Diese nicht maßstabsgetreue Skizze zeigt ein Drachenviereck ABCDABCDABCD mit Symmetrieachse ACACAC und den Maßen: a=7 cm\mathrm a=7\;\mathrm{cm}a=7cm, c=6 cm\mathrm c=6\;\mathrm{cm}c=6cm, DB‾=10 cm\overline{\mathrm{DB}}=10\;\mathrm{cm}DB=10cm
Berechne die Winkel α,β\alpha,\betaα,β und γ\gammaγ.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drachenviereck
Berechne den Winkel α\large\alphaα
Du kennst die Seite a=7 cma=7\ cma=7 cm und die Seite SB‾=DB‾2=5 cm\overline{SB}=\frac{\overline{DB}}{2}=5\ cmSB=2DB=5 cm; sinα2=SB‾a;sinα2=5 cm7 cm;sinα2=0,7143⇒ α=91,18∘\sin\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{\overline{SB}}{a};\quad \sin\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{5\ cm}{7\ cm};\quad \sin\dfrac{\alpha}{2}=0{,}7143\Rightarrow\ \alpha=91{,}18^{\circ}sin2α=aSB;sin2α=7 cm5 cm;sin2α=0,7143⇒ α=91,18∘
Berechne den Winkel γ\large\gammaγ
Du kennst die Seite b=c=6 cm b=c=6\ cmb=c=6 cm und die Seite SB‾=DB‾2=5 cm\overline{SB}=\dfrac{\overline{DB}}{2}=5\ cmSB=2DB=5 cm sinγ2=SB‾b;sinγ2=5 cm6 cm;sinγ2=0,8333⇒ γ=112,88∘\sin\dfrac{\gamma}{2}=\dfrac{\overline{SB}}{b};\quad \sin\dfrac{\gamma}{2}=\dfrac{5\ cm}{6\ cm};\quad sin\dfrac{\gamma}{2}= 0{,}8333\Rightarrow\ \gamma= 112{,}88^\circsin2γ=bSB;sin2γ=6 cm5 cm;sin2γ=0,8333⇒ γ=112,88∘
Berechne den Winkel β\betaβ
Die Winkelsumme im Viereck beträgt 360∘360^\circ360∘, also gilt: 360∘=α+2⋅β+γ⇒β=360∘−α−γ2=360∘−91,18∘−112,88∘2β=77,97∘\\360^\circ= \alpha+2\cdot\beta+\gamma \Rightarrow\beta=\dfrac{360^\circ-\alpha-\gamma}{2}=\dfrac{360^\circ-91{,}18^\circ-112{,}88^\circ}{2}\\ \beta=77{,}97^\circ360∘=α+2⋅β+γ⇒β=2360∘−α−γ=2360∘−91,18∘−112,88∘β=77,97∘
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