Um zu berechnen, ob es die Funktion Extremwerte hat braucht man die 1. Ableitung dieser Funktion.

$f'\left(x\right)=\frac{(x)' \cdot (ln x) -(x) \cdot (ln x)'} {(lnx)')^2}$

$f'(x)=\frac{1 \cdot (ln x)-x \cdot \frac{1}{x}}{(\frac{1} {x})^2}$

$f'(x)=\frac{ln x- \frac {x} {x}} {\frac{1}{x^2}}$

$f'(x)=\frac{ln x-1} {\frac{1}{x^2}}$

$f'(x)=(ln x -1)\cdot x^2$

$f'(x)=x^2lnx-x^2$

$f'(x)=0$

??

$\Rightarrow$ $x_{E1}=0$ aber außerhalb des Definitionsbereichs

$\Rightarrow$ $x_{E2}=1$

Die 2. Ableitung berechnen:

$f''(x)=((ln x-1)\cdot x^2)'$

$f''(x)=\frac{1}{x} \cdot x^2 +ln x\cdot 2x$

$f''(x)=\frac{x^2}{x}+2x ln x$

$f''(x)=x+2xlnx$

$x_E$ in $f''(x)$ einsetzten:

$f''(x_E)=0+2\cdot 0 \cdot ln0=2 \cdot 0+1=0+0=0$