Bestimme die Definitionsmenge der Bruchgleichung

Zur Lösung der Bruchgleichung musst du zuerst die Defintionsmenge bestimmen. Dafür musst du die Nenner der einzelnen Brüche herausschreiben und gleich $0$ setzen. Da in jedem vorkommenden Bruch der Nenner $x$ ist, reicht es diesen Nenner $x$ gleich $0$ zu setzen.

$x=0$

Setze den Nenner $x$ gleich $0$.

Du siehst jetzt, dass diese Gleichung bereits nach $x$ aufgelöst ist. Daher ist die Bruchgleichung nur für $x=0$ nicht definiert. Daher hat die Gleichung die Definitionslücke bei $x=0$ und du siehst:

$D =\mathbb{Q} \backslash \{0\}$

Gleichung bruchterm-frei machen

Nun musst du die Gleichung bruchterm-frei machen. Dafür kannst du zunächst die Gleichung vereinfachen:

$\displaystyle \frac7x+\frac8x-1=\frac12-6\left(\frac2x-2\right)$

Multipliziere die Klammern aus.

$\displaystyle\frac7x+\frac8x-1=\frac12-\frac{12}x+12$

Addiere $1$ auf beiden Seiten.

$\displaystyle\frac7x+\frac8x=\frac12-\frac{12}x+12+1$

Vereinfache:

$\frac 12 +12+1=13{,}5$

$\displaystyle\frac7x+\frac8x=-\frac{12}x+13{,}5$

Alle vorkommenden Nenner sind gleich, nämlich $x$. Der einzige Baustein ist $x$, daher ist auch der Hauptnenner $x$. Indem du jetzt die Gleichung mit diesem Hauptnenner multiplizierst, erhältst du eine bruchterm-freie Gleichung:

$\displaystyle\frac7x+\frac8x=-\frac{12}x+13{,}5$

Multipliziere die Gleichung mit dem Hauptnenner $x$.

$7+8=-12+13{,}5x$

Löse die bruchterm-freie Gleichung

Jetzt kannst du die lineare bruchterm-freie Gleichung lösen.

$7+8=-12+13{,}5x$

Addiere auf beiden Seiten der Gleichung $12$.

$7+8+12=13{,}5x$

Vereinfache den Term auf der linken Seite.

$27=13{,}5x$

Dividiere beide Seiten der Gleichung durch $13{,}5$.

$2=x$

Als Lösung der Gleichung erhältst du also $2$.

Angabe der Lösungsmenge

Du musst jetzt noch überprüfen, ob die Lösung der Gleichung auch in der Definitionsmenge liegt. Wegen $D=\mathbb{Q}\backslash \{ 0\}$ liegt $2$ in der Definitionsmenge und daher auch in der Lösungsmenge. Daher erhältst du: $\mathbb L=\{ 2\}$.

Die Lösungsmenge der Bruchgleichung ist also gegeben durch $\mathbb L=\{ 2\}$.