Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 1

$f(x)=e^x\cdot (2x+x^2)=0f(x)=e^x\backslash cdot(2x+x^2)=0$

$e^{x}e^x$ kann nicht $00$ sein

$\Rightarrow \backslash Rightarrow$ $2x+x^2=02x\; +\; x^2=0$ |$-2x-2x$

$x^2=-2xx^2=-2x$ |$:x:x$

$x=-2x=-2$

$2x=02x=0$

$x=0x=0$

$x^2=0x^2=0$

$x=0x=0$

$\Rightarrow \backslash Rightarrow$ $x_1=-2x\_1=-2$

$x_2=0x\_2=0$

Die Nullstellen liegen bei $x=-2x=-2$ und $x=0x=0$.

$\alpha \backslash alpha$) Wenn man einfach die Funktion $f\left(x\right)=\sin \left(x\right)f\backslash left(x\backslash right)=\backslash sin\backslash left(x\backslash right)$. Diese hat die Wertemenge $[-1;1]\backslash left[-1;1\backslash right]$ . Um also die Wertemenge auf $[0;2]\backslash left[0;2\backslash right]$ zu kommen muss man zur Funktion $f\left(x\right)=\sin \left(x\right)f\backslash left(x\backslash right)=\backslash sin\backslash left(x\backslash right)$ $11$ dazuaddieren.

$\Rightarrow \backslash Rightarrow$$c=1c=1$

$aa$ hingegen kann man frei wählen, da $aa$ innerhalb der Sinusfunktion steht und somit nur einen Effekt auf die Periode hat.

$\beta \backslash beta$) Wie schon bei $\alpha \backslash alpha$) gesagt, ist $aa$ für die Periode also auch für die Nullstellen der Funktion verantwortlich. Die Funktion $sin(x)sin(x)$ hat in ganzahliegen $\pi \backslash pi$-Intervallen (z.B.:$[0;\pi ],[2\pi ;3\pi ][0;\backslash pi],\; [2\backslash pi;3\backslash pi]$) immer zwei Nullstellen. Deshalb muss man den Koeffizienten von $xx$, $aa$, um eins erhöhen um eine weitere Nullstelle in diesem Intervall ($[0;\pi ][0;\backslash pi]$) zu erhalten.

Die Ableitung der Funktion $f(x)=sin(ax)+cf(x)=sin(ax)+c$ ist

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\cos (ax)\cdot af\text{'}(x)=\backslash cos(ax)\backslash cdot\; a$.

Nullstellen

Um die Nullstellen zu bestimmen, muss man die Funktion gleich $00$ setzen.

$e^x\cdot (2x+x^2)=0e^x\; \backslash cdot\; (2x+x^2)=0$

Da $e^{x}e^x$ nie $00$ werden kann, muss man nur $2x+x^{2}2x+x^2$ gleich $00$ setzen.

$2x+x^2=02x+x^2=0$

$x\cdot (2+x)x\backslash cdot(2+x)$

$\Rightarrow x=0\backslash Rightarrow\; x=0$

$\Rightarrow 2+x=0\Rightarrow x=-2\backslash Rightarrow\; 2+x=0\; \backslash Rightarrow\; x=-2$

Stammfunktion

$F^{\mathrm{\prime }}(x)=x^2\cdot e^{x}F\text{'}(x)=x^2\backslash cdot\; e^x$

$=2x\cdot e^x+x^2\cdot e^x=2x\; \backslash cdot\; e^x\; +\; x^2\; \backslash cdot\; e^x$

$=e^x\cdot (2x+x^2)=e^x\backslash cdot(2x+x^2)$

$F(1)=e^1\cdot (2\cdot 1+1^2)F(1)\backslash \; =e^1\backslash cdot(2\backslash cdot1+1^2)$

$=2e+1\backslash \; =2e+1\backslash$

$\Rightarrow G(x)=x^2\cdot e^x-1\backslash Rightarrow\; G(x)=x^2\backslash cdot\; e^x-1$

Man muss in die herausgefundene Stammfunktion $F(x)F(x)$ $11$ einsetzten. Dann erkennt man, dass der Unterschied von $F(1)F(1)$ zu $G(1)G(1)$ eine $+1+1$ bei $F(1)F(1)$ ist. Deshalb muss man wieder $11$ subtrahieren um auf den richtigen Wert von $GG$ zu kommen. Dies geht, da alle Stammfunktionen sich nur durch die Verschiebung auf der y-Achse unterscheiden.