Der JIM-Studie zufolge besitzen deutliche weniger als 90% der Jugendlichen einen Computer. Daher wird an den Stadtrat einer Kleinstadt der Wunsch herangetragen, im örtlichen Jugendzentrum einen Arbeitsraum mit Computern einzurichten. Der Stadtrat möchte die dafür erforderlichen finanziellen Mittel nur dann bewilligen, wenn weniger als 90% der Jugendlichen der Kleinstadt einen Computer besitzen.
a) Die Entscheidung über die Bewilligung der finanziellen Mittel soll mithilfe einer Befragung von 100 zufällig ausgewählten 12- bis 19-jährigen Jugendlichen der Kleinstadt getroffen werden. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die finanziellen Mittel irrtümlich bewilligt werden, soll höchstens 5% betragen. Bestimmen Sie die zugehörige Entscheidungsregel, bei der zugleich die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die finanziellen Mittel irrtümlich nicht bewilligt werden, möglichst klein ist.(4BE)
b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter den 100 befragten Jugendlichen genau 85 einen Computer besitzen, wenn der Anteil derjenigen Jugendlichen, die einen Computer besitzen, unter den Jugendlichen der Kleinstadt ebenso groß wie unter den in der Tabelle erfassten Jugendlichen.(3BE)
Zuerst überträgt man die Informationen aus der Angabe aus dem gegebenen Sachzusammenhang in ein Bernoulli-Experiment:
Zugrunde liegendes Bernoulli-Experiment:
Test, ob Jugendlicher einen Computer hat
"Treffer":
Jugendlicher hat einen Computer
Hypothesen im Sachzusammenhang:
Nullhypothese: "Mindestens 90% der Jugendlichen besitzen einen Computer."
Gegenhypothese: "Weniger als 90% der Jugendlichen besitzen einen Computer."
Hypothesen im Bezug auf die Wahrscheinlichkeit (p):
Nullhypothese: "Die Trefferwahrscheinlichkeit p ist höher als in der Studie."
Gegenhypothese: "Die Trefferwahrscheinlichkeit p entspricht den Angaben in der Studie."
Fehler 1. Art:
Mindestens 90% der Jugendlichen besitzen einen Computer, es wird aber fälschlicherweise davon ausgegangen, es seien weniger.
Danach überträgt man die gegebenen Werte:
Nullhypothese
H0:p≥90%
Gegenhypothese
H1:p<90%
Stichprobenlänge:
100
Testgröße:
Anzahl der Jugendlichen mit Computer
Bestimmung des Annahme- und Ablehnungsbereichs
Wir gehen für die Bestimmung des Annahme- und Ablehnungsbereichs davon aus, dass die Wahrscheinlichkeit p den Wert 0,9 hat, um die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 1. Art möglichst gering zu halten. Würde man einen höheren Wert für p wählen, würde das den Annahmebereich verkleinern (und den Ablehnungsbereich vergrößern) und somit die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art erhöhen.
Der kritische Wert k ist der Wert, ab dem bzw. bis zu dem die Zufallsgröße im Ablehnungsbereich liegt.
Da die Nullhypothese von einer höheren Trefferwahrscheinlichkeit ausgeht als die Gegenhypothese, muss der Annahmebereich von k+1 bis 100 gehen und der Ablehnungsbereich von 0 bis k.
Der Annahme- bzw. Ablehnungsbereich bestimmt die Größe der Wahrscheinlichkeit des Fehlers 1. bzw. 2. Art.
Das Signifikanzniveau, das heißt die Obergrenze für die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 1. Art, beträgt 5%. Dabei soll aber auch der Fehler 2. Art möglichst gering sein, das heißt man muss die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 1. Art so groß wie möglich, aber trotzdem unter dem Signifikanzniveau ansetzen.
Um den Annahme- bzw. Ablehnungsbereich zu bestimmen, muss die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsgröße kleiner ist als k+1, höchstens so groß wie das Signifikanzniveau sein.
P(X<(k+1))
≤
0,05
↓
Wahrscheinlichkeit zu einer "höchstens so groß wie" Aussage umformulieren
P(X≤k)
≤
0,05
0∑k(x100)⋅0,9x⋅0,1100−x
≤
0,05
Jetzt kann man entweder das Tafelwerk oder den Taschenrechner verwenden, um den Wert für k herauszufinden. Dabei muss man darauf achten, dass es sich hier um eine kumulative Verteilung handelt.
Annahmebereich:
A={85,86,87,...,98,99,100}
Ablehnungsbereich:
A={0,1,2,3,...,82,83,84}
b)
Von den 200 befragten Jugendlichen aus der JIM-Studie gaben 77+87=164 an, einen Computer zu besitzen. Die Wahrscheinlichkeit eines befragten Jugendlichen, einen Computer zu besitzen, beträgt also 200164=0,82=82%.
Da es sich um eine Binomialverteilung handelt, kann man die gesuchte Wahrscheinlichkeit wie folgt berechnen:
Die Wahrscheinlichkeit, dass von 100 befragten Jugendlichen genau 85 einen Computer haben, beträgt ca. 8,07%.
