Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 1

$f(x)=e^x\cdot(2x+x^2)=0$

$e^x$ kann nicht $0$ sein

$\Rightarrow$ $2x + x^2=0$ |$-2x$

$x^2=-2x$ |$:x$

$x=-2$

$2x=0$

$x=0$

$x^2=0$

$x=0$

$\Rightarrow$ $x_1=-2$

$x_2=0$

Die Nullstellen liegen bei $x=-2$ und $x=0$.

$\alpha$) Wenn man einfach die Funktion $f\left(x\right)=\sin\left(x\right)$. Diese hat die Wertemenge $\left[-1;1\right]$ . Um also die Wertemenge auf $\left[0;2\right]$ zu kommen muss man zur Funktion $f\left(x\right)=\sin\left(x\right)$ $1$ dazuaddieren.

$\Rightarrow$$c=1$

$a$ hingegen kann man frei wählen, da $a$ innerhalb der Sinusfunktion steht und somit nur einen Effekt auf die Periode hat.

$\beta$) Wie schon bei $\alpha$) gesagt, ist $a$ für die Periode also auch für die Nullstellen der Funktion verantwortlich. Die Funktion $sin(x)$ hat in ganzahliegen $\pi$-Intervallen (z.B.:$[0;\pi], [2\pi;3\pi]$) immer zwei Nullstellen. Deshalb muss man den Koeffizienten von $x$, $a$, um eins erhöhen um eine weitere Nullstelle in diesem Intervall ($[0;\pi]$) zu erhalten.

Die Ableitung der Funktion $f(x)=sin(ax)+c$ ist

$f'(x)=\cos(ax)\cdot a$.

Nullstellen

Um die Nullstellen zu bestimmen, muss man die Funktion gleich $0$ setzen.

$e^x \cdot (2x+x^2)=0$

Da $e^x$ nie $0$ werden kann, muss man nur $2x+x^2$ gleich $0$ setzen.

$2x+x^2=0$

$x\cdot(2+x)$

$\Rightarrow x=0$

$\Rightarrow 2+x=0 \Rightarrow x=-2$

Stammfunktion

$F'(x)=x^2\cdot e^x$

$=2x \cdot e^x + x^2 \cdot e^x$

$=e^x\cdot(2x+x^2)$

$F(1)\ =e^1\cdot(2\cdot1+1^2)$

$\ =2e+1\$

$\Rightarrow G(x)=x^2\cdot e^x-1$

Man muss in die herausgefundene Stammfunktion $F(x)$ $1$ einsetzten. Dann erkennt man, dass der Unterschied von $F(1)$ zu $G(1)$ eine $+1$ bei $F(1)$ ist. Deshalb muss man wieder $1$ subtrahieren um auf den richtigen Wert von $G$ zu kommen. Dies geht, da alle Stammfunktionen sich nur durch die Verschiebung auf der y-Achse unterscheiden.