Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 1

Gegeben sind die in $ℝ$ definierten Funktionen $g_{a, c} : x \mapsto \sin (a x) + c$ mit $a, c \in ℝ_{0}^{+}$ .

Geben Sie für jede der beiden folgenden Eigenschaften einen möglichen Wert für $a$ und einen möglichen Wert für $c$ so an, dass die zugehörige Funktion $g_{a, c}$ diese Eigenschaft besitzt.
$α)$ Die Funktion $g_{a, c}$ hat die Wertemenge $[0; 2]$ .
$β)$ Die Funktion $g_{a, c}$ hat im Intervall $[0; π]$ genau drei Nullstellen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktion
$α$ ) Wenn man einfach die Funktion $f (x) = \sin (x)$ . Diese hat die Wertemenge $[- 1; 1]$ . Um also die Wertemenge auf $[0; 2]$ zu kommen muss man zur Funktion $f (x) = \sin (x)$ $1$ dazuaddieren.
$\Rightarrow$ $c = 1$
$a$ hingegen kann man frei wählen, da $a$ innerhalb der Sinusfunktion steht und somit nur einen Effekt auf die Periode hat.
$β$ ) Wie schon bei $α$ ) gesagt, ist $a$ für die Periode also auch für die Nullstellen der Funktion verantwortlich. Die Funktion $s i n (x)$ hat in ganzahliegen $π$ -Intervallen (z.B.: $[0; π], [2 π; 3 π]$ ) immer zwei Nullstellen. Deshalb muss man den Koeffizienten von $x$ , $a$ , um eins erhöhen um eine weitere Nullstelle in diesem Intervall ( $[0; π]$ ) zu erhalten.
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Ermitteln Sie in Abhängigkeit von $a$ , welche Werte die Ableitung von $g_{a, c}$ annehmen kann.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktion
Die Ableitung der Funktion $f (x) = s i n (a x) + c$ ist
$f^{'} (x) = \cos (a x) \cdot a$ .
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Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das?

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