Schwierigere Rechenaufgaben zu den Winkelfunktionen

$\alpha$ berechnen

$\beta$ berechnen

$\beta$ kannst du ausrechnen, indem du alle gegebenen Winkel von der Gesamtsumme aller Winkel in einem Dreieck $\left({180}^{\circ }\right)$ abziehst.

$\beta ={180}^{\circ }-{90}^{\circ }-{\mathrm{30,7}}^{\circ }$

$\beta ={\mathrm{59,3}}^{\circ }$

$b$ berechnen

$b$ mithilfe des Satzes des Pythagoras ausrechnen.

${\left(\mathrm{24,9}\mathrm{cm}\right)}^2={\left(\mathrm{12,7}\mathrm{cm}\right)}^2+b^2$

$|-{\left(\mathrm{12,7}\mathrm{cm}\right)}^2$

$b^2={\left(\mathrm{24,9}\mathrm{cm}\right)}^2-{\left(\mathrm{12,7}\mathrm{cm}\right)}^2$

$b^2=\mathrm{458,72}{\mathrm{cm}}^2$

Wurzel ziehen.

$b\approx \mathrm{21,4}\mathrm{cm}$

$\beta$ berechnen

$\beta ={\mathrm{40,6}}^{\circ }$

$\gamma$ berechnen

$\gamma$ kannst du ausrechnen, indem du alle gegebenen Winkel von der Gesamtsumme aller Winkel in einem Dreieck $\left({180}^{\circ }\right)$ abziehst.

$\gamma ={180}^{\circ }-{90}^{\circ }-{\mathrm{40,6}}^{\circ }={\mathrm{49,4}}^{\circ }$

$c$ berechnen

$c$ mithilfe des Satzes des Pythagoras ausrechnen.

Beachte hier insbesondere, dass $c$ nicht die Hypotenuse des Dreiecks ist, sondern $a$ (siehe Bild oben), sodass die Form des Pythagoras zwar ähnlich bleibt, aber nun $a$, $b$ und $c$ nicht die bekannten Rollen, also $a$,$b$ die Kathethen und $c$ die Hypotenuse sind, einnehmen.

$(645\mathrm{m}{)}^2=(420\mathrm{m}{)}^2+c^2$

$c^2=(645\mathrm{m}{)}^2-(420\mathrm{m}{)}^2$

$c^2=239625{\mathrm{m}}^2$

Wurzel ziehen.

$c\approx 490\mathrm{m}$

$b$ berechnen

$b$ mithilfe des Satzes des Pythagoras ausrechnen.

$b^2={\left(\mathrm{30,7}\mathrm{cm}\right)}^2+{\left(\mathrm{15,8}\mathrm{cm}\right)}^2$

$b^2=\mathrm{1192,13}{\mathrm{cm}}^2|\sqrt{}$

$b\approx \mathrm{34,5}\mathrm{cm}$

$\alpha$ berechnen

$\tan \left(\alpha \right)=\frac{a}{c}$

$\tan \left(\alpha \right)={\displaystyle \frac{\mathrm{30,7}\mathrm{cm}}{\mathrm{15,8}\mathrm{cm}}}$

$\alpha \approx {\mathrm{62,7}}^{\circ }$

$\gamma$ berechnen

$\gamma$ kannst du ausrechnen, indem du alle gegebenen Winkel von der Gesamtsumme aller Winkel in einem Dreieck $\left({180}^{\circ }\right)$ abziehst.

$\gamma \approx {180}^{\circ }-{90}^{\circ }-{\mathrm{62,7}}^{\circ }$

$\gamma \approx {\mathrm{27,3}}^{\circ }$

$\beta$ berechnen

$\beta$ kannst du ausrechnen, indem du alle gegebenen Winkel von der Gesamtsumme aller Winkel in einem Dreieck $\left({180}^{\circ }\right)$ abziehst.

$\beta ={180}^{\circ }-{90}^{\circ }-{35}^{\circ }$

$\beta ={55}^{\circ }$

$a$ berechnen

$\sin \left({35}^{\circ }\right)=\frac{a}{\mathrm{12,5}\mathrm{cm}}|\cdot \mathrm{12,5}\mathrm{cm}$

$a=\sin \left({35}^{\circ }\right)\cdot \mathrm{12,5}\mathrm{cm}$

$a=\mathrm{7,2}\mathrm{cm}$

$b$ berechnen

$b$ mithilfe des Satzes des Pythagoras ausrechnen.

$c^2=a^2+b^2$

${\left(\mathrm{12,5}\mathrm{cm}\right)}^2={\left(\mathrm{7,2}\mathrm{cm}\right)}^2+b^2|-{\left(\mathrm{7,2}\mathrm{cm}\right)}^2$

$b^2={\left(\mathrm{12,5}\mathrm{cm}\right)}^2-{\left(\mathrm{7,2}\mathrm{cm}\right)}^2$

$b^2\approx \mathrm{104,4}{\mathrm{cm}}^2$

Wurzel ziehen.

$b\approx \mathrm{10,2}\mathrm{cm}$

$b$ berechnen (alternative Lösung mit dem Kosinus)

$\cos \left(\alpha \right)=\frac{b}{c}$

Nach $b$ umstellen.

$b=\cos \left(\alpha \right)\cdot c\approx \mathrm{10,2}\mathrm{cm}$

$\beta$ berechnen

$\beta$ kannst du ausrechnen, indem du alle gegebenen Winkel von der Gesamtsumme aller Winkel in einem Dreieck $\left({180}^{\circ }\right)$ abziehst.

$\beta ={180}^{\circ }-{90}^{\circ }-{\mathrm{40,3}}^{\circ }$

$\beta ={\mathrm{49,7}}^{\circ }$

$b$ berechnen

$\sin \left({\mathrm{49,7}}^{\circ }\right)=\frac{b}{\mathrm{10,5}\mathrm{cm}}|\cdot \mathrm{10,5}\mathrm{cm}$

$b=\sin \left({\mathrm{49,7}}^{\circ }\right)\cdot \mathrm{10,5}\mathrm{cm}$

$b\approx 8\mathrm{cm}$

$c$ berechnen

$c$ mithilfe des Satzes des Pythagoras ausrechnen.

${\left(\mathrm{10,5}\mathrm{cm}\right)}^2=c^2+{\left(8\mathrm{cm}\right)}^2$

$c^2=\mathrm{46,25}{\mathrm{cm}}^2$

Wurzel ziehen.

$c\approx \mathrm{6,8}\mathrm{cm}$

geg: a=b= 44,2cm  c=63,4cm

ges: h, $\alpha ,\beta ,\gamma$

Zur Verdeutlichung eine Skizze zeichnen.

Zunächst $x$ berechnen.

$h$ berechnen, indem man in dem rechtwinkligen Dreieck $△DBC$ den Satz des Pythagoras anwendet.

$\alpha$ mit Hilfe von Sinus berechnen.

Da die Basiswinkel in einem gleichschenkligen Dreieck gleich sind, und alle Innenwinkel insgesamt ${180}^{\circ }$ ergeben, $\gamma$ ausrechnen.

Gegeben sind $a=b=\mathrm{114,5}m$ und  $\alpha =\beta ={\mathrm{32,3}}^{\circ }$

Gesucht sind $c$, $h$ und $\gamma$

Zur Verdeutlichung machst du am besten eine Skizze.

Da die Basiswinkel in einem gleichschenkligen Dreieck gleich sind, und alle Innenwinkel insgesamt ${180}^{\circ }$ ergeben, kannst du $\gamma$ mit der Winkelsumme ausrechnen.

$h$ kannst du mit Hilfe des Sinus in dem rechtwinkligen Dreieck $△DBC$ berechnen.

$x$ kannst du berechnen, indem du in dem rechtwinkligen Dreieck $△DBC$ den Satz des Pythagoras anwendest.

Alternative: benutze den Kosinus im rechtwinkligen Dreieck $△DBC$

$c=2\cdot \mathrm{96,8}m=\mathrm{193,6}m$

geg: c=35,4cm  $\beta =\alpha$ =43,9°

ges: a, b, h, $\gamma$, x

Zur Verdeutlichung eine Skizze zeichnen.

Da die Basiswinkel in einem gleichschenkligen Dreieck gleich sind, und alle Innenwinkel insgesamt 180° ergeben, $\gamma$ ausrechnen.

x berechnen, indem man die Seite c halbiert.

a mit Hilfe des Cosinus berechnen.

h mit Hilfe des Tangens berechnen.

Geg.: $h=\mathrm{14,8}cm$; $\alpha =\beta ={\mathrm{28,3}}^{\circ }$

Ges.: $\beta ,\gamma ,c,b,a$

Zeichne zur Verdeutlichung eine Skizze.

Da die Basiswinkel (hier: $\alpha$ und $\beta$) in einem gleichschenkligen Dreieck gleich groß sind, und alle Innenwinkel insgesamt 180° ergeben (d.h. $\alpha +\beta +\gamma ={180}^{\circ }$), kannst $\gamma$ mit dieser Information direkt ausrechnen.

$x$ mit Hilfe des Tangens berechnen.

$b$ mit Hilfe des Sinus berechnen.

Da es sich hier um ein gleichschenkliges Dreieck handelt, ist die Seitenlänge $a$ gerade gleich der Seitenlänge $b$.

geg: $a=b=\mathrm{146,4}m$; $h=\mathrm{58,4}m$

ges: $c$, $\gamma ,\alpha ,\beta$ , $x$

Zur Verdeutlichung eine Skizze zeichnen.

$\beta$ mit Hilfe des Sinus berechnen.

Da die Basiswinkel in einem gleischenkligen Dreieck gleich sind, und alle Innenwinkel insgesamt ${180}^{\circ }$ ergeben, $\gamma$ ausrechnen.

$x$ mit Hilfe des Tangens berechnen.

geg: $a=7\text{cm}$; $b=18\text{cm}$

ges: $\alpha ,\beta ,$

Fertige am Besten zum Verständnis eine Skizze an.

Berechne $\alpha$ mit Hilfe des Tangens.

$\tan \left(\alpha \right)=\frac{a}{b}$

Setz die Werte ein und berechne $\alpha$ mit Hilfe des Taschenrechners.

$\tan (\alpha )=\frac{7\text{cm}}{18\text{cm}}$

$\alpha ={\mathrm{21,3}}^{\circ }$

Berechne $\beta$. $\alpha$ und $\beta$ sind zusammen 90° also gilt für $\beta$:

$\beta ={90}^{\circ }-{\mathrm{21,3}}^{\circ }={\mathrm{68,7}}^{\circ }$

geg: $\alpha ={\mathrm{21,3}}^{\circ };\beta ={\mathrm{68,7}}^{\circ }$

ges: $\gamma ,\delta$

Fertige am Besten zum Verständnis eine Skizze an.

$\delta$ ist 2 $\alpha$ , weil $\delta$ $+$ $\gamma$ $=$180° und $\gamma$ $+2$ $\alpha$ $=$180° im gleichschenklichen Dreieck gilt.

$\Rightarrow$ $\delta$ + $\gamma$ $=$ $\gamma$ $+2$ $\alpha$

$\Rightarrow$ $\delta$ $=$$2$ $\alpha$

$\delta =2\cdot {\mathrm{21,3}}^{\circ }={\mathrm{42,6}}^{\circ }$

$\gamma$ und $\delta$ bilden zusammen 180°.

$\gamma ={180}^{\circ }-{\mathrm{42,6}}^{\circ }={\mathrm{137,4}}^{\circ }$

Berechne die Höhe des Dreiecks.

Wende den Satz des Pythagoras an, um die Höhe zu berechnen.

$h_c=\sqrt{b^2-{\left(\frac{1}{2}c\right)}^2}\approx \mathrm{30,802}cm$

Berechne nun $\alpha ,\beta$ und $\gamma$ mithilfe von Sinus oder Cosinus.

oder:

Addiere die zwei Winkel und subrahiere sie von der Winkelsumme im Dreieck .

alternativ:

oder:

Berechne die Seite c des Dreiecks:

Verwende den Cosinus , um die Basis des Dreiecks zu berechnen,

Berechne die Höhe des Dreiecks:

Verwende dafür den Sinus .

alternativ:

Berechne die Seiten a und b des Dreiecks.

Verwende den Cosinus , um die zwei Katheten auszurechnen,

Berechne die Höhe des Dreiecks:

Verwende hierfür den Sinus .

oder:

alternativ:

Berechne die Seiten a und b des Dreiecks:

Verwende hierfür den Sinus .

Berechne die Seite c des Dreicks.

Verwende hierfür den Cosinus .

oder:

alternativ:

oder:

Berechne den Winkel $\alpha$ .

Verwende hierfür den Sinus ,

Berechne nun die Seite c mithilfe des Cosinus .

Berechne die fehlenden Winkel mithilfe von Sinus oder Cosinus .

oder:

Addiere die zwei Winkel und subtrahiere sie von der Winkelsumme im Dreieck .

alternativ:

oder: