Bedingte Wahrscheinlichkeit

Die (bedingte) Wahrscheinlichkeit von $A$ unter der Bedingung $B$ ist die Wahrscheinlichkeit, dass $A$ eintritt, falls sicher ist, dass $B$ schon eingetreten ist.

Man schreibt $P_{B} (A)$ oder $P(A\mid B)$ für die Wahrscheinlichkeit von $A$ unter der Bedingung $B$ .

$P_B\left(A\right)=\frac{P\left(A\ \cap B\right)}{P\left(B\right)}\$ (umgeformte erste Pfadregel)

$P_B\left(A\right)$ wird gelesen als: "Wahrscheinlichkeit von $A$ unter der Bedingung $B$ "

Beachte

Die bedingte Wahrscheinlichkeit $P_{B} (A)$ ist nur sinnvoll definiert, wenn $P(B)\neq0$ ist.

Beispiele und Abgrenzung von "normaler" Wahrscheinlichkeit

Die bedingte Wahrscheinlichkeit für "Die Straße ist nass, wenn es regnet" $P_{\text{es\ regnet}}\left(\text{Straße\ nass}\right)$ ist nahe 1 (Es gibt nur einige wenige Straßen, die überdacht sind.) Die Wahrscheinlichkeit für "Die Straße ist nass." $P\left(\text{Straße\ nass}\right)$ (normale Wahrscheinlichkeit) ist deutlich unter 1 (je nach geographischer Lage).
Die bedingte Wahrscheinlichkeit für "lange Haare bei Frauen" $P_{\text{Frau}}\left(\text{lange\ Haar}e\right)$ ist deutlich höher als die Wahrscheinlichkeit für "lange Haare" $P\left(\text{lange\ Haare}\right)$
Ein Tetraeder (Zahlen 1-4) und ein Würfel (Zahlen 1-6) werden zufällig aus einer Urne gezogen und geworfen. Die Wahrscheinlichkeit für "1" berechnet man mit $P\left(1\right)=0.5\cdot\frac{1}{4}+0.5\cdot\frac{1}{6}=\frac{1}{8}+\frac{1}{12}=\frac{5}{24}$ Die bedingte Wahrscheinlichkeit "1, wenn ich weiß, dass der Tetraeder gezogen wurde" berechnet man mit $P_{\text{Tetraeder}}\left(1\right)=\frac{1}{4}$ .

Ein ausführliches Beispiel

Ein Spielwürfel hat die Augenzahlen von $1$ bis $6$ , die bei einem Wurf alle die gleiche Wahrscheinlichkeit $\dfrac{1}{6}$ haben.

Wir nehmen jetzt zwei Ereignisse:

Ereignis $A$ : die geworfene Augenzahl ist durch drei teilbar, es ist also eine $3$ oder eine $6$ .

Bei sechs möglichen Fällen und zwei Fällen, in denen das Ereignis eintritt, ist die Wahrscheinlichkeit $P(A)=\frac{2}{6}$ oder nach Kürzen $P(A)=\frac{1}{3}$ .

Ereignis $B$ : die geworfene Augenzahl liegt zwischen $1$ und $4$ .

Da es sechs mögliche und vier Fälle, in denen das Ereignis eintritt, gibt, ist die Wahrscheinlichkeit $P(B)=\frac{4}{6}$ oder nach Kürzen $P(B)=\frac{2}{3}.$

Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeit: 1. Weg

Jetzt berechnen wir die Wahrscheinlichkeit von $A$ unter der Bedingung, dass auch $B$ eintritt. Das schreibt man als $P_{B} (A)$ oder als $P (A ∣ B)$ .

Weil $B$ eintritt, ist die Grundmenge der möglichen Fälle jetzt nur noch $\{1, 2, 3, 4\}$ .

Das Ereignis $A$ tritt ein bei einer $3$ oder einer $6$ , wobei die $6$ aber sicher ausgeschlossen ist.

Die einzige Möglichkeit, dass das Ereignis $A$ eintritt ist also, dass die $3$ geworfen wird.

Wir haben hier vier mögliche Fälle und nur einen, in dem das Ereignis $A$ eintritt. Das bedeutet, dass die bedingte Wahrscheinlichkeit von $A$ unter der Bedingung $B$ gleich $\frac{1}{4}$ ist: $P_B(A)=\frac{1}{4}$ .

Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeit: 2. Weg

Dass die Ereignisse $A$ und $B$ beide eintreten, schreibt man als $A \cap B$ (eben dem Durchschnitt der Ereignismengen). Genau wie gerade sieht man, dass das einzige Ereignis $A\cap B =\{3\}$ ist. Die Wahrscheinlichkeit, eine $3$ zu werfen, ist (wie für jede einzelne Zahl) $\frac{1}{6}$ .

Daraus und aus $P(B)=\frac{2}{3}$ kann man jetzt $P_{B} (A)$ berechnen:

Wenn $P(B)=\frac{2}{3}$ ist, muss diese Zahl mit $P_{B} (A)$ multipliziert werden, damit auch das Ereignis $A$ eintritt. Dann sind aber beide Ereignisse $A$ und $B$ eingetreten, das heißt, man ist im Fall $A\cap B$ .

Man kann die Gleichung

\displaystyle P(A\cap B)=P(B)\cdot P_B(A)

nach $P_{B} (A)$ auflösen und erhält

\displaystyle P_B(A)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}

In diesem Beispiel ist $P_B(A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}=\dfrac{1/6}{2/3}=\dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{3}{2}=\dfrac{3}{12}=\dfrac{1}{4}.$

Zusammenfassung

Wenn man zwei der drei Wahrscheinlichkeiten $P (B)$ , $P(A\cap B)$ und $P_{B} (A)$ kennt, kann man die dritte durch Umstellen der Formel berechnen:

$\displaystyle P_B(A)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$ Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeit von $A$ unter der Bedingung $B$
$P(A\cap B)= P(B)\cdot P_B(A)$ Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass $A$ und $B$ beide eintreten
$\displaystyle P(B)=\frac{P(A\cap B)}{P_B(A)}$ Berechnung der Wahrscheinlichkeit von $B$

Aufgabe

Jetzt kannst du überprüfen, wie gut du das Beispiel verstanden hast: Berechne $P_{A} (B)$ sowohl direkt als auch mit einer passenden Formel.

Häufige Fälle

Folgende Wahrscheinlichkeiten sind immer voneinander zu unterscheiden:

$P_{B} (A)$ bezeichnet die Wahrscheinlichkeit von $A$ unter der Bedingung $B$ . d. h., man weiß bereits sicher, dass $B$ zutrifft bzw. eingetreten ist, aber bezüglich $A$ weiß man es nicht und fragt nach der Wahrscheinlichkeit von $A$ .
$P_{A} (B)$ bezeichnet die Wahrscheinlichkeit von $B$ unter der Bedingung $A$ . d. h., man weiß bereits sicher, dass $A$ zutrifft bzw. eingetreten ist, aber bezüglich $B$ weiß man es nicht und fragt nach der Wahrscheinlichkeit von $B$ .
$P(A\cap B)$ bezeichnet die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses „ $A$ und zugleich $B$ “. d. h., man hat keine zusätzlichen Informationen und fragt nach der Wahrscheinlichkeit, mit der $A$ und $B$ gemeinsam eintreten.

Frage: Sei $A$ ein beliebiges Ereignis. Wie groß ist $P_{A} (A)$ und $P_A(\overline{A})$ ?

Schreib- und Sprechweisen

Man schreibt $P_{B} (A)$ oder $P(A\mid B)$ für die Wahrscheinlichkeit von $A$ unter der Bedingung $B$ .

Alternative Sprechweisen:

„ $A$ unter der Bedingung $B$ “
„ $A$ , wenn $B$ “
„Wahrscheinlichkeit von $A$ , wenn $B$ eingetreten ist“
„ $A$ gegeben $B$ “

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/4712_QQXT6Dbvht.xml

Definition

Die bedingte Wahrscheinlichkeit ist wie folgt definiert:

\displaystyle P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}

Die bedingte Wahrscheinlichkeit am Baumdiagramm

Die bedingte Wahrscheinlichkeit kann ganz einfach am Baumdiagramm dargestellt werden:

In einem zweistufigen Zufallsexperiment können in der ersten Stufe die Ereignisse $A$ und $B$ eintreffen, in der der zweiten Stufe die Ereignisse $C$ und $D$ .

Am dargestellten Baum kann man erkennen, dass die bedingten Wahrscheinlichkeiten in der zweiten Stufe zu finden sind. Sie hängen (bei Abhängigkeit) von der ersten Stufe ab.

Folgende Gleichungen gelten:

$P\left(A\cap C\right)=P\left(A\right)\cdot P_A\left(C\right)$ (erste Pfadregel)

$P\left(C\right)=P\left(A\right)\cdot P_A\left(C\right)+P\left(B\right)\cdot P_B\left(C\right)$ (zweite Pfadregel)

Bedingte Wahrscheinlichkeit und Vierfeldertafel

Selbstverständlich kann man auch eine Vierfeldertafel erstellen, um alle Wahrscheinlichkeiten zu bekommen, die man benötigt, um $P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$ auszurechnen. $\rightarrow$ Beispielaufgabe mit ausführlicher Musterlösung

Bedingte Wahrscheinlichkeit und stochastische Unabhängigkeit

Weiß man, dass zwei Ereignisse stochastisch unabhängig sind, so vereinfacht sich ${P(A\cap B)}$ zu $P(A)\cdot P(B)$ . In diesem Fall ergibt sich für $P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}= \frac{P(A)\cdot P(B)}{P(B)} = P(A)$ . Im Umkehrschluss: Unterscheiden sich $P(A\mid B)$ und $P (A)$ , so folgt, dass $A$ und $B$ stochastisch abhängig sind.

Wichtige Sätze

Aus der Definition und mithilfe der Pfadregeln lassen sich wichtige Sätze für die bedingte Wahrscheinlichkeit ableiten:

Multiplikationssatz

$P(A\cap B)=P(A\mid B)\cdot P(B)$

Gesetz der totalen Wahrscheinlichkeit

$P(B)=P(A)\cdot P(B\mid A)\;+\;P(\overline A)\cdot P(B\mid\overline A)$

mit der Verallgemeinerung: $P(B)=\sum_iP(A_i)\cdot P(B\mid A_i)$

Satz von Bayes

$P(A\mid B)=\dfrac{P(B\mid A)\cdot P(A)}{P(B)}$

Weiterer Satz

$P(A\mid B)+P(\overline A\mid B)=1$

Beispiel:

Angenommen, ein bestimmtes Merkmal $A$ trete bei $2 %$ aller neugeborenen Mädchen und bei $8 %$ aller neugeborenen Jungen auf.

Folgende Ereignisse sollen betrachtet werden:

$A$ : „Das Kind hat das Merkmal $A$ .“

$J$ : „Das Kind ist ein Junge.“

Es soll davon ausgegangen werden, dass es gleich viel Jungen- wie Mädchengeburten gibt. Dann gilt:

$P_J(A)=8\,\%$ , denn laut Angabe tritt Merkmal $A$ ja bei $8 %$ aller neugeborenen Jungen auf.

$P(A\cap J)=4\,\%,$ denn da nur $50 %$ der neugeborenen Kinder Jungen sind und unter den Jungen nur $8 %$ das Merkmal $A$ haben, ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein beliebiges Kind ein Junge ist, der das Merkmal $A$ hat, gleich $4 %$ .

$P_A(J)=80\,\%$ , denn das Merkmal betrifft Jungen viermal so oft wie Mädchen; wenn man also weiß, dass ein bestimmtes Kind das Merkmal $A$ hat, dann ist die Wahrscheinlichkeit $80 %$ , dass das Kind ein Junge ist.

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