Um zu berechnen, ob es die Funktion Extremwerte hat braucht man die 1. Ableitung dieser Funktion.

$f^{\prime }\left(x\right)=\frac{(x{)}^{\prime }\cdot (lnx)-(x)\cdot (lnx{)}^{\prime }}{(lnx{)}^{\prime }{)}^2}$

$f^{\prime }(x)=\frac{1\cdot (lnx)-x\cdot \frac{1}{x}}{(\frac{1}{x}{)}^2}$

$f^{\prime }(x)=\frac{lnx-\frac{x}{x}}{\frac{1}{x^2}}$

$f^{\prime }(x)=\frac{lnx-1}{\frac{1}{x^2}}$

$f^{\prime }(x)=(lnx-1)\cdot x^2$

$f^{\prime }(x)=x^{2}lnx-x^2$

$f^{\prime }(x)=0$

??

$\Rightarrow$ $x_{E1}=0$ aber außerhalb des Definitionsbereichs

$\Rightarrow$ $x_{E2}=1$

Die 2. Ableitung berechnen:

$f^{\prime \prime }(x)=((lnx-1)\cdot x^2{)}^{\prime }$

$f^{\prime \prime }(x)=\frac{1}{x}\cdot x^2+lnx\cdot 2x$

$f^{\prime \prime }(x)=\frac{x^2}{x}+2xlnx$

$f^{\prime \prime }(x)=x+2xlnx$

$x_E$ in $f^{\prime \prime }(x)$ einsetzten:

$f^{\prime \prime }(x_E)=0+2\cdot 0\cdot ln0=2\cdot 0+1=0+0=0$