Diese nicht maßstabsgetreue Skizze zeigt ein Trapez mit den Längen:
AD=7m,∡DAB=∡DCB=∡CDA=90∘,∡CAD=50∘,∡ADE=55∘
Berechne die rot markierte Strecke x
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Kosinus und Tangens
Tipp: Vorgehen rückwärts in Bildern:
Für diese Aufgabe musst du den Sinus und Kosinus im rechtwinkligen Dreieck sowie den Satz des Pythagoras verwenden können.
Strategie
Wenn du dir zuerst eine Strategie für die Lösung überlegen willst, gehst du am besten rückwärts vor:
Für die Berechnung der Strecke x brauchst du z. B. alle anderen Streckenlängen in diesem Dreieck. Die Länge der Strecke BC kennst du. Sie ist genauso lang wie die Strecke AD, da sie gegenüberliegende Seiten in einem Rechteck sind. Das heißt, du musst noch BE bestimmen.
BE kannst du berechnen, indem du die Strecke AB von der langen Seite AE abziehst. AE kannst du mit Hilfe des Tangens im Dreieck ΔADE berechnen. Für die Berechnung von AB kannst du zum Beispiel den Tangens im Dreieck ΔACD verwenden, da du weißt, dass DC und AB als gegenüberliegende Seiten im Rechteck gleich lang sind.
Lösung
Nun kennst du das Vorgehen "von hinten" und kannst es in genau umgekehrter Reihenfolge verwenden, um auf die Länge der Strecke x zu kommen:
Berechnung von DC
Verwende den Tangens im Dreieck ΔACD mit dem dir bekannten Winkel ∡CAD für die Berechnung von DC:
tan(∡CAD)=AnkatheteGegenkathete=ADDC
Stelle nach der gesuchten Seite DC um, indem du mit AD multiplizierst.
DC=AD⋅tan(∡CAD)
Setze die Werte AD=7m und ∡CAD=50∘ ein.
DC=AB=7⋅tan(50∘)≈8,34
Berechnung von AE
Verwende den Tangens im Dreieck ΔADE für die Berechnung von AE, da du ∡ADE=55∘ und AD=7 kennst.
tan(∡ADE)=AnkatheteGegenkathete=ADAE
Stelle nach der gesuchten Seite AE um, indem du beide Seiten der Gleichung mit AD multiplizierst
AE=AD⋅tan(∡ADE)
Setze die Werte ein.
AE = 7m⋅tan55∘
AE = 7 m⋅1,4281
AE ≈ 10,00 m
Nun kannst du BE berechnen:
BE=AE−AD=10,00−8,34=1,66m
Berechnung von x
Jetzt kannst du die Länge von x mit Hilfe des Satzes von Pythagoras ausrechnen. Dabei ist x die Hypotenuse.
x2=BE2+BC2
Stelle nach x um, indem du die Wurzel ziehst.
x=BE2+BC2
Setze die Werte ein. Denke dabei daran, dass du BC=AD verwenden kannst, da es sich um gegenüberliegende Seiten im Rechteck handelt.
x=1,662+72≈7,19m
Die Strecke x ist 7,19m lang.
Hier gibt es, wie sehr oft, nicht nur einen möglichen Lösungsweg. Zum Beispiel kannst du mit einem weiteren Zwischenschritt statt dem Tangens auch den Sinus oder Kosinus verwenden.