Diese nicht maßstabsgetreue Skizze zeigt einen Quader und dessen Abmessungen.
Berechne den Winkel α.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Kosinus und Tangens
Der gesuchte Winkel α liegt in einem Dreieck, das begrenzt wird von
einer Kante, die die Länge 2cm hat,
einer Flächendiagonale (die zu dem Rechteck mit den Seitenlängen 3cm und 4cm gehört), (in der Skizze hier mit f bezeichnet)
einer der Raumdiagonalen des Quaders (in der Skizze hier mit d bezeichnet).
Dieses Dreieck ist rechtwinklig.
Die Raumdiagonale des Quaders ist in diesem Dreieck die Hypotenuse.
Für die Aufgabe gibt es verschiedene Lösungsmöglichkeiten:
Du kannst f ausrechnen und dann die Aufgabe mit dem Tangens lösen.
oder d ausrechnen und die Aufgabe mit dem Sinus lösen.
Allerdings ist f leichter auszurechnen als d, und deshalb die Lösung mit dem Tangens zu empfehlen.
Lösung mit tan
Die Flächendiagonale f kannst du mit Hilfe des Satzes des Pythagoras ausrechnen:
f2=(3cm)2+(4cm)2
f2=9cm2+16cm2
f2=25cm2
f=25cm2
⇒f=5cm
Nachdem du nun die Länge von f kennst, kannst du den Winkel α mit dem Tangens ausrechnen:
tanα=AnkatheteGegenkathete
Das bedeutet hier:
tanα=f2cm, also
tanα=5cm2cm=52
Durch Anwenden von tan−1 (mit dem Taschenrechner) erhältst du daraus:
α=tan−1(52)≈21,8°
