Aufgaben zur Trigonometrie - lernen mit Serlo!

Berechne die fehlenden Seiten und Winkel des gleichschenkligen Dreiecks ABC mit a=b.

a = 44,2cm

c = 63,4cm

a = 114,5m

$\alpha$ = 32,3°

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreieck

Berechne die Seite c des Dreiecks:

Verwende den Cosinus , um die Basis des Dreiecks zu berechnen,

$\displaystyle \cos\left(\alpha\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{\frac{1}{2}c}{b}$	$\displaystyle \cdot b$
$\displaystyle \cos\left(32{,}3°\right)\cdot114{,}5m$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}c$	$\displaystyle \cdot2$
$\displaystyle 2\cdot\left(\cos\left(32{,}3°\right)\cdot114{,}5m\right)$	$=$	$\displaystyle c$
$\displaystyle c$	$≈$	$\displaystyle 193{,}565$

Berechne die Höhe des Dreiecks:

Verwende dafür den Sinus .

$\displaystyle \sin\left(\alpha\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{h_c}{b}$	$\displaystyle \cdot b$
$\displaystyle \sin\left(32{,}3°\right)\cdot114{,}5m$	$=$	$\displaystyle h_c$
$\displaystyle h_c$	$=$	$\displaystyle 61{,}183m$
	↓	Berechne die zwei fehlenden Winkel mithilfe von Sinus oder Cosinus

$\displaystyle \cos\left(\beta\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{\frac{1}{2}c}{a}$
$\displaystyle \beta$	$=$	$\displaystyle 32{,}3°$

$\displaystyle \sin\left(\beta\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{h}{a}$
$\displaystyle \beta$	$=$	$\displaystyle 32{,}3°$
	↓	Addiere die zwei Winkel und subtrahiere sie von der Winkelsumme im Dreieck .

$\displaystyle \gamma$	$=$	$\displaystyle 180°-2\cdot32{,}3°$
$\displaystyle \gamma$	$=$	$\displaystyle 115{,}4°$

alternativ:

$\displaystyle \cos\left(\frac{1}{2}\gamma\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{h_c}{b}$
$\displaystyle \frac{1}{2}\gamma$	$=$	$\displaystyle 57{,}25°$
$\displaystyle \gamma$	$=$	$\displaystyle 115{,}4°$
$\displaystyle \sin\left(\frac{1}{2}\gamma\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{\frac{1}{2}c}{b}$
$\displaystyle \frac{1}{2}\gamma$	$=$	$\displaystyle 57{,}25°$	$\displaystyle \cdot2$
$\displaystyle \gamma$	$=$	$\displaystyle 115{,}4$

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c = 35,4cm

$\beta$ = 43,9°

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreieck

Berechne die Seiten a und b des Dreiecks.

Verwende den Cosinus , um die zwei Katheten auszurechnen,

$\displaystyle \cos\left(\beta\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{\frac{1}{2}c}{a}$	$\displaystyle \cdot a:\cos\left(\beta\right)$
$\displaystyle a$	$=$	$\displaystyle \frac{\frac{1}{2}\cdot35{,}4cm}{\cos\left(43{,}9°\right)}$
$\displaystyle a$	$=$	$\displaystyle 24{,}565cm$
	$=$	$\displaystyle b$

Berechne die Höhe des Dreiecks:

Verwende hierfür den Sinus .

$\displaystyle \sin\left(\beta\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{h_c}{a}$	$\displaystyle \cdot a$
$\displaystyle h_c$	$=$	$\displaystyle \sin\left(43{,}9°\right)\cdot24{,}565cm$
$\displaystyle h_c$	$=$	$\displaystyle 17{,}033cm$
	↓	Berechne die zwei fehlenden Winkel mit Sinus oder Cosinus .

$\displaystyle \cos\left(\alpha\ \right)$	$=$	$\displaystyle \frac{\frac{1}{2}c}{b}$
$\displaystyle \alpha$	$=$	$\displaystyle 43{,}9°$

oder:

$\displaystyle \sin\left(\alpha\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{h_c}{b}$
$\displaystyle \alpha$	$=$	$\displaystyle 43{,}9°$
	↓	Addiere die zwei Winkel und subtrahiere sie von der Winkelsumme im Dreieck, um den letzen Winkel zu berechnen.

$\displaystyle \gamma$	$=$	$\displaystyle 180°-2\cdot43{,}9°$
	$=$	$\displaystyle 92{,}2°$

alternativ:

$\displaystyle \cos\left(\frac{1}{2}\gamma\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{h_c}{b}$
$\displaystyle \frac{1}{2}\gamma$	$=$	$\displaystyle 46{,}1°$	$\displaystyle \cdot2$
$\displaystyle \gamma$	$=$	$\displaystyle 92{,}2°$
$\displaystyle \sin\left(\frac{1}{2}\gamma\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{\frac{1}{2}c}{b}$
$\displaystyle \frac{1}{2}\gamma$	$=$	$\displaystyle 46{,}1°$	$\displaystyle \cdot2$
$\displaystyle \gamma$	$=$	$\displaystyle 92{,}2°$

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$h_c$ = 14,8cm

$\alpha$ = 28,3°

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreieck

Berechne die Seiten a und b des Dreiecks:

Verwende hierfür den Sinus .

$\displaystyle \sin\left(\alpha\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{h_c}{b}$	$\displaystyle \cdot b:\sin\left(\alpha\right)$
$\displaystyle b$	$=$	$\displaystyle \frac{14{,}8\ cm}{\sin\left(28{,}3°\right)}$
$\displaystyle b$	$=$	$\displaystyle 31{,}218$
	$=$	$\displaystyle a$

Berechne die Seite c des Dreicks.

Verwende hierfür den Cosinus .

$\displaystyle \cos\left(\alpha\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{\frac{1}{2}c}{b}$	$\displaystyle \cdot b$
$\displaystyle \cos\left(28{,}3°\right)\cdot31{,}218cm$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}c$	$\displaystyle \cdot2$
$\displaystyle c$	$=$	$\displaystyle 54{,}973cm$
	↓	Berechne die fehlenden Winkel mithilfe von Cosinus oder Sinus ,

$\displaystyle \cos\left(\beta\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{\frac{1}{2}c}{a}$
$\displaystyle \beta$	$=$	$\displaystyle 28{,}3°$

oder:

$\displaystyle \sin\left(\beta\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{h_c}{a}$
$\displaystyle \beta$	$=$	$\displaystyle 28{,}3°$
	↓	Addiere die zwei Winkel und subtrahiere sie von der Winkelsumme im Dreieck , um den letzten Winkel auszurechnen.

$\displaystyle \gamma$	$=$	$\displaystyle 180°-2\cdot28{,}3°$
$\displaystyle \gamma$	$=$	$\displaystyle 123{,}4°$

alternativ:

$\displaystyle \cos\left(\frac{1}{2}\gamma\ \right)$	$=$	$\displaystyle \frac{h_c}{b}$
$\displaystyle \frac{1}{2}\gamma$	$=$	$\displaystyle 61{,}7°$	$\displaystyle \cdot2$
$\displaystyle \gamma$	$=$	$\displaystyle 123{,}4°$

oder:

$\displaystyle \sin\left(\frac{1}{2}\gamma\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{\frac{1}{2}c}{b}$
$\displaystyle \frac{1}{2}\gamma$	$=$	$\displaystyle 61{,}7°$	$\displaystyle \cdot2$
$\displaystyle \gamma$	$=$	$\displaystyle 123{,}4°$

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a = 146,4m

$h_c$ = 58,4m

$\displaystyle \cos\left(\frac12\gamma\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{h_c}b$
$\displaystyle \frac12\gamma$	$=$	$\displaystyle 66{,}49^\circ$	$\displaystyle \cdot 2$
$\displaystyle \gamma$	$=$	$\displaystyle 132{,}98^\circ$

$\displaystyle \sin\left(\frac12\gamma\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{{\displaystyle\frac12}c}b$
$\displaystyle \frac12\gamma$	$=$	$\displaystyle 66{,}49^\circ$	$\displaystyle \cdot 2$
$\displaystyle \gamma$	$=$	$\displaystyle 132{,}98^\circ$

$\displaystyle \sin\left(\beta\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{h_c}{\alpha}$
$\displaystyle \beta$	$≈$	$\displaystyle 44{,}177°$

$\displaystyle \gamma$	$=$	$\displaystyle 180°-2\cdot44{,}177°$
$\displaystyle \gamma$	$=$	$\displaystyle 91{,}646°$

$\displaystyle \sin\left(\frac12\gamma\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{h_c}a$
$\displaystyle \frac{1}{2}\gamma$	$=$	$\displaystyle 45{,}8°$
$\displaystyle \gamma$	$=$	$\displaystyle 2\cdot45{,}8°\ =\ 91{,}6°$

$\displaystyle \gamma$	$=$	$\displaystyle 180^\circ-2\cdot23{,}51^\circ$
	$=$	$\displaystyle 132{,}98^\circ$