Tipp: Vorgehen rückwärts in Bildern:

Für diese Aufgabe musst du den Sinus und Kosinus im rechtwinkligen Dreieck sowie den Satz des Pythagoras verwenden können.

Strategie

Wenn du dir zuerst eine Strategie für die Lösung überlegen willst, gehst du am besten rückwärts vor:

Für die Berechnung der Strecke $x$ brauchst du z. B. alle anderen Streckenlängen in diesem Dreieck. Die Länge der Strecke $\overline{BC}$ kennst du. Sie ist genauso lang wie die Strecke $\overline{AD}$, da sie gegenüberliegende Seiten in einem Rechteck sind. Das heißt, du musst noch $\overline{BE}$ bestimmen.

$\overline{BE}$ kannst du berechnen, indem du die Strecke $\overline{AB}$ von der langen Seite $\overline{AE}$ abziehst. $\overline{AE}$ kannst du mit Hilfe des Tangens im Dreieck $\mathrm{\Delta }ADE$ berechnen. Für die Berechnung von $\overline{AB}$ kannst du zum Beispiel den Tangens im Dreieck $\mathrm{\Delta }ACD$ verwenden, da du weißt, dass $\overline{DC}$ und $\overline{AB}$ als gegenüberliegende Seiten im Rechteck gleich lang sind.

Lösung

Nun kennst du das Vorgehen "von hinten" und kannst es in genau umgekehrter Reihenfolge verwenden, um auf die Länge der Strecke $x$ zu kommen:

Berechnung von $\overline{DC}$

Verwende den Tangens im Dreieck $\mathrm{\Delta }ACD$ mit dem dir bekannten Winkel $\measuredangle \mathrm{CAD}$ für die Berechnung von $\overline{DC}$:

$$\tan (\measuredangle \mathrm{CAD})={\displaystyle \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}=\frac{\overline{DC}}{\overline{AD}}}$$

Stelle nach der gesuchten Seite $\overline{DC}$ um, indem du mit $\overline{AD}$ multiplizierst.

$$\overline{DC}={\displaystyle \overline{AD}\cdot \tan (\measuredangle \mathrm{CAD})}$$

Setze die Werte $\overline{\mathrm{AD}}=7\mathrm{m}$ und $\measuredangle \mathrm{CAD}={50}^{\circ }$ ein.

$$\overline{DC}=\overline{AB}={\displaystyle 7\cdot \tan ({50}^{\circ })\approx \mathrm{8,34}}$$

Berechnung von $\overline{AE}$

Verwende den Tangens im Dreieck $\mathrm{\Delta }ADE$ für die Berechnung von $\overline{AE}$, da du $\measuredangle \mathrm{ADE}={55}^{\circ }$ und $\overline{AD}=7$ kennst.

$$\tan (\measuredangle \mathrm{ADE})={\displaystyle \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}=\frac{\overline{AE}}{\overline{AD}}}$$

Stelle nach der gesuchten Seite $\overline{AE}$ um, indem du beide Seiten der Gleichung mit $\overline{AD}$ multiplizierst

$$\overline{AE}={\displaystyle \overline{AD}\cdot \tan (\measuredangle \mathrm{ADE})}$$

Setze die Werte ein.

$$\overline{AE}={\displaystyle 7m\cdot \tan {55}^{\circ }}$$

$\overline{AE}=7m\cdot \mathrm{1,4281}$

$\overline{AE}\approx \mathrm{10,00}m$

Nun kannst du $\overline{BE}$ berechnen:

$\overline{BE}=\overline{AE}-\overline{AD}=\mathrm{10,00}-\mathrm{8,34}=\mathrm{1,66}m$

Berechnung von $x$

Jetzt kannst du die Länge von $x$ mit Hilfe des Satzes von Pythagoras ausrechnen. Dabei ist $x$ die Hypotenuse.

$$x^2={\displaystyle {\overline{BE}}^2+{\overline{BC}}^2}$$

Stelle nach $x$ um, indem du die Wurzel ziehst.

$$x={\displaystyle \sqrt{{\overline{BE}}^2+{\overline{BC}}^2}}$$

Setze die Werte ein. Denke dabei daran, dass du $\overline{BC}=\overline{AD}$ verwenden kannst, da es sich um gegenüberliegende Seiten im Rechteck handelt.

$$x={\displaystyle \sqrt{{\mathrm{1,66}}^2+7^2}\approx \mathrm{7,19}m}$$

Die Strecke $x$ ist $\mathrm{7,19}m$ lang.

Hier gibt es, wie sehr oft, nicht nur einen möglichen Lösungsweg. Zum Beispiel kannst du mit einem weiteren Zwischenschritt statt dem Tangens auch den Sinus oder Kosinus verwenden.