Schwierigere Rechenaufgaben zu den Winkelfunktionen

Berechne in einem rechtwinkligen Dreieck mit $a=5\text{ cm}$ und $\alpha= 75°$ die Seitenlänge von $b$ . Runde auf zwei Nachkommastellen.

Berechne die fehlenden Seiten und Winkel (rot markiert) der Dreiecke.

$\gamma = 90^\circ$

$a=12{,}7\,\mathrm{cm}$

$c= 24{,}9\,\mathrm{cm}$

$\alpha = 90^\circ$
$b= 420\,\mathrm m$
$a= 645\,\mathrm m$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Trigonometrie
$\beta$ berechnen
$\sin\left(\beta\right)=\frac{420\,\mathrm m}{645\,\mathrm m}$
$\beta=40{,}6^\circ$
$\gamma$ berechnen
$\gamma$ kannst du ausrechnen, indem du alle gegebenen Winkel von der Gesamtsumme aller Winkel in einem Dreieck $\left(180^\circ\right)$ abziehst.
$\gamma=180^\circ-90^\circ-40{,}6^\circ=49{,}4^\circ$
$c$ berechnen
$c$ mithilfe des Satzes des Pythagoras ausrechnen.
Beachte hier insbesondere, dass $c$ nicht die Hypotenuse des Dreiecks ist, sondern $a$ (siehe Bild oben), sodass die Form des Pythagoras zwar ähnlich bleibt, aber nun $a$ , $b$ und $c$ nicht die bekannten Rollen, also $a$ , $b$ die Kathethen und $c$ die Hypotenuse sind, einnehmen.
$(645\,\mathrm m)^2=(420\,\mathrm m)^2+c^2$
$c^2= (645\,\mathrm m)^2 - (420\,\mathrm m)^2$
$c^2=239\,625\,\mathrm m^2$
Wurzel ziehen.
$c\approx490\,\mathrm m$
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$\beta=90^\circ$
$c=15{,}8\,\mathrm{cm}$
$a=30{,}7\,\mathrm{cm}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Trigonometrie
$b$ berechnen
$b$ mithilfe des Satzes des Pythagoras ausrechnen.
$b^2=\left(30{,}7\,\mathrm{cm}\right)^2+\left(15{,}8\,\mathrm{cm}\right)^2$
$b^2=1192{,}13\,\mathrm{cm}^2 \;\;\;\;|\sqrt{}$
$b\approx34{,}5\,\mathrm{cm}$
$\alpha$ berechnen
$\tan\left(\alpha\right)=\frac{a}{c}$
$\tan\left(\alpha\right)=\dfrac{30{,}7\,\mathrm{cm}}{15{,}8\,\mathrm{cm}}$
$\alpha\approx62{,}7^\circ$
$\gamma$ berechnen
$\gamma$ kannst du ausrechnen, indem du alle gegebenen Winkel von der Gesamtsumme aller Winkel in einem Dreieck $\left(180^\circ\right)$ abziehst.
$\gamma\approx 180^\circ-90^\circ-62{,}7^\circ$
$\gamma \approx 27{,}3^\circ$
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$\gamma=90^\circ$
$\alpha=35^\circ$
$c=12{,}5\,\mathrm{cm}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Trigonometrie
$\beta$ berechnen
$\beta$ kannst du ausrechnen, indem du alle gegebenen Winkel von der Gesamtsumme aller Winkel in einem Dreieck $\left(180^\circ\right)$ abziehst.
$\beta=180^\circ-90^\circ-35^\circ$
$\beta=55^\circ$
$a$ berechnen
$\sin\left(35^\circ\right)=\frac{a}{12{,}5\,\mathrm{cm}} \:\:\;\;\;\;|{}\cdot12{,}5\,\mathrm{cm}$
$a=\sin\left(35^\circ\right)\cdot12{,}5\,\mathrm{cm}$
$a=7{,}2\,\mathrm{cm}$
$b$ berechnen
$b$ mithilfe des Satzes des Pythagoras ausrechnen.
$c^2=a^2+b^2$
$\left(12{,}5\,\mathrm{cm}\right)^2=\left(7{,}2\,\mathrm{cm}\right)^2+b^2 \:\:\;\;\;\;|{}-\left(7{,}2\,\mathrm{cm}\right)^2$
$b^2=\left(12{,}5\,\mathrm{cm}\right)^2-\left(7{,}2\,\mathrm{cm}\right)^2$
$b^2\approx104{,}4\,\mathrm{cm}^2$
Wurzel ziehen.
$b\approx10{,}2\,\mathrm{cm}$
$b$ berechnen (alternative Lösung mit dem Kosinus)
$\cos\left(\alpha\right)=\frac bc$
Nach $b$ umstellen.
$b = \cos\left( \alpha \right) \cdot c \approx 10{,}2\,\mathrm{cm}$
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$\alpha=90^\circ$
$\gamma=40{,}3^\circ$
$a=10{,}5\,\mathrm{cm}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Trigonometrie
$\beta$ berechnen
$\beta$ kannst du ausrechnen, indem du alle gegebenen Winkel von der Gesamtsumme aller Winkel in einem Dreieck $\left(180^\circ\right)$ abziehst.
$\beta=180^\circ-90^\circ-40{,}3^\circ$
$\beta=49{,}7^\circ$
$b$ berechnen
$\sin\left(49{,}7^\circ\right)=\frac{b}{10{,}5\,\mathrm{cm}}\:\:\;\;\;\; |{}\cdot10{,}5\,\mathrm{cm}$
$b=\sin\left(49{,}7^\circ\right)\cdot10{,}5\,\mathrm{cm}$
$b\approx8\,\mathrm{cm}$
$c$ berechnen
$c$ mithilfe des Satzes des Pythagoras ausrechnen.
$\left(10{,}5\,\mathrm{cm}\right)^2=c^2+\left(8\,\mathrm{cm}\right)^2$
$c^2=46{,}25\,\mathrm{cm}^2$
Wurzel ziehen.
$c\approx6{,}8\,\mathrm{cm}$
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Berechne die fehlenden Seiten und Winkel des gleichschenkligen Dreiecks ABC mit $a=b$ . Beachte, dass wir allgemeine gleichschenklige Dreiecke betrachten, die nicht unbedingt rechtwinklig sind..

a=44,2cm

c=63,4cm

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Cosinus und Tangens

geg: a=b= 44,2cm c=63,4cm

ges: h, $\alpha,\;\beta,\;\gamma$

Zur Verdeutlichung eine Skizze zeichnen.

Skizze des Dreiecks mit den zu bestimmenden Größen

Zunächst $x$ berechnen.

$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{c}{2}$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{63{,}4cm}{2}$
	$=$	$\displaystyle 31{,}7cm$

$h$ berechnen, indem man in dem rechtwinkligen Dreieck $\triangle{DBC}$ den Satz des Pythagoras anwendet.

$\displaystyle h$	$=$	$\displaystyle \sqrt{a^2-x^2}$
	↓	Bekannte Werte einsetzen.
	$=$	$\displaystyle \sqrt{\left(44{,}2cm\right)^2-\left(31{,}7cm\right)^2}$
	↓	Zunächst quadrieren.
	$=$	$\displaystyle \sqrt{1953{,}64cm^2-1004{,}89cm^2}$
	↓	Nun subtrahieren.
	$=$	$\displaystyle \sqrt{948{,}75cm^2}$
	↓	Wurzel ziehen.
	$=$	$\displaystyle 30{,}8cm$

$\alpha$ mit Hilfe von Sinus berechnen.

$\displaystyle \sin\left(\alpha\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{h}{b}$
	↓	Werte einsetzen.
	$=$	$\displaystyle \frac{30{,}8cm}{44{,}2cm}$
	↓	Mit Hilfe des Taschenrechners $\alpha$ berechnen.
$\displaystyle \alpha$	$=$	$\displaystyle 44{,}2°\ =\ \beta$
	↓	Es handelt sich hier um ein gleichschenkliges Dreieck mit $\alpha=\beta$

Da die Basiswinkel in einem gleichschenkligen Dreieck gleich sind, und alle Innenwinkel insgesamt $180^\circ$ ergeben, $\gamma$ ausrechnen.

$\displaystyle \gamma$	$=$	$\displaystyle 180°-2\cdot44{,}2°$
	↓	Multiplizieren und subtrahieren.
	$=$	$\displaystyle 91{,}6°$

$\Rightarrow$ $h=30{,}8cm;\alpha=\beta=44{,}2^\circ;\gamma=91{,}6^\circ$

Achtung: Das Dreieck $ABC$ ist kein rechtwinkliges Dreieck, da kein Winkel $90°$ groß ist.

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a=114,5m

$\alpha$ =32,3°

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Cosinus und Tangens

Gegeben sind $a=b= 114{,}5\,m$ und $\alpha=\beta=32{,}3^\circ$

Gesucht sind $c$ , $h$ und $\gamma$

Zur Verdeutlichung machst du am besten eine Skizze.

Da die Basiswinkel in einem gleichschenkligen Dreieck gleich sind, und alle Innenwinkel insgesamt $180^\circ$ ergeben, kannst du $\gamma$ mit der Winkelsumme ausrechnen.

$\displaystyle \gamma$	$=$	$\displaystyle 180°-2\cdot32{,}3°$
	$=$	$\displaystyle 115{,}4°$

$h$ kannst du mit Hilfe des Sinus in dem rechtwinkligen Dreieck $\triangle DBC$ berechnen.

$\displaystyle \sin\left(\beta\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{h}{b}$
	↓	Nach $h$ umstellen und Werte einsetzen.
$\displaystyle h$	$=$	$\displaystyle 114{,}5m\cdot\sin\left(32{,}3°\right)$
	↓	Multiplizieren.
	$=$	$\displaystyle 61{,}2m$

Weil die Höhe $h$ die Seite $c$ in der Mitte teilt, bekommt man $2$ gleich lange Strecken $x$ .

$c$ kannst du leicht berechnen, indem du die Seite $x$ verdoppelst.

$x$ kannst du berechnen, indem du in dem rechtwinkligen Dreieck $\triangle{DBC}$ den Satz des Pythagoras anwendest.

$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \sqrt{a^2-h^2}$
	↓	Bekannte Werte einsetzen.
	$=$	$\displaystyle \sqrt{\left(114{,}5m\right)^2-\left(61{,}2m\right)^2}$
	↓	Zunächst quadrieren.
	$=$	$\displaystyle \sqrt{13110{,}25m^2-3745{,}44m^2}$
	↓	Nun subtrahieren.
	$=$	$\displaystyle \sqrt{9364{,}81m^2}$
	↓	Wurzel ziehen.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 96{,}8\,m$

Alternative: benutze den Kosinus im rechtwinkligen Dreieck $\triangle{DBC}$

$\displaystyle \cos\left(\beta\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{x}{b}$
	↓	Nach $x$ umstellen und Werte einsetzen.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 114{,}5m\cdot\cos\left(32{,}3^\circ\right)$
	↓	Multiplizieren.
	$=$	$\displaystyle 96{,}8\,m$

$c=2\cdot96{,}8m=193{,}6m$

Damit hast du die Lösung $h=61{,}2\,m; c=193{,}6\,m;\gamma=115{,}4^\circ$

Anmerkung

Wenn du den Sinussatz kennst, kannst du $c$ auch direkt berechnen:

$\displaystyle \frac{c}{\sin (\gamma)}$	$=$	$\displaystyle \frac{a}{\sin (\alpha)}$
	↓	Mit $\sin (\gamma)$ multiplizieren
$\displaystyle c$	$=$	$\displaystyle \frac{a\cdot\sin (\gamma)}{\sin (\alpha)}$
	↓	Werte einsetzen
	$=$	$\displaystyle \frac{114{,}5\cdot 0{,}53}{0{,}90}$
	$=$	$\displaystyle 193{,}6\,m$

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c=35,4cm

$\beta$ =43,9°

h=14,8cm

$\alpha=\beta=$ 28,3°

a=146,4m

h=58,4m

Ein Dreieck mit rechtem Winkel bei C, mit der Seite $b=113m$ hat den Winkel $\alpha=39^\circ$ . Fertige zunächst eine Skizze an und berechne dann alle fehlenden Seiten sowie den Winkel $\beta$ .

5
123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
Skizziere ein Rechteck mit den Seiten a=7cm und b=18cm und berechne die Winkel
1. zwischen einer Diagonalen und den Seiten
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Cosinus und Tangens
  geg: $a=7\;\text{cm}$ ; $b= 18\;\text{cm}$
  ges: $\alpha,\;\beta,\;$
  Fertige am Besten zum Verständnis eine Skizze an.
  Berechne $\alpha$ mit Hilfe des Tangens.
  $\tan\left(\alpha\right)=\frac ab$
  Setz die Werte ein und berechne $\alpha$ mit Hilfe des Taschenrechners.
  $\tan(\alpha) = \frac {7\text{cm}}{18\text{cm}}$
  $\alpha=21{,}3^\circ$
  Berechne $\beta$ . $\alpha$ und $\beta$ sind zusammen 90° also gilt für $\beta$ :
  $\beta=90^\circ-21{,}3^\circ=68{,}7^\circ$
  $\Rightarrow\;\;$ Der Winkel $\alpha$ beträgt 21,3°. $\beta$ beträgt 68,7°.
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2. zwischen beiden Diagonalen
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Cosinus und Tangens
  geg: $\alpha=21{,}3^\circ;\;\beta=68{,}7^\circ$
  ges: $\gamma,\;\delta$
  Fertige am Besten zum Verständnis eine Skizze an.
  $\delta$ ist 2 $\alpha$ , weil $\delta$ $+$ $\gamma$ $=$ 180° und $\gamma$ $+2$ $\alpha$ $=$ 180° im gleichschenklichen Dreieck gilt.
  $\Rightarrow$ $\delta$ + $\gamma$ $=$ $\gamma$ $+2$ $\alpha$
  $\Rightarrow$ $\delta$ $=$ $2$ $\alpha$
  $\delta=2\cdot21{,}3^\circ=42{,}6^\circ$
  $\gamma$ und $\delta$ bilden zusammen 180°.
  $\gamma=180^{\circ}-42{,}6^{\circ}=137{,}4^{\circ}$
  $\Rightarrow\;\;$ Der Winkel $\gamma$ beträgt $137{,}4°$ ; $\delta$ beträgt 42,6°.
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Im Kreis mit dem Radius $r=10~\text{cm}$ gehört zur Sehne $s$ der Mittelpunktswinkel $\alpha=84^\circ$

Wie lang ist die Sehne?

Berechne die fehlenden Seiten und Winkel des gleichschenkligen Dreiecks ABC mit a=b.

a = 44,2cm

c = 63,4cm

a = 114,5m

$\alpha$ = 32,3°

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreieck

Berechne die Seite c des Dreiecks:

Verwende den Cosinus , um die Basis des Dreiecks zu berechnen,

$\displaystyle \cos\left(\alpha\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{\frac{1}{2}c}{b}$	$\displaystyle \cdot b$
$\displaystyle \cos\left(32{,}3°\right)\cdot114{,}5m$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}c$	$\displaystyle \cdot2$
$\displaystyle 2\cdot\left(\cos\left(32{,}3°\right)\cdot114{,}5m\right)$	$=$	$\displaystyle c$
$\displaystyle c$	$≈$	$\displaystyle 193{,}565$

Berechne die Höhe des Dreiecks:

Verwende dafür den Sinus .

$\displaystyle \sin\left(\alpha\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{h_c}{b}$	$\displaystyle \cdot b$
$\displaystyle \sin\left(32{,}3°\right)\cdot114{,}5m$	$=$	$\displaystyle h_c$
$\displaystyle h_c$	$=$	$\displaystyle 61{,}183m$
	↓	Berechne die zwei fehlenden Winkel mithilfe von Sinus oder Cosinus

$\displaystyle \cos\left(\beta\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{\frac{1}{2}c}{a}$
$\displaystyle \beta$	$=$	$\displaystyle 32{,}3°$

$\displaystyle \sin\left(\beta\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{h}{a}$
$\displaystyle \beta$	$=$	$\displaystyle 32{,}3°$
	↓	Addiere die zwei Winkel und subtrahiere sie von der Winkelsumme im Dreieck .

$\displaystyle \gamma$	$=$	$\displaystyle 180°-2\cdot32{,}3°$
$\displaystyle \gamma$	$=$	$\displaystyle 115{,}4°$

alternativ:

$\displaystyle \cos\left(\frac{1}{2}\gamma\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{h_c}{b}$
$\displaystyle \frac{1}{2}\gamma$	$=$	$\displaystyle 57{,}25°$
$\displaystyle \gamma$	$=$	$\displaystyle 115{,}4°$
$\displaystyle \sin\left(\frac{1}{2}\gamma\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{\frac{1}{2}c}{b}$
$\displaystyle \frac{1}{2}\gamma$	$=$	$\displaystyle 57{,}25°$	$\displaystyle \cdot2$
$\displaystyle \gamma$	$=$	$\displaystyle 115{,}4$

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c = 35,4cm

$\beta$ = 43,9°

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreieck

Berechne die Seiten a und b des Dreiecks.

Verwende den Cosinus , um die zwei Katheten auszurechnen,

$\displaystyle \cos\left(\beta\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{\frac{1}{2}c}{a}$	$\displaystyle \cdot a:\cos\left(\beta\right)$
$\displaystyle a$	$=$	$\displaystyle \frac{\frac{1}{2}\cdot35{,}4cm}{\cos\left(43{,}9°\right)}$
$\displaystyle a$	$=$	$\displaystyle 24{,}565cm$
	$=$	$\displaystyle b$

Berechne die Höhe des Dreiecks:

Verwende hierfür den Sinus .

$\displaystyle \sin\left(\beta\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{h_c}{a}$	$\displaystyle \cdot a$
$\displaystyle h_c$	$=$	$\displaystyle \sin\left(43{,}9°\right)\cdot24{,}565cm$
$\displaystyle h_c$	$=$	$\displaystyle 17{,}033cm$
	↓	Berechne die zwei fehlenden Winkel mit Sinus oder Cosinus .

$\displaystyle \cos\left(\alpha\ \right)$	$=$	$\displaystyle \frac{\frac{1}{2}c}{b}$
$\displaystyle \alpha$	$=$	$\displaystyle 43{,}9°$

oder:

$\displaystyle \sin\left(\alpha\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{h_c}{b}$
$\displaystyle \alpha$	$=$	$\displaystyle 43{,}9°$
	↓	Addiere die zwei Winkel und subtrahiere sie von der Winkelsumme im Dreieck, um den letzen Winkel zu berechnen.

$\displaystyle \gamma$	$=$	$\displaystyle 180°-2\cdot43{,}9°$
	$=$	$\displaystyle 92{,}2°$

alternativ:

$\displaystyle \cos\left(\frac{1}{2}\gamma\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{h_c}{b}$
$\displaystyle \frac{1}{2}\gamma$	$=$	$\displaystyle 46{,}1°$	$\displaystyle \cdot2$
$\displaystyle \gamma$	$=$	$\displaystyle 92{,}2°$
$\displaystyle \sin\left(\frac{1}{2}\gamma\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{\frac{1}{2}c}{b}$
$\displaystyle \frac{1}{2}\gamma$	$=$	$\displaystyle 46{,}1°$	$\displaystyle \cdot2$
$\displaystyle \gamma$	$=$	$\displaystyle 92{,}2°$

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$h_c$ = 14,8cm

$\alpha$ = 28,3°

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreieck

Berechne die Seiten a und b des Dreiecks:

Verwende hierfür den Sinus .

$\displaystyle \sin\left(\alpha\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{h_c}{b}$	$\displaystyle \cdot b:\sin\left(\alpha\right)$
$\displaystyle b$	$=$	$\displaystyle \frac{14{,}8\ cm}{\sin\left(28{,}3°\right)}$
$\displaystyle b$	$=$	$\displaystyle 31{,}218$
	$=$	$\displaystyle a$

Berechne die Seite c des Dreicks.

Verwende hierfür den Cosinus .

$\displaystyle \cos\left(\alpha\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{\frac{1}{2}c}{b}$	$\displaystyle \cdot b$
$\displaystyle \cos\left(28{,}3°\right)\cdot31{,}218cm$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}c$	$\displaystyle \cdot2$
$\displaystyle c$	$=$	$\displaystyle 54{,}973cm$
	↓	Berechne die fehlenden Winkel mithilfe von Cosinus oder Sinus ,

$\displaystyle \cos\left(\beta\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{\frac{1}{2}c}{a}$
$\displaystyle \beta$	$=$	$\displaystyle 28{,}3°$

oder:

$\displaystyle \sin\left(\beta\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{h_c}{a}$
$\displaystyle \beta$	$=$	$\displaystyle 28{,}3°$
	↓	Addiere die zwei Winkel und subtrahiere sie von der Winkelsumme im Dreieck , um den letzten Winkel auszurechnen.

$\displaystyle \gamma$	$=$	$\displaystyle 180°-2\cdot28{,}3°$
$\displaystyle \gamma$	$=$	$\displaystyle 123{,}4°$

alternativ:

$\displaystyle \cos\left(\frac{1}{2}\gamma\ \right)$	$=$	$\displaystyle \frac{h_c}{b}$
$\displaystyle \frac{1}{2}\gamma$	$=$	$\displaystyle 61{,}7°$	$\displaystyle \cdot2$
$\displaystyle \gamma$	$=$	$\displaystyle 123{,}4°$

oder:

$\displaystyle \sin\left(\frac{1}{2}\gamma\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{\frac{1}{2}c}{b}$
$\displaystyle \frac{1}{2}\gamma$	$=$	$\displaystyle 61{,}7°$	$\displaystyle \cdot2$
$\displaystyle \gamma$	$=$	$\displaystyle 123{,}4°$

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a = 146,4m

$h_c$ = 58,4m

8
Diese nicht maßstabsgetreue Skizze zeigt ein Trapez mit den Längen:
$\overline{\mathrm{AD}}=7\mathrm m,\;\measuredangle\mathrm{DAB}=\measuredangle\mathrm{DCB}=\measuredangle\mathrm{CDA}=90^\circ,\;\measuredangle\mathrm{CAD}=50^\circ,\;\measuredangle\mathrm{ADE}=55^\circ$
Berechne die rot markierte Strecke $x$
m

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Kosinus und Tangens
Tipp: Vorgehen rückwärts in Bildern:
Für diese Aufgabe musst du den Sinus und Kosinus im rechtwinkligen Dreieck sowie den Satz des Pythagoras verwenden können.
Strategie
Wenn du dir zuerst eine Strategie für die Lösung überlegen willst, gehst du am besten rückwärts vor:
Für die Berechnung der Strecke $x$ brauchst du z. B. alle anderen Streckenlängen in diesem Dreieck. Die Länge der Strecke $\overline{BC}$ kennst du. Sie ist genauso lang wie die Strecke $\overline{AD}$ , da sie gegenüberliegende Seiten in einem Rechteck sind. Das heißt, du musst noch $\overline{BE}$ bestimmen.
$\overline{BE}$ kannst du berechnen, indem du die Strecke $\overline{AB}$ von der langen Seite $\overline{AE}$ abziehst. $\overline{AE}$ kannst du mit Hilfe des Tangens im Dreieck $\Delta ADE$ berechnen. Für die Berechnung von $\overline{AB}$ kannst du zum Beispiel den Tangens im Dreieck $\Delta ACD$ verwenden, da du weißt, dass $\overline{DC}$ und $\overline{AB}$ als gegenüberliegende Seiten im Rechteck gleich lang sind.
Lösung
Nun kennst du das Vorgehen "von hinten" und kannst es in genau umgekehrter Reihenfolge verwenden, um auf die Länge der Strecke $x$ zu kommen:
Berechnung von $\overline{DC}$
Verwende den Tangens im Dreieck $\Delta ACD$ mit dem dir bekannten Winkel $\measuredangle\mathrm{CAD}$ für die Berechnung von $\overline{DC}$ :
$\tan(\measuredangle\mathrm{CAD})=\displaystyle\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}=\frac{\overline{DC}}{\overline{AD}}$
Stelle nach der gesuchten Seite $\overline{DC}$ um, indem du mit $\overline{AD}$ multiplizierst.
$\overline{DC}=\displaystyle\overline{AD}\cdot\tan(\measuredangle\mathrm{CAD})$
Setze die Werte $\overline{\mathrm{AD}}=7\mathrm m$ und $\measuredangle\mathrm{CAD}=50^\circ$ ein.
$\overline{DC}=\overline{AB}=\displaystyle7\cdot\tan(50^\circ)\approx8{,}34$
Berechnung von $\overline{AE}$
Verwende den Tangens im Dreieck $\Delta ADE$ für die Berechnung von $\overline{AE}$ , da du $\measuredangle\mathrm{ADE}=55^\circ$ und $\overline{AD}=7$ kennst.
$\tan(\measuredangle\mathrm{ADE})=\displaystyle\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}=\frac{\overline{AE}}{\overline{AD}}$
Stelle nach der gesuchten Seite $\overline{AE}$ um, indem du beide Seiten der Gleichung mit $\overline{AD}$ multiplizierst
$\overline{AE}=\displaystyle{\overline{AD}}\cdot{\tan(\measuredangle\mathrm{ADE})}$
Setze die Werte ein.
$\overline{AE}\ =\ \displaystyle{7m}\cdot{\tan{55^\circ}}$
$\overline{AE}\ =\ 7\ m\cdot1{,}4281$
$\overline{AE}\ \approx\ 10{,}00\ m$
Nun kannst du $\overline{BE}$ berechnen:
$\overline{BE}=\overline{AE}-\overline{AD}=10{,}00-8{,}34=1{,}66\,m$
Berechnung von $x$
Jetzt kannst du die Länge von $x$ mit Hilfe des Satzes von Pythagoras ausrechnen. Dabei ist $x$ die Hypotenuse.
$x^2=\displaystyle\overline{BE}^2+\overline{BC}^2$
Stelle nach $x$ um, indem du die Wurzel ziehst.
$x=\displaystyle\sqrt{\overline{BE}^2+\overline{BC}^2}$
Setze die Werte ein. Denke dabei daran, dass du $\overline{BC}=\overline{AD}$ verwenden kannst, da es sich um gegenüberliegende Seiten im Rechteck handelt.
$x=\displaystyle\sqrt{1{,}66^2+7^2}\approx7{,}19\,m$
Die Strecke $x$ ist $7{,}19 \, m$ lang.
Hier gibt es, wie sehr oft, nicht nur einen möglichen Lösungsweg. Zum Beispiel kannst du mit einem weiteren Zwischenschritt statt dem Tangens auch den Sinus oder Kosinus verwenden.
9
Diese nicht maßstabsgetreue Skizze zeigt ein Drachenviereck $ABCD$ mit Symmetrieachse $AC$ und den Maßen: $\mathrm a=7\;\mathrm{cm}$ , $\mathrm c=6\;\mathrm{cm}$ , $\overline{\mathrm{DB}}=10\;\mathrm{cm}$
Berechne die Winkel $\alpha,\beta$ und $\gamma$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drachenviereck
Berechne den Winkel $\large\alpha$
Du kennst die Seite $a=7\ cm$ und die Seite $\overline{SB}=\frac{\overline{DB}}{2}=5\ cm$ ; $\sin\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{\overline{SB}}{a};\quad \sin\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{5\ cm}{7\ cm};\quad \sin\dfrac{\alpha}{2}=0{,}7143\Rightarrow\ \alpha=91{,}18^{\circ}$
Berechne den Winkel $\large\gamma$
Du kennst die Seite $b=c=6\ cm$ und die Seite $\overline{SB}=\dfrac{\overline{DB}}{2}=5\ cm$ $\sin\dfrac{\gamma}{2}=\dfrac{\overline{SB}}{b};\quad \sin\dfrac{\gamma}{2}=\dfrac{5\ cm}{6\ cm};\quad sin\dfrac{\gamma}{2}= 0{,}8333\Rightarrow\ \gamma= 112{,}88^\circ$
Berechne den Winkel $\beta$
Die Winkelsumme im Viereck beträgt $360^\circ$ , also gilt: $\\360^\circ= \alpha+2\cdot\beta+\gamma \Rightarrow\beta=\dfrac{360^\circ-\alpha-\gamma}{2}=\dfrac{360^\circ-91{,}18^\circ-112{,}88^\circ}{2}\\ \beta=77{,}97^\circ$
10
Diese Skizze zeigt ein nicht maßgetreues, rechtwinkliges Dreieck mit der Höhe $h=8\,\mathrm{cm}$ und den Winkeln $\mathrm\alpha=65^\circ$ und $\beta=80^\circ$ .
Berechne die Seitenlängen $a$ und $b$ .

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}a=\tan\left(\alpha\right)\cdot h\\a=\tan\left(65^\circ\right)\cdot8\,\mathrm{cm}\\a=17{,}16\,\mathrm{cm}\\\\a+b=\tan\left(\beta\right)\cdot h\\a+b=\tan\left(80^\circ\right)\cdot8\,\mathrm{cm}\\a+b=45{,}37\,\mathrm{cm}\end{array}$
Damit ist $b=45{,}37\text{\ cm }-17{,}16\text{\ cm\ }=28{,}21\ \text{cm}$ .

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle \cos\left(39°\right)$	$=$	$\displaystyle \dfrac{113m}{c}$	$\displaystyle \cdot c\$
	↓	Bring c auf die andere Seite
$\displaystyle c\cdot\cos\left(39°\right)$	$=$	$\displaystyle 113m$	$\displaystyle :\ \cos\left(39°\right)$
$\displaystyle c$	$=$	$\displaystyle \dfrac{113m}{\cos(39°)}$
$\displaystyle c$	$=$	$\displaystyle 145m$

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1. Skizze zeichnen

2. Berechnen

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Strategie

Lösung

Berechnung von $\overline{DC}$

Berechnung von $\overline{AE}$

Berechnung von $x$

$\displaystyle \tan(\alpha)$	$=$	$\displaystyle \dfrac{a}{b}$	$\displaystyle \cdot b\ :\tan\left(\alpha\right)$
	↓	Löse nach b auf.
$\displaystyle b$	$=$	$\displaystyle \dfrac{a}{\tan\left(\alpha\right)}$
	↓	Setze $a=5\,\text{cm}$ und $\alpha=75°$ in die Gleichung ein.
$\displaystyle b$	$=$	$\displaystyle \dfrac{5\,\text{cm}}{\tan(75^\circ)}$
$\displaystyle b$	$≈$	$\displaystyle 1{,}34\;\text{cm}$

$\displaystyle \sin\left(\alpha\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{12{,}7\,\mathrm{cm}}{24{,}9\,\mathrm{cm}}$	$\displaystyle \sin^{-1}()$
$\displaystyle \alpha$	$=$	$\displaystyle \sin^{-1}\left(\frac{12{,}7\,\mathrm{cm}}{24{,}9\,\mathrm{cm}}\right)$
	$=$	$\displaystyle 30{,}7^\circ$

$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{35{,}4cm}{2}$
	$=$	$\displaystyle 17{,}7cm$

$\displaystyle \cos\left(\beta\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{x}{a}$
	↓	Nach a umstellen und Werte einsetzen.
$\displaystyle a$	$=$	$\displaystyle \frac{17{,}7cm}{\cos\left(43{,}9°\right)}$
	↓	Dividieren.
$\displaystyle a$	$=$	$\displaystyle 24{,}6cm$

$\displaystyle \tan\left(\beta\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{h}{x}$
	↓	Nach $h$ umstellen und Werte einsetzen.
$\displaystyle h$	$=$	$\displaystyle 17{,}7cm\cdot\tan\left(43{,}9°\right)$
	↓	Multplzieren.
$\displaystyle h$	$=$	$\displaystyle 17{,}0cm$

$\displaystyle \tan\left(\beta\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{h}{x}$
	↓	Nach x umstellen und Werte einsetzen.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{14{,}8cm}{\tan\left(28{,}3°\right)}$
	↓	Dividieren.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 27{,}5cm$
	↓	$c$ erhälst du, indem du die Seite $x$ verdoppelst (siehe Skizze).
$\displaystyle c$	$=$	$\displaystyle 2\cdot27{,}5cm$
	$=$	$\displaystyle 55cm$

$\displaystyle \sin\left(\alpha\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{h}{b}$
	↓	Nach $b$ umstellen und Werte einsetzen.
$\displaystyle b$	$=$	$\displaystyle \frac{14{,}8cm}{\sin\left(28{,}3°\right)}$
	↓	Dividieren.
	$=$	$\displaystyle 31{,}2cm$

$\displaystyle \sin\left(\beta\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{h}{a}$
	↓	Werte einsetzen und mit Hilfe des Taschenrechners $\alpha$ berechnen.
$\displaystyle \beta$	$=$	$\displaystyle 23{,}5°$

$\displaystyle \gamma$	$=$	$\displaystyle 180°-2\cdot23{,}5°$
	$=$	$\displaystyle 133°$

$\displaystyle \beta+\ 90°\ +\ 39°$	$=$	$\displaystyle 180°$
$\displaystyle \beta$	$=$	$\displaystyle 180°-90°-39°$
$\displaystyle \beta$	$=$	$\displaystyle 51°$

$\displaystyle \sin\left(39°\right)$	$=$	$\displaystyle \dfrac{a}{145m}$	$\displaystyle \cdot145m$
$\displaystyle a$	$=$	$\displaystyle \sin\left(39°\right)\cdot145m$
$\displaystyle a$	$=$	$\displaystyle 91m$

$\displaystyle \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{x}{r}$
	↓	Nach $x$ umstellen und Werte einsetzen.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 10cm\cdot\sin\left(\frac{84^\circ}2\right)$
	↓	Mit Hilfe des Taschenrechners $x$ berechnen.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 6{,}7cm$
	↓	Da $x$ die Hälfte der Sehne $s$ ist, $x$ verdoppeln.
$\displaystyle s$	$=$	$\displaystyle 2\cdot6{,}7cm$
$\displaystyle s$	$=$	$\displaystyle 13{,}4cm$

$\displaystyle \cos\left(\alpha\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{{\displaystyle\frac12}c}b$
$\displaystyle \alpha$	$=$	$\displaystyle 44{,}177°$

$\displaystyle \sin\left(\beta\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{h_c}{\alpha}$
$\displaystyle \beta$	$≈$	$\displaystyle 44{,}177°$

$\displaystyle \gamma$	$=$	$\displaystyle 180°-2\cdot44{,}177°$
$\displaystyle \gamma$	$=$	$\displaystyle 91{,}646°$

$\displaystyle \cos\left(\frac{1}{2}\gamma\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{{\displaystyle\frac12}c}a$
$\displaystyle \frac12\gamma$	$≈$	$\displaystyle 45{,}8^°$
$\displaystyle \gamma$	$≈$	$\displaystyle 45{,}8^\circ\cdot2=91{,}6^\circ$

$\displaystyle \sin\left(\frac12\gamma\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{h_c}a$
$\displaystyle \frac{1}{2}\gamma$	$=$	$\displaystyle 45{,}8°$
$\displaystyle \gamma$	$=$	$\displaystyle 2\cdot45{,}8°\ =\ 91{,}6°$

$\displaystyle \sin\left(\alpha\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{h_c}b$
$\displaystyle \alpha$	$=$	$\displaystyle 23{,}51^\circ$

$\displaystyle \gamma$	$=$	$\displaystyle 180^\circ-2\cdot23{,}51^\circ$
	$=$	$\displaystyle 132{,}98^\circ$

$\displaystyle \cos\left(\frac12\gamma\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{h_c}b$
$\displaystyle \frac12\gamma$	$=$	$\displaystyle 66{,}49^\circ$	$\displaystyle \cdot 2$
$\displaystyle \gamma$	$=$	$\displaystyle 132{,}98^\circ$

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Berechnung von AE‾\overline{AE}AE

Berechnung von xxx

Berechnung von $\overline{DC}$

Berechnung von $\overline{AE}$

Berechnung von $x$