Nullstellen

Um die Nullstellen zu bestimmen, muss man die Funktion gleich $00$ setzen.

$e^x\cdot (2x+x^2)=0e^x\; \backslash cdot\; (2x+x^2)=0$

Da $e^{x}e^x$ nie $00$ werden kann, muss man nur $2x+x^{2}2x+x^2$ gleich $00$ setzen.

$2x+x^2=02x+x^2=0$

$x\cdot (2+x)x\backslash cdot(2+x)$

$\Rightarrow x=0\backslash Rightarrow\; x=0$

$\Rightarrow 2+x=0\Rightarrow x=-2\backslash Rightarrow\; 2+x=0\; \backslash Rightarrow\; x=-2$

Stammfunktion

$F^{\mathrm{\prime }}(x)=x^2\cdot e^{x}F\text{'}(x)=x^2\backslash cdot\; e^x$

$=2x\cdot e^x+x^2\cdot e^x=2x\; \backslash cdot\; e^x\; +\; x^2\; \backslash cdot\; e^x$

$=e^x\cdot (2x+x^2)=e^x\backslash cdot(2x+x^2)$

$F(1)=e^1\cdot (2\cdot 1+1^2)F(1)\backslash \; =e^1\backslash cdot(2\backslash cdot1+1^2)$

$=2e+1\backslash \; =2e+1\backslash$

$\Rightarrow G(x)=x^2\cdot e^x-1\backslash Rightarrow\; G(x)=x^2\backslash cdot\; e^x-1$

Man muss in die herausgefundene Stammfunktion $F(x)F(x)$ $11$ einsetzten. Dann erkennt man, dass der Unterschied von $F(1)F(1)$ zu $G(1)G(1)$ eine $+1+1$ bei $F(1)F(1)$ ist. Deshalb muss man wieder $11$ subtrahieren um auf den richtigen Wert von $GG$ zu kommen. Dies geht, da alle Stammfunktionen sich nur durch die Verschiebung auf der y-Achse unterscheiden.