Stochastik, Teil B, Aufgabengruppe 1

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

1
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Im Rahmen der sogenannten JIM-Studie wurde Deutschland im Jahr 2012 der Umgang von Jugendlichen im Alter von $12$ bis $19$ Jahren mit Information und Medien untersucht. In der folgenden Tabelle werden ausgewählte Ergebnisse dieser Studie anhand einer repräsentativen Auswahl von $200$ Jugendlichen wiedergegeben, von denen $102$ Jungen sind. Dabei werden für vier Geräteklassen jeweils die Anzahl der Mädchen und die Anzahl der Jungen unter den $200$ ausgewählten Jugendlichen angegeben, die ein entsprechendes Gerät besitzen.
Mädchen
Jungen
Smartphone
42
52
Computer
77
87
Fernsehgerät
54
65
feste Spielkonsole
37
62
a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine aus den $200$ Jugendlichen zufällig ausgewählte Person weiblich ist und kein Fernsehgerät besitzt.(2BE)
b) Aus den $200$ Jugendlichen wird eine Person zufällig ausgewählt, die ein Fernsehgerät besitzt. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass diese Person weiblich ist.(2BE)
c) Begründen Sie, dass die Ereignisse "Eine aus den $200$ Jugendlichen zufällig ausgewählte Person besitzt ein Fernsehgerät." und "Eine aus den $200$ Jugendlichen zufällig ausgewählte Person ist ein Mädchen." abhängig sind.(2BE)
d) Der Studie zufolge besitzen $55\%$ der Mädchen im Alter von $12$ bis $19$ ein Fernsehgerät. Geben Sie den Wert der Summe $\sum_{i=0}^{12}B(25;0{,}55;i)\;$ in Prozent an. Begründen Sie, dass dieser Wert im Allgemeinen nicht die Wahrscheinlichkeit dafür angibt, dass von den $25$ Schülerinnen einer Klasse der Jahrgangsstufe 9 weniger als die Hälfte ein Fernsehgerät besitzt.(3BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wahrscheinlichkeit
a)
Um die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Ereignisses zu berechnen, teilt man die Anzahl der Personen, auf die die genannten Kriterien zutreffen, durch die Gesamtanzahl der befragten Personen:
Laut der Aufgabenstellung wurden insgesamt $200$ Personen befragt, von denen $102$ Jungen sind. Daraus kann man ableiten, dass $98$ Mädchen befragt wurden. Von diesen $98$ Mädchen haben $54$ ein Fernsehgerät, also haben $44$ von ihnen kein Fernsehgerät.
Jetzt kann man diese Werte einsetzen:
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine befragte Person ein Mädchen ist, das kein Fernsehgerät besitzt, beträgt also $22 \% \,$ .
b)
Um die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Ereignisses zu berechnen, teilt man die Anzahl der Personen, auf die die genannten Kriterien zutreffen, durch die Gesamtanzahl der befragten Personen:
Insgesamt besitzen $119$ der befragten Personen ein Fernsehgerät, $54$ davon sind weiblich:
Wählt man eine Person aus, die ein Fernsehgerät besitzt, so ist sie mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $45{,}38 \%$ ein Mädchen.
c)
Sind die Ereignisse "Eine zufällig ausgewählte Person besitzt ein Fernsehgerät." ( $F$ ) und "Eine zufällig ausgewählte Person ist ein Mädchen." ( $M$ ) unabhängig, so ergibt das Produkt der Wahrscheinlichkeiten der beiden Ergebnisse die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses, das eine zufällig ausgewählte Person sowohl ein Fernsehgerät besitzt, als auch ein Mädchen ist ( $M \cap F$ ).
Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $M$ beträgt: $\frac {98}{200} = 0{,}49$
Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $F$ beträgt: $\frac {119}{200} = 0{,}595$
Das Produkt der beiden Wahrscheinlichkeiten ergibt: $0{,}49 \ \cdot \ 0{,}595 = 0{,}29155$
Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $M \cap F$ beträgt: $\frac {54}{200} = 0{,}27$
$\Rightarrow 0{,}29155 \neq 0{,}27$
$\Rightarrow P(M) \ \cdot \ P(F) \neq P(M \cap F)$
$\Rightarrow$ Die Ergebnisse $M$ und $F$ sind abhängig voneinander.
d)
$\sum_{i=0}^{12}B(25;0{,}55;i) \approx 0{,}3063 = 30{,}63 \%$
Laut der Aufgabe stellen die $55 \%$ den durchschnittlichen Anteil an Schülerinnen zwischen 12 und 19 Jahre dar, die ein Fernsehgerät besitzen. Man kann davon ausgehen, dass der Anteil zunimmt, je älter die Schülerinnen sind.
In der 9. Klasse sind die Schülerinnen zwischen 14 und 15 Jahre alt, dass heißt, der Anteil müsste niedriger sein als der Durchschnitt. In der Summe müsste also ein kleinerer Wert als $0{,}55$ verwendet werden.

	Mädchen	Jungen
Smartphone	42	52
Computer	77	87
Fernsehgerät	54	65
feste Spielkonsole	37	62

Der JIM-Studie zufolge besitzen deutliche weniger als $90\%$ der Jugendlichen einen Computer. Daher wird an den Stadtrat einer Kleinstadt der Wunsch herangetragen, im örtlichen Jugendzentrum einen Arbeitsraum mit Computern einzurichten. Der Stadtrat möchte die dafür erforderlichen finanziellen Mittel nur dann bewilligen, wenn weniger als $90\%$ der Jugendlichen der Kleinstadt einen Computer besitzen.

a) Die Entscheidung über die Bewilligung der finanziellen Mittel soll mithilfe einer Befragung von 100 zufällig ausgewählten $12$ - bis $19$ -jährigen Jugendlichen der Kleinstadt getroffen werden. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die finanziellen Mittel irrtümlich bewilligt werden, soll höchstens $5\%$ betragen. Bestimmen Sie die zugehörige Entscheidungsregel, bei der zugleich die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die finanziellen Mittel irrtümlich nicht bewilligt werden, möglichst klein ist.(4BE)

b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter den $100$ befragten Jugendlichen genau $85$ einen Computer besitzen, wenn der Anteil derjenigen Jugendlichen, die einen Computer besitzen, unter den Jugendlichen der Kleinstadt ebenso groß wie unter den in der Tabelle erfassten Jugendlichen.(3BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Entscheidungsregel eines Hypothesentests

a)

Angaben aus der Aufgabenstellung auslesen

Zuerst überträgt man die Informationen aus der Angabe aus dem gegebenen Sachzusammenhang in ein Bernoulli-Experiment:

Zugrunde liegendes Bernoulli-Experiment:	Test, ob Jugendlicher einen Computer hat
"Treffer":	Jugendlicher hat einen Computer
Hypothesen im Sachzusammenhang:	Nullhypothese: "Mindestens 90% der Jugendlichen besitzen einen Computer." Gegenhypothese: "Weniger als 90% der Jugendlichen besitzen einen Computer."
Hypothesen im Bezug auf die Wahrscheinlichkeit (p):	Nullhypothese: "Die Trefferwahrscheinlichkeit p ist höher als in der Studie." Gegenhypothese: "Die Trefferwahrscheinlichkeit p entspricht den Angaben in der Studie."
Fehler 1. Art:	Mindestens 90% der Jugendlichen besitzen einen Computer, es wird aber fälschlicherweise davon ausgegangen, es seien weniger.

Danach überträgt man die gegebenen Werte:

Nullhypothese	$H_0: \ \ p \, \geq \, 90 \%$
Gegenhypothese	$H_1: \ \ p \, < \, 90 \%$
Stichprobenlänge:	100
Testgröße:	Anzahl der Jugendlichen mit Computer

Bestimmung des Annahme- und Ablehnungsbereichs

Wir gehen für die Bestimmung des Annahme- und Ablehnungsbereichs davon aus, dass die Wahrscheinlichkeit $p$ den Wert $0{,}9$ hat, um die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 1. Art möglichst gering zu halten. Würde man einen höheren Wert für $p$ wählen, würde das den Annahmebereich verkleinern (und den Ablehnungsbereich vergrößern) und somit die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art erhöhen.

Der kritische Wert $k$ ist der Wert, ab dem bzw. bis zu dem die Zufallsgröße im Ablehnungsbereich liegt.

Da die Nullhypothese von einer höheren Trefferwahrscheinlichkeit ausgeht als die Gegenhypothese, muss der Annahmebereich von $k + 1$ bis $100$ gehen und der Ablehnungsbereich von $0$ bis $k$ .

Der Annahme- bzw. Ablehnungsbereich bestimmt die Größe der Wahrscheinlichkeit des Fehlers 1. bzw. 2. Art.

Das Signifikanzniveau, das heißt die Obergrenze für die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 1. Art, beträgt $5 \%$ . Dabei soll aber auch der Fehler 2. Art möglichst gering sein, das heißt man muss die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 1. Art so groß wie möglich, aber trotzdem unter dem Signifikanzniveau ansetzen.

Um den Annahme- bzw. Ablehnungsbereich zu bestimmen, muss die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsgröße kleiner ist als $k + 1$ , höchstens so groß wie das Signifikanzniveau sein.

$\displaystyle P(X<(k+1))$	$≤$	$\displaystyle 0{,}05$
	↓	Wahrscheinlichkeit zu einer "höchstens so groß wie" Aussage umformulieren
$\displaystyle P(X \leq k)$	$≤$	$\displaystyle 0{,}05$
$\displaystyle \sum_0^k {100 \choose x} \cdot 0{,}9^x \cdot 0{,}1^{100-x}$	$≤$	$\displaystyle 0{,}05$

Jetzt kann man entweder das Tafelwerk oder den Taschenrechner verwenden, um den Wert für $k$ herauszufinden. Dabei muss man darauf achten, dass es sich hier um eine kumulative Verteilung handelt.

Annahmebereich:	$\overline {A} = \{ 85, 86, 87, ...,98, 99, 100 \}$
Ablehnungsbereich:	$A = \{0, 1, 2, 3, ..., 82, 83, 84\}$

b)

Von den $200$ befragten Jugendlichen aus der JIM-Studie gaben $77 + 87 = 164$ an, einen Computer zu besitzen. Die Wahrscheinlichkeit eines befragten Jugendlichen, einen Computer zu besitzen, beträgt also $\frac{164}{200} = 0{,}82 = 82 \%$ .

Da es sich um eine Binomialverteilung handelt, kann man die gesuchte Wahrscheinlichkeit wie folgt berechnen:

\displaystyle {100 \choose 85} \cdot 0{,}82^{85} \cdot 0{,}18^{15} \approx 0{,}0807

Die Wahrscheinlichkeit, dass von $100$ befragten Jugendlichen genau $85$ einen Computer haben, beträgt ca. $8{,}07 \%$ .

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Es ist zu vermuten, dass unter den Jugendlichen, die ein Smartphone besitzen, der Anteil derjenigen, die eine feste Spielkonsole besitzen, größer ist als unter den Jugendlichen, die kein Smartphone besitzen. Bestimmen Sie für die in der Tabelle erfassten $200$ Jugendlichen, wie groß die Anzahl derjenigen Personen, die sowohl ein Smartphone als auch eine feste Spielkonsole besitzen, mindestens sein muss, damit die Vermutung für die in der Tabelle erfassten Jugendlichen zutrifft.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bedingte Wahrscheinlichkeit

Aufstellen der Ungleichung aus der Aufgabenstellung

Man kann die Annahme wie folgt umformulieren: Unter der Annahme, dass ein Jugendlicher ein Smartphone besitzt, ist die Wahrscheinlichkeit höher, dass er auch eine Spielkonsole besitzt als unter der Annahme, dass er kein Smartphone besitzt.

Als Formel: $P_S(K) > P_{\overline S} (K)$

Da hier das Geschlecht der Jugendlichen nicht beachtet wird, lohnt es sich, die Tabelle um die insgesamte Anzahl derer, die ein Gerät besitzen, zu erweitern.

	Mädchen	Jungen	Insgesamt
Smartphone	42	52	94
Computer	77	87	164
Fernsehgerät	54	65	119
feste Spielkonsole	37	62	109

Die bedingten Wahrscheinlichkeiten kann man umformulieren in den Bruch aus der Wahrscheinlichkeit, dass ein Befragter eine Konsole hat und ein bzw. kein Smartphone besitzt ( $S \cap K$ , $\overline S \cap K$ ) geteilt durch die Wahrscheinlichkeit, dass ein Befragter ein bzw. kein Smartphone besitzt ( $S, \overline S$ ). Jetzt kann man die Werte im Nenner aus der Tabelle ablesen. Diese muss man noch in Wahrscheinlichkeiten umrechnen, indem man sie durch die Gesamtanzahl Befragter, also $200$ , dividiert.

$\displaystyle \frac {P(S \cap K)}{P(S)}$	$>$	$\displaystyle \frac {P({\overline S} \cap K)}{P(\overline S)}$
	↓	Anzahl $(S)$ und Anzahl $(\overline S)$ aus der Tabelle auslesen und durch $200$ dividieren
$\displaystyle \frac {P(S \cap K)}{\frac {94}{200}}$	$>$	$\displaystyle \frac {P(\overline S \cap K)}{\frac {106}{200}}$
$\displaystyle \frac {P(S \cap K)}{0{,}47}$	$>$	$\displaystyle \frac {P(\overline S \cap K)}{0{,}53}$	$\displaystyle \cdot \, 0{,}53$
$\displaystyle \frac {P(S \cap K) \, \cdot \, 0{,}53}{0{,}47}$	$>$	$\displaystyle P(\overline S \cap K)$

Aufstellen einer Gleichung aus der Tabelle

Wir wissen, dass $P(S \cap K) + P(\overline S \cap K) = P (K) = \frac {109}{200} = 0{,}545$ .

Das kann man umformulieren zu $P(\overline S \cap K) = 0{,}545 - P(S \cap K)$ .

Diese Gleichung kann man nun in die Ungleichung einsetzen:

$\displaystyle \frac{P(S\cap K)\ \cdot\ 0{,}53}{0{,}47}$	$>$	$\displaystyle 0{,}545-P({S}\cap K)$	$\displaystyle \cdot\ 0{,}47$
$\displaystyle 0{,}53 \cdot P(S \cap K)$	$>$	$\displaystyle 0{,}47 \cdot 0{,}545 - 0{,}47 \cdot P(S \cap K)$	$\displaystyle +\ 0{,}47 \cdot P(\overline S \cap K)$
$\displaystyle P(S \cap K)$	$>$	$\displaystyle 0{,}25615$	$\displaystyle \cdot\ 200$
	↓	Multipliziert man die Wahrscheinlichkeit mit $200,$ erhält man die Anzahl anstatt den Prozentwert
$\displaystyle S \cap K$	$>$	$\displaystyle 0{,}25615 \cdot 200$
$\displaystyle S \cap K$	$>$	$\displaystyle 51{,}23$

Es müssen also mindestens $52$ Befragte ein Smartphone und eine Spielekonsole besitzen, damit die Annahme stimmt.