Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 1

Gegeben sind die in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $g_{a,c}:x\;\mapsto\sin\left(ax\right)+c$ mit $a,c\in\mathbb{R}_0^+$ .

Geben Sie für jede der beiden folgenden Eigenschaften einen möglichen Wert für $a$ und einen möglichen Wert für $c$ so an, dass die zugehörige Funktion $g_{a,c}$ diese Eigenschaft besitzt.
$\alpha)$ Die Funktion $g_{a,c}$ hat die Wertemenge $[0;2]$ .
$\beta)$ Die Funktion $g_{a,c}$ hat im Intervall $\left[0;\mathrm{\pi}\right]$ genau drei Nullstellen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktion
$\alpha$ ) Wenn man einfach die Funktion $f\left(x\right)=\sin\left(x\right)$ . Diese hat die Wertemenge $\left[-1;1\right]$ . Um also die Wertemenge auf $\left[0;2\right]$ zu kommen muss man zur Funktion $f\left(x\right)=\sin\left(x\right)$ $1$ dazuaddieren.
$\Rightarrow$ $c=1$
$a$ hingegen kann man frei wählen, da $a$ innerhalb der Sinusfunktion steht und somit nur einen Effekt auf die Periode hat.
$\beta$ ) Wie schon bei $\alpha$ ) gesagt, ist $a$ für die Periode also auch für die Nullstellen der Funktion verantwortlich. Die Funktion $sin(x)$ hat in ganzahliegen $\pi$ -Intervallen (z.B.: $[0;\pi], [2\pi;3\pi]$ ) immer zwei Nullstellen. Deshalb muss man den Koeffizienten von $x$ , $a$ , um eins erhöhen um eine weitere Nullstelle in diesem Intervall ( $[0;\pi]$ ) zu erhalten.
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Ermitteln Sie in Abhängigkeit von $a$ , welche Werte die Ableitung von $g_{a,c}$ annehmen kann.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktion
Die Ableitung der Funktion $f(x)=sin(ax)+c$ ist
$f'(x)=\cos(ax)\cdot a$ .
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