinklig.
Die Raumdiagonale des Quaders ist in diesem Dreieck die Hypotenuse.

Für die Aufgabe gibt es verschiedene Lösungsmöglichkeiten:
Du kannst $f_{ }$ ausrechnen und dann die Aufgabe mit dem Tangens lösen.
oder $d_{ }$ ausrechnen und die Aufgabe mit dem Sinus lösen.
Allerdings ist $f$ leichter auszurechnen als $d_{ }$ , und deshalb die Lösung mit dem Tangens zu empfehlen.
Lösung mit tan
Die Flächendiagonale $f$ kannst du mit Hilfe des Satzes des Pythagoras ausrechnen:
$f²=(3\,\mathrm{cm})²+(4\,\mathrm{cm})²$
$f²=9\,\mathrm{cm}²+16\,\mathrm{cm}²$
$f²=25\,\mathrm{cm}²$
$f=\sqrt{25\,\mathrm{cm}²}$
$\Rightarrow f=5\,\mathrm{cm}$
Nachdem du nun die Länge von $f$ kennst, kannst du den Winkel $\alpha$ mit dem Tangens ausrechnen:
$\tan \alpha = \dfrac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$
Das bedeutet hier:
$\tan \alpha = \dfrac{2\,\mathrm{cm}}{f}$ , also
$\tan \alpha = \dfrac{2\,\mathrm{cm}}{5\,\mathrm{cm}}=\dfrac{2}{5}$
Durch Anwenden von $\tan ^{-1}$ (mit dem Taschenrechner) erhältst du daraus:
$\alpha = \tan ^{-1} (\frac{2}{5} )\approx 21{,}8°$

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Aufgaben zu sin, cos und tan im dreidimensionalen Raum

Lösung mit tan