Aufgaben zu sin, cos und tan im dreidimensionalen Raum

Hier findest du Übungsaufgaben zu Sinus, Kosinus und Tangens. Lerne, Strecken im dreidimensionalen Raum zu bestimmen!

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Diese nicht maßstabsgetreue Skizze zeigt einen Würfel mit einer Seitenlänge von $4 cm$ . Die Punkte $A$ und $B$ von $△ ABC$ sind die Mittelpunkte der Kanten des Würfels.
Berechne den Winkel $α$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Satz des Pythagoras
Zunächst denkst du dir ein rechtwinkliges Dreieck, indem du von Punkt A nach oben an die Ecke des Würfels gehst. Die Strecke von $A$ zur oberen Ecke hat eine Länge von $\frac{a}{2} = \frac{4 cm}{2} = 2 cm .$
Nun denkst du dir eine Diagonale von dieser Ecke des Würfels hinüber zu Punkt $C$ . Die Länge $d$ dieser Diagonale lässt sich mit dem Satz des Pythagoras berechnen: $\begin{array}{rcl} \sqrt{a^{2} + a^{2}} & = & d \\ \sqrt{(4 cm)^{2} + (4 cm)^{2}} & = & d \\ \sqrt{32 {cm}^{2}} & = & d \\ d & = & \sqrt{32} cm \approx 5,66 cm \end{array}$
Nun kannst du die Länge der Strecke $A C$ berechnen:
$\begin{array}{rcl} A C & = & \sqrt{{(\frac{a}{2})}^{2} + d^{2}} \\ A C & = & \sqrt{{(\frac{4 c m}{2})}^{2} + (\sqrt{32} c m)^{2}} \\ A C & = & 6 c m \end{array}$
Um den Winkel zu berechnen, benötigst du eine zweite Seite des eingezeichneten Dreiecks. Nämlich die der Strecke $A B$ .
$\begin{array}{rcl} A B & = & \sqrt[]{{(\frac{a}{2})}^{2} + {(\frac{a}{2})}^{2}} \\ A B & = & \sqrt[]{{(\frac{4 c m}{2})}^{2} + {(\frac{4 c m}{2})}^{2}} \\ A B & = & \sqrt{8} cm & \approx & 2,83 cm \end{array}$
Wenn du nun im Dreieck $△ A B C$ die Höhe einzeichnest (wobei die Strecke $[A B]$ die Grundseite darstellt), erhältst du zwei rechtwinklige Dreiecke. Du betrachtest das obere. In diesem kennst du die Länge der Gegenkathete ( $\frac{\sqrt{8}}{2} cm = \sqrt{2} cm$ ) von $\frac{α}{2}$ und die Länge der Hypothenuse ( $6 cm$ ). Mit diesen beiden Seiten bist du nun in der Lage, den Winkel auszurechnen. Dafür benutzt du den Sinus: $\begin{array}{rcl} \sin (\frac{α}{2}) & = & \frac{\sqrt{2} cm}{6 cm} \\ \frac{α}{2} & = & \sin^{- 1} (\frac{\sqrt{2}}{6}) \\ α & = & 2 \cdot \sin^{- 1} (\frac{\sqrt{2}}{6}) & \approx & 27,27 ° \end{array}$
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Diese nicht maßstabsgetreue Skizze zeigt einen Quader und dessen Abmessungen.
Berechne den Winkel $α$ .
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Kosinus und Tangens
Der gesuchte Winkel $α$ liegt in einem Dreieck, das begrenzt wird von
einer Kante, die die Länge $2 cm$ hat,
einer Flächendiagonale (die zu dem Rechteck mit den Seitenlängen $3 cm$ und $4 cm$ gehört), (in der Skizze hier mit $f_{}^{}$ bezeichnet)
einer der Raumdiagonalen des Quaders (in der Skizze hier mit $d^{}$ bezeichnet).
Dieses Dreieck ist rechtwinklig.
Die Raumdiagonale des Quaders ist in diesem Dreieck die Hypotenuse.

Für die Aufgabe gibt es verschiedene Lösungsmöglichkeiten:
Du kannst $f_{}$ ausrechnen und dann die Aufgabe mit dem Tangens lösen.
oder $d_{}$ ausrechnen und die Aufgabe mit dem Sinus lösen.
Allerdings ist $f$ leichter auszurechnen als $d_{}$ , und deshalb die Lösung mit dem Tangens zu empfehlen.
Lösung mit tan
Die Flächendiagonale $f$ kannst du mit Hilfe des Satzes des Pythagoras ausrechnen:
$f^{2} = (3 cm)^{2} + (4 cm)^{2}$
$f^{2} = 9 {cm}^{2} + 16 {cm}^{2}$
$f^{2} = 25 {cm}^{2}$
$f = \sqrt{25 {cm}^{2}}$
$\Rightarrow f = 5 cm$
Nachdem du nun die Länge von $f$ kennst, kannst du den Winkel $α$ mit dem Tangens ausrechnen:
$\tan α = \frac{Gegenkathete}{Ankathete}$
Das bedeutet hier:
$\tan α = \frac{2 cm}{f}$ , also
$\tan α = \frac{2 cm}{5 cm} = \frac{2}{5}$
Durch Anwenden von $\tan^{- 1}$ (mit dem Taschenrechner) erhältst du daraus:
$α = \tan^{- 1} (\frac{2}{5}) \approx 21,8 °$

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Aufgaben zu sin, cos und tan im dreidimensionalen Raum

Lösung mit tan