Aufgaben zur Trigonometrie - lernen mit Serlo!

Berechne die fehlenden Seiten und Winkel des gleichschenkligen Dreiecks ABC mit $a = b$ . Beachte, dass wir allgemeine gleichschenklige Dreiecke betrachten, die nicht unbedingt rechtwinklig sind..

a=44,2cm
c=63,4cm

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Cosinus und Tangens
geg: a=b= 44,2cm c=63,4cm
ges: h, $α, β, γ$
Zur Verdeutlichung eine Skizze zeichnen.
Zunächst $x$ berechnen.
$x$ $=$ $\frac{c}{2}$
$x$ $=$ $\frac{63,4 c m}{2}$
$=$ $31,7 c m$
$h$ berechnen, indem man in dem rechtwinkligen Dreieck $△ D B C$ den Satz des Pythagoras anwendet.
$h$ $=$ $\sqrt{a^{2} - x^{2}}$
↓
Bekannte Werte einsetzen.
$=$ $\sqrt{{(44,2 c m)}^{2} - {(31,7 c m)}^{2}}$
↓
Zunächst quadrieren.
$=$ $\sqrt{1953,64 c m^{2} - 1004,89 c m^{2}}$
↓
Nun subtrahieren.
$=$ $\sqrt{948,75 c m^{2}}$
↓
Wurzel ziehen.
$=$ $30,8 c m$
$α$ mit Hilfe von Sinus berechnen.
$\sin (α)$ $=$ $\frac{h}{b}$
↓
Werte einsetzen.
$=$ $\frac{30,8 c m}{44,2 c m}$
↓
Mit Hilfe des Taschenrechners $α$ berechnen.
$α$ $=$ $44,2 ° = β$
↓
Es handelt sich hier um ein gleichschenkliges Dreieck mit $α = β$
Da die Basiswinkel in einem gleichschenkligen Dreieck gleich sind, und alle Innenwinkel insgesamt $180^{\circ}$ ergeben, $γ$ ausrechnen.
$γ$ $=$ $180 ° - 2 \cdot 44,2 °$
↓
Multiplizieren und subtrahieren.
$=$ $91,6 °$
$\Rightarrow$ $h = 30,8 c m; α = β = {44,2}^{\circ}; γ = {91,6}^{\circ}$
Achtung: Das Dreieck $A B C$ ist kein rechtwinkliges Dreieck, da kein Winkel $90 °$ groß ist.
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a=114,5m
$α$ =32,3°

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Cosinus und Tangens
Gegeben sind $a = b = 114,5 m$ und $α = β = {32,3}^{\circ}$
Gesucht sind $c$ , $h$ und $γ$
Zur Verdeutlichung machst du am besten eine Skizze.
Da die Basiswinkel in einem gleichschenkligen Dreieck gleich sind, und alle Innenwinkel insgesamt $180^{\circ}$ ergeben, kannst du $γ$ mit der Winkelsumme ausrechnen.
$γ$ $=$ $180 ° - 2 \cdot 32,3 °$
$=$ $115,4 °$
$h$ kannst du mit Hilfe des Sinus in dem rechtwinkligen Dreieck $△ D B C$ berechnen.
$\sin (β)$ $=$ $\frac{h}{b}$
↓
Nach $h$ umstellen und Werte einsetzen.
$h$ $=$ $114,5 m \cdot \sin (32,3 °)$
↓
Multiplizieren.
$=$ $61,2 m$
Weil die Höhe $h$ die Seite $c$ in der Mitte teilt, bekommt man $2$ gleich lange Strecken $x$ .
$c$ kannst du leicht berechnen, indem du die Seite $x$ verdoppelst.
$x$ kannst du berechnen, indem du in dem rechtwinkligen Dreieck $△ D B C$ den Satz des Pythagoras anwendest.
$x$ $=$ $\sqrt{a^{2} - h^{2}}$
↓
Bekannte Werte einsetzen.
$=$ $\sqrt{{(114,5 m)}^{2} - {(61,2 m)}^{2}}$
↓
Zunächst quadrieren.
$=$ $\sqrt{13110,25 m^{2} - 3745,44 m^{2}}$
↓
Nun subtrahieren.
$=$ $\sqrt{9364,81 m^{2}}$
↓
Wurzel ziehen.
$x$ $=$ $96,8 m$
Alternative: benutze den Kosinus im rechtwinkligen Dreieck $△ D B C$
$\cos (β)$ $=$ $\frac{x}{b}$
↓
Nach $x$ umstellen und Werte einsetzen.
$x$ $=$ $114,5 m \cdot \cos ({32,3}^{\circ})$
↓
Multiplizieren.
$=$ $96,8 m$
$c = 2 \cdot 96,8 m = 193,6 m$
Damit hast du die Lösung $h = 61,2 m; c = 193,6 m; γ = {115,4}^{\circ}$
Anmerkung
Wenn du den Sinussatz kennst, kannst du $c$ auch direkt berechnen:
$\frac{c}{\sin (γ)}$ $=$ $\frac{a}{\sin (α)}$
↓
Mit $\sin (γ)$ multiplizieren
$c$ $=$ $\frac{a \cdot \sin (γ)}{\sin (α)}$
↓
Werte einsetzen
$=$ $\frac{114,5 \cdot 0,53}{0,90}$
$=$ $193,6 m$
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c=35,4cm
$β$ =43,9°

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Cosinus und Tangens
geg: c=35,4cm $β = α$ =43,9°
ges: a, b, h, $γ$ , x
Zur Verdeutlichung eine Skizze zeichnen.
Da die Basiswinkel in einem gleichschenkligen Dreieck gleich sind, und alle Innenwinkel insgesamt 180° ergeben, $γ$ ausrechnen.
$γ$ $=$ $180 ° - 2 \cdot 43,9 °$
$=$ $92,2 °$
x berechnen, indem man die Seite c halbiert.
$x$ $=$ $\frac{35,4 c m}{2}$
$=$ $17,7 c m$
a mit Hilfe des Cosinus berechnen.
$\cos (β)$ $=$ $\frac{x}{a}$
↓
Nach a umstellen und Werte einsetzen.
$a$ $=$ $\frac{17,7 c m}{\cos (43,9 °)}$
↓
Dividieren.
$a$ $=$ $24,6 c m$
h mit Hilfe des Tangens berechnen.
$\tan (β)$ $=$ $\frac{h}{x}$
↓
Nach $h$ umstellen und Werte einsetzen.
$h$ $=$ $17,7 c m \cdot \tan (43,9 °)$
↓
Multplzieren.
$h$ $=$ $17,0 c m$
$\Rightarrow$ $α = {43,9}^{\circ}; γ = {92,2}^{\circ}; a = b = 24,6 c m; h = 17,0 c m$
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h=14,8cm
$α = β =$ 28,3°

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Cosinus und Tangens
Geg.: $h = 14,8 c m$ ; $α = β = {28,3}^{\circ}$
Ges.: $β, γ, c, b, a$
Zeichne zur Verdeutlichung eine Skizze.
Da die Basiswinkel (hier: $α$ und $β$ ) in einem gleichschenkligen Dreieck gleich groß sind, und alle Innenwinkel insgesamt 180° ergeben (d.h. $α + β + γ = 180^{\circ}$ ), kannst $γ$ mit dieser Information direkt ausrechnen.
$γ$ $=$ $180 ° - 2 \cdot 28,3 °$
$=$ $123,4 °$
$x$ mit Hilfe des Tangens berechnen.
$\tan (β)$ $=$ $\frac{h}{x}$
↓
Nach x umstellen und Werte einsetzen.
$x$ $=$ $\frac{14,8 c m}{\tan (28,3 °)}$
↓
Dividieren.
$x$ $=$ $27,5 c m$
↓
$c$ erhälst du, indem du die Seite $x$ verdoppelst (siehe Skizze).
$c$ $=$ $2 \cdot 27,5 c m$
$=$ $55 c m$
$b$ mit Hilfe des Sinus berechnen.
$\sin (α)$ $=$ $\frac{h}{b}$
↓
Nach $b$ umstellen und Werte einsetzen.
$b$ $=$ $\frac{14,8 c m}{\sin (28,3 °)}$
↓
Dividieren.
$=$ $31,2 c m$
Da es sich hier um ein gleichschenkliges Dreieck handelt, ist die Seitenlänge $a$ gerade gleich der Seitenlänge $b$ .
$\Rightarrow$ $γ = {123,4}^{\circ}; c = 55 c m; a = b = 31,2 c m$
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a=146,4m

h=58,4m

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann → Was bedeutet das?

$h$	$=$	$\sqrt{a^{2} - x^{2}}$
	↓	Bekannte Werte einsetzen.
	$=$	$\sqrt{{(44,2 c m)}^{2} - {(31,7 c m)}^{2}}$
	↓	Zunächst quadrieren.
	$=$	$\sqrt{1953,64 c m^{2} - 1004,89 c m^{2}}$
	↓	Nun subtrahieren.
	$=$	$\sqrt{948,75 c m^{2}}$
	↓	Wurzel ziehen.
	$=$	$30,8 c m$

$\sin (α)$	$=$	$\frac{h}{b}$
	↓	Werte einsetzen.
	$=$	$\frac{30,8 c m}{44,2 c m}$
	↓	Mit Hilfe des Taschenrechners $α$ berechnen.
$α$	$=$	$44,2 ° = β$
	↓	Es handelt sich hier um ein gleichschenkliges Dreieck mit $α = β$

$γ$	$=$	$180 ° - 2 \cdot 44,2 °$
	↓	Multiplizieren und subtrahieren.
	$=$	$91,6 °$

$\sin (β)$	$=$	$\frac{h}{b}$
	↓	Nach $h$ umstellen und Werte einsetzen.
$h$	$=$	$114,5 m \cdot \sin (32,3 °)$
	↓	Multiplizieren.
	$=$	$61,2 m$

$x$	$=$	$\sqrt{a^{2} - h^{2}}$
	↓	Bekannte Werte einsetzen.
	$=$	$\sqrt{{(114,5 m)}^{2} - {(61,2 m)}^{2}}$
	↓	Zunächst quadrieren.
	$=$	$\sqrt{13110,25 m^{2} - 3745,44 m^{2}}$
	↓	Nun subtrahieren.
	$=$	$\sqrt{9364,81 m^{2}}$
	↓	Wurzel ziehen.
$x$	$=$	$96,8 m$

$\cos (β)$	$=$	$\frac{x}{b}$
	↓	Nach $x$ umstellen und Werte einsetzen.
$x$	$=$	$114,5 m \cdot \cos ({32,3}^{\circ})$
	↓	Multiplizieren.
	$=$	$96,8 m$

$\frac{c}{\sin (γ)}$	$=$	$\frac{a}{\sin (α)}$
	↓	Mit $\sin (γ)$ multiplizieren
$c$	$=$	$\frac{a \cdot \sin (γ)}{\sin (α)}$
	↓	Werte einsetzen
	$=$	$\frac{114,5 \cdot 0,53}{0,90}$
	$=$	$193,6 m$

$\cos (β)$	$=$	$\frac{x}{a}$
	↓	Nach a umstellen und Werte einsetzen.
$a$	$=$	$\frac{17,7 c m}{\cos (43,9 °)}$
	↓	Dividieren.
$a$	$=$	$24,6 c m$

$\tan (β)$	$=$	$\frac{h}{x}$
	↓	Nach $h$ umstellen und Werte einsetzen.
$h$	$=$	$17,7 c m \cdot \tan (43,9 °)$
	↓	Multplzieren.
$h$	$=$	$17,0 c m$

$\tan (β)$	$=$	$\frac{h}{x}$
	↓	Nach x umstellen und Werte einsetzen.
$x$	$=$	$\frac{14,8 c m}{\tan (28,3 °)}$
	↓	Dividieren.
$x$	$=$	$27,5 c m$
	↓	$c$ erhälst du, indem du die Seite $x$ verdoppelst (siehe Skizze).
$c$	$=$	$2 \cdot 27,5 c m$
	$=$	$55 c m$

$\sin (α)$	$=$	$\frac{h}{b}$
	↓	Nach $b$ umstellen und Werte einsetzen.
$b$	$=$	$\frac{14,8 c m}{\sin (28,3 °)}$
	↓	Dividieren.
	$=$	$31,2 c m$

$\sin (β)$	$=$	$\frac{h}{a}$
	↓	Werte einsetzen und mit Hilfe des Taschenrechners $α$ berechnen.
$β$	$=$	$23,5 °$

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