In einer Urne befinden sich vier rote und sechs blaue Kugeln. Aus dieserwird achtmal eine Kugel zufällig gezogen, die Farbe notiert und die Kugel anschließend wieder zurückgelegt.
a) Geben Sie einen Term an, mit dem die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses „Es werden gleich viele rote und blaue Kugeln gezogen.“ berechnet werden kann. (2 BE)
b) Beschreiben Sie im Sachzusammenhang jeweils ein Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit durch den angegebenen Term berechnet werden kann.
Das Ereignis „Es werden gleich viele rote und blaue Kugeln gezogen" ist gleichwertig zu dem Ereignis „Es werden vier blaue und vier rote Kugel gezogen".
Ingesamt berechnest du mit Hilfe einer Bernoullikette für 4 blaue Kugeln (oder 4 rote Kugeln):
Aufgabenteil b)
Teil α)
Aufgabe: 1−(53)8
In der Aufgabenstellung kommt ein Ausdruck der Form 1−[…] vor. Das erinnert sehr stark an die Rechenregeln für die Gegenwahrscheinlichkeit:
P(Aˉ)=1−P(A).
Wenn man α) mit der Rechenregel vergleicht, dann muss P(A)=(53)8 sein. Bestimme daher zunächst das Ereignis A. Auf das Ereignis A kommst du, wenn du dir überlegst, dass
P(Blaue Kugel)=106=53
P(Rote Kugel)=104=52
Deshalb lautet das Ereignis A: „In 8 Zügen wird 8 mal eine blaue Kugel gezogen.”
Da in der Aufgabenstellung die Gegenwahrscheinlichkeit gesucht ist, lautet also das gesuchte Ereignis:
„In 8 Zügen wird mindestens eine rote Kugel gezogen.”
Teil β)
(53)8+8⋅(52)⋅(53)7
Vorgehen: Betrachte die beiden Summanden zuerst getrennt voneinander.
Wie in Teilaufgabe α) kommt der Ausdruck (53)8 vom Ereignis „In 8 Zügen wird 8 mal eine blaue Kugel gezogen.”
Mithilfe der Pfadregeln kannst du herausfinden, dass (52)⋅(53)7 die Wahrscheinlichkeit dafür ist, dass z.B. im ersten Zug eine rote Kugel gezogen wird und in Zug 2 bis Zug 8 (also in insgesamt 7 Zügen) eine blaue Kugel gezogen wird.
Die rote Kugel kann als erstes, als zweites, … oder als achtes gezogen werden. Folgende Darstellung zeigt die Möglichkeiten, wenn genau eine rote Kugel gezogen.
52⋅53⋅53⋅53⋅53⋅53⋅53⋅53
53⋅52⋅53⋅53⋅53⋅53⋅53⋅53
53⋅53⋅52⋅53⋅53⋅53⋅53⋅53
.
.
.
53⋅53⋅53⋅53⋅53⋅53⋅53⋅52
Daher gibt der Ausdruck 8⋅(52)⋅(53)7 die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses „In 8 Zügen wird einmal eine rote und siebenmal eine blaue Kugel gezogen.” an. Das kannst du auch über folgenden Bernoullikette berechnen:
B(8,53,7)=(78)⋅(53)7⋅(52)1
Insgesamt ergibt sich für den Term (53)8+8⋅(52)⋅(53)7
„In 8 Zügen wird 8 mal eine blaue Kugel gezogen oder in 8 Zügen wird einmal eine rote und siebenmal eine blaue Kugel gezogen.”
Wenn du das noch etwas umformulierst, ergibt sich:
„In 8 Zügen wird mindestens 7 mal eine blaue Kugel gezogen.”
Für ein Zufallsexperiment wird eine Zufallsgröße X festgelegt, welche die drei Werte -2, 1 und 2 annehmen kann. In der Abbildung ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X dargestellt.
Ermitteln Sie mithilfe der Abbildung den Erwartungswert der Zufallsgröße X. (2 BE)
Das Zufallsexperiment wird zweimal durchgeführt. Dabei wird jeweils der Wert der Zufallsgröße X notiert. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Summe dieser beiden Werte negativ ist. (3 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Erwartungswert
Summe der Zufallsgrößen auswerten
Eine Möglichkeit, die Aufgabe zu lösen, besteht darin, jede Möglichkeit für die Summe zu berechnen.
Dies kann man in folgendem Baumdiagramm darstellen. Die Pfade, bei denen die Summe negativ ist, sind farblich markiert.
Die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Zufallsvariablen negativ ist (formal: P(X1+X2<0)), berechnet sich als Summe der einzelnen Pfadwahrscheinlichkeiten.
