Aufgabenteil a)

Ziehen mit Zurücklegen

Hier findest du die Erklärung zum Thema Ziehen mit Zurücklegen

Die bei diesem Zufallsexperiment vorkommenden Wahrscheinlichkeiten für einen Zug aus der Urne sind:

• $P(\text{Blaue Kugel})=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$

• $P(\text{Rote Kugel})=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$

Das Ereignis „Es werden gleich viele rote und blaue Kugeln gezogen" ist gleichwertig zu dem Ereignis „Es werden vier blaue und vier rote Kugel gezogen".

Ingesamt berechnest du mit Hilfe einer Bernoullikette für $4$ blaue Kugeln (oder $4$ rote Kugeln):

Aufgabenteil b)

Teil $\alpha )$

Aufgabe: $1-{\left(\frac{3}{5}\right)}^8$

In der Aufgabenstellung kommt ein Ausdruck der Form $1-[\dots ]$ vor. Das erinnert sehr stark an die Rechenregeln für die Gegenwahrscheinlichkeit:

$P(\bar{A})=1-P(A)$.

Wenn man $\alpha )$ mit der Rechenregel vergleicht, dann muss $P(A)={\left(\frac{3}{5}\right)}^8$ sein. Bestimme daher zunächst das Ereignis $A$. Auf das Ereignis $A$ kommst du, wenn du dir überlegst, dass

• $P(\text{Blaue Kugel})=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$

• $P(\text{Rote Kugel})=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$

Deshalb lautet das Ereignis $A$: „In $8$ Zügen wird $8$ mal eine blaue Kugel gezogen.”

Da in der Aufgabenstellung die Gegenwahrscheinlichkeit gesucht ist, lautet also das gesuchte Ereignis:

„In $8$ Zügen wird mindestens eine rote Kugel gezogen.”

Teil $\beta )$

${\left(\frac{3}{5}\right)}^8+8\cdot \left(\frac{2}{5}\right)\cdot {\left(\frac{3}{5}\right)}^7$

Vorgehen: Betrachte die beiden Summanden zuerst getrennt voneinander.

Wie in Teilaufgabe $\alpha )$ kommt der Ausdruck ${\left(\frac{3}{5}\right)}^8$ vom Ereignis „In $8$ Zügen wird $8$ mal eine blaue Kugel gezogen.”

Mithilfe der Pfadregeln kannst du herausfinden, dass $\left(\frac{2}{5}\right)\cdot {\left(\frac{3}{5}\right)}^7$ die Wahrscheinlichkeit dafür ist, dass z.B. im ersten Zug eine rote Kugel gezogen wird und in Zug $2$ bis Zug $8$ (also in insgesamt $7$ Zügen) eine blaue Kugel gezogen wird.

Die rote Kugel kann als erstes, als zweites, … oder als achtes gezogen werden. Folgende Darstellung zeigt die Möglichkeiten, wenn genau eine rote Kugel gezogen.

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Daher gibt der Ausdruck $8\cdot \left(\frac{2}{5}\right)\cdot {\left(\frac{3}{5}\right)}^7$ die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses „In $8$ Zügen wird einmal eine rote und siebenmal eine blaue Kugel gezogen.” an. Das kannst du auch über folgenden Bernoullikette berechnen:

$B(8,\frac{3}{5},7)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{8}{7}\right)\cdot {\left(\frac{3}{5}\right)}^7\cdot {\left(\frac{2}{5}\right)}^1$

Insgesamt ergibt sich für den Term ${\left(\frac{3}{5}\right)}^8+8\cdot \left(\frac{2}{5}\right)\cdot {\left(\frac{3}{5}\right)}^7$

„In $8$ Zügen wird $8$ mal eine blaue Kugel gezogen oder in $8$ Zügen wird einmal eine rote und siebenmal eine blaue Kugel gezogen.”

Wenn du das noch etwas umformulierst, ergibt sich:

„In $8$ Zügen wird mindestens $7$ mal eine blaue Kugel gezogen.”