Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 1

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f\left(x\right)=e^x\cdot(2x+x^2)$ .

Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion $f$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionen
$f(x)=e^x\cdot(2x+x^2)=0$
$e^{x}$ kann nicht $0$ sein
$\Rightarrow$ $2 x + x^{2} = 0$ | $- 2 x$
$x^{2} = - 2 x$ | $: x$
$x = - 2$
$2 x = 0$
$x = 0$
$x^{2} = 0$
$x = 0$
$\Rightarrow$ $x_{1} = - 2$
$x_{2} = 0$
Die Nullstellen liegen bei $x = - 2$ und $x = 0$ .
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Zeigen Sie, dass die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $F$ mit $F(x)=x^2\cdot e^x$ eine Stammfunktion von $f$ ist. Geben Sie eine Gleichung einer weiteren Stammfunktion $G$ von $f$ an, für die $G\left(1\right)=2\cdot e$ gilt.

	$\displaystyle \int_{ }^{ }f(x)dx$
$=$	$\displaystyle \int_{ }^{ }e^x\cdot(2x+x^2)dx$
$=$	$\displaystyle \int_{ }^{ }(2x+x^2)\cdot e^xdx$
$=$	$\displaystyle ((2x+x^2)\cdot e^x)-\int_{ }^{ }(2x+x^2)'\cdot e^xdx$
$=$	$\displaystyle ((2x+x^2)\cdot e^x)-((2+2x)\cdot e^x)$
$=$	$\displaystyle e^x\cdot((2x+x^2)-(2+2x))$
$=$	$\displaystyle e^x\cdot(2x+x^2-2-2x)$
$=$	$\displaystyle e^x\cdot(x^2+2x-2x-2)$
$=$	$\displaystyle e^x\cdot(x^2-2)$

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