Bedingte Wahrscheinlichkeit

Die (bedingte) Wahrscheinlichkeit von $A$ unter der Bedingung $B$ ist die Wahrscheinlichkeit, dass $A$ eintritt, falls sicher ist, dass $B$ schon eingetreten ist.

Man schreibt $P_{B} (A)$ oder $P (A | B)$ für die Wahrscheinlichkeit von $A$ unter der Bedingung $B$ .

$P_{B} (A) = \frac{P (A \cap B)}{P (B)}$ (umgeformte erste Pfadregel)

$P_{B} (A)$ wird gelesen als: "Wahrscheinlichkeit von $A$ unter der Bedingung $B$ "

Beachte

Die bedingte Wahrscheinlichkeit $P_{B} (A)$ ist nur sinnvoll definiert, wenn $P (B) \neq 0$ ist.

Beispiele und Abgrenzung von "normaler" Wahrscheinlichkeit

Die bedingte Wahrscheinlichkeit für "Die Straße ist nass, wenn es regnet" $P_{es regnet} (Straße nass)$ ist nahe 1 (Es gibt nur einige wenige Straßen, die überdacht sind.) Die Wahrscheinlichkeit für "Die Straße ist nass." $P (Straße nass)$ (normale Wahrscheinlichkeit) ist deutlich unter 1 (je nach geographischer Lage).
Die bedingte Wahrscheinlichkeit für "lange Haare bei Frauen" $P_{Frau} (lange Haar e)$ ist deutlich höher als die Wahrscheinlichkeit für "lange Haare" $P (lange Haare)$
Ein Tetraeder (Zahlen 1-4) und ein Würfel (Zahlen 1-6) werden zufällig aus einer Urne gezogen und geworfen. Die Wahrscheinlichkeit für "1" berechnet man mit $P (1) = 0.5 \cdot \frac{1}{4} + 0.5 \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{8} + \frac{1}{12} = \frac{5}{24}$ Die bedingte Wahrscheinlichkeit "1, wenn ich weiß, dass der Tetraeder gezogen wurde" berechnet man mit $P_{Tetraeder} (1) = \frac{1}{4}$ .

Ein ausführliches Beispiel

Ein Spielwürfel hat die Augenzahlen von $1$ bis $6$ , die bei einem Wurf alle die gleiche Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{6}$ haben.

Wir nehmen jetzt zwei Ereignisse:

Ereignis $A$ : die geworfene Augenzahl ist durch drei teilbar, es ist also eine $3$ oder eine $6$ .

Bei sechs möglichen Fällen und zwei Fällen, in denen das Ereignis eintritt, ist die Wahrscheinlichkeit $P (A) = \frac{2}{6}$ oder nach Kürzen $P (A) = \frac{1}{3}$ .

Ereignis $B$ : die geworfene Augenzahl liegt zwischen $1$ und $4$ .

Da es sechs mögliche und vier Fälle, in denen das Ereignis eintritt, gibt, ist die Wahrscheinlichkeit $P (B) = \frac{4}{6}$ oder nach Kürzen $P (B) = \frac{2}{3} .$

Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeit: 1. Weg

Jetzt berechnen wir die Wahrscheinlichkeit von $A$ unter der Bedingung, dass auch $B$ eintritt. Das schreibt man als $P_{B} (A)$ oder als $P (A | B)$ .

Weil $B$ eintritt, ist die Grundmenge der möglichen Fälle jetzt nur noch ${1, 2, 3, 4}$ .

Das Ereignis $A$ tritt ein bei einer $3$ oder einer $6$ , wobei die $6$ aber sicher ausgeschlossen ist.

Die einzige Möglichkeit, dass das Ereignis $A$ eintritt ist also, dass die $3$ geworfen wird.

Wir haben hier vier mögliche Fälle und nur einen, in dem das Ereignis $A$ eintritt. Das bedeutet, dass die bedingte Wahrscheinlichkeit von $A$ unter der Bedingung $B$ gleich $\frac{1}{4}$ ist: $P_{B} (A) = \frac{1}{4}$ .

Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeit: 2. Weg

Dass die Ereignisse $A$ und $B$ beide eintreten, schreibt man als $A \cap B$ (eben dem Durchschnitt der Ereignismengen). Genau wie gerade sieht man, dass das einzige Ereignis $A \cap B = {3}$ ist. Die Wahrscheinlichkeit, eine $3$ zu werfen, ist (wie für jede einzelne Zahl) $\frac{1}{6}$ .

Daraus und aus $P (B) = \frac{2}{3}$ kann man jetzt $P_{B} (A)$ berechnen:

Wenn $P (B) = \frac{2}{3}$ ist, muss diese Zahl mit $P_{B} (A)$ multipliziert werden, damit auch das Ereignis $A$ eintritt. Dann sind aber beide Ereignisse $A$ und $B$ eingetreten, das heißt, man ist im Fall $A \cap B$ .

Man kann die Gleichung

P (A \cap B) = P (B) \cdot P_{B} (A)

nach $P_{B} (A)$ auflösen und erhält

P_{B} (A) = \frac{P (A \cap B)}{P (B)}

In diesem Beispiel ist $P_{B} (A) = \frac{P (A \cap B)}{P (B)} = \frac{1 / 6}{2 / 3} = \frac{1}{6} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} .$

Zusammenfassung

Wenn man zwei der drei Wahrscheinlichkeiten $P (B)$ , $P (A \cap B)$ und $P_{B} (A)$ kennt, kann man die dritte durch Umstellen der Formel berechnen:

$P_{B} (A) = \frac{P (A \cap B)}{P (B)}$ Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeit von $A$ unter der Bedingung $B$
$P (A \cap B) = P (B) \cdot P_{B} (A)$ Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass $A$ und $B$ beide eintreten
$P (B) = \frac{P (A \cap B)}{P_{B} (A)}$ Berechnung der Wahrscheinlichkeit von $B$

Aufgabe

Jetzt kannst du überprüfen, wie gut du das Beispiel verstanden hast: Berechne $P_{A} (B)$ sowohl direkt als auch mit einer passenden Formel.

Häufige Fälle

Folgende Wahrscheinlichkeiten sind immer voneinander zu unterscheiden:

$P_{B} (A)$ bezeichnet die Wahrscheinlichkeit von $A$ unter der Bedingung $B$ . d. h., man weiß bereits sicher, dass $B$ zutrifft bzw. eingetreten ist, aber bezüglich $A$ weiß man es nicht und fragt nach der Wahrscheinlichkeit von $A$ .
$P_{A} (B)$ bezeichnet die Wahrscheinlichkeit von $B$ unter der Bedingung $A$ . d. h., man weiß bereits sicher, dass $A$ zutrifft bzw. eingetreten ist, aber bezüglich $B$ weiß man es nicht und fragt nach der Wahrscheinlichkeit von $B$ .
$P (A \cap B)$ bezeichnet die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses „ $A$ und zugleich $B$ “. d. h., man hat keine zusätzlichen Informationen und fragt nach der Wahrscheinlichkeit, mit der $A$ und $B$ gemeinsam eintreten.

Frage: Sei $A$ ein beliebiges Ereignis. Wie groß ist $P_{A} (A)$ und $P_{A} (A)$ ?

Schreib- und Sprechweisen

Man schreibt $P_{B} (A)$ oder $P (A | B)$ für die Wahrscheinlichkeit von $A$ unter der Bedingung $B$ .

Alternative Sprechweisen:

„ $A$ unter der Bedingung $B$ “
„ $A$ , wenn $B$ “
„Wahrscheinlichkeit von $A$ , wenn $B$ eingetreten ist“
„ $A$ gegeben $B$ “

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/4712_QQXT6Dbvht.xml

Definition

Die bedingte Wahrscheinlichkeit ist wie folgt definiert:

P (A | B) = \frac{P (A \cap B)}{P (B)}

Die bedingte Wahrscheinlichkeit am Baumdiagramm

Die bedingte Wahrscheinlichkeit kann ganz einfach am Baumdiagramm dargestellt werden:

In einem zweistufigen Zufallsexperiment können in der ersten Stufe die Ereignisse $A$ und $B$ eintreffen, in der der zweiten Stufe die Ereignisse $C$ und $D$ .

Am dargestellten Baum kann man erkennen, dass die bedingten Wahrscheinlichkeiten in der zweiten Stufe zu finden sind. Sie hängen (bei Abhängigkeit) von der ersten Stufe ab.

Folgende Gleichungen gelten:

$P (A \cap C) = P (A) \cdot P_{A} (C)$ (erste Pfadregel)

$P (C) = P (A) \cdot P_{A} (C) + P (B) \cdot P_{B} (C)$ (zweite Pfadregel)

Bedingte Wahrscheinlichkeit und Vierfeldertafel

Selbstverständlich kann man auch eine Vierfeldertafel erstellen, um alle Wahrscheinlichkeiten zu bekommen, die man benötigt, um $P (A | B) = \frac{P (A \cap B)}{P (B)}$ auszurechnen. $\to$ Beispielaufgabe mit ausführlicher Musterlösung

Bedingte Wahrscheinlichkeit und stochastische Unabhängigkeit

Weiß man, dass zwei Ereignisse stochastisch unabhängig sind, so vereinfacht sich $P (A \cap B)$ zu $P (A) \cdot P (B)$ . In diesem Fall ergibt sich für $P (A | B) = \frac{P (A \cap B)}{P (B)} = \frac{P (A) \cdot P (B)}{P (B)} = P (A)$ . Im Umkehrschluss: Unterscheiden sich $P (A | B)$ und $P (A)$ , so folgt, dass $A$ und $B$ stochastisch abhängig sind.

Wichtige Sätze

Aus der Definition und mithilfe der Pfadregeln lassen sich wichtige Sätze für die bedingte Wahrscheinlichkeit ableiten:

Multiplikationssatz

$P (A \cap B) = P (A | B) \cdot P (B)$

Gesetz der totalen Wahrscheinlichkeit

$P (B) = P (A) \cdot P (B | A) + P (A) \cdot P (B | A)$

mit der Verallgemeinerung: $P (B) = \sum_{i} P (A_{i}) \cdot P (B | A_{i})$

Satz von Bayes

$P (A | B) = \frac{P (B | A) \cdot P (A)}{P (B)}$

Weiterer Satz

$P (A | B) + P (A | B) = 1$

Beispiel:

Angenommen, ein bestimmtes Merkmal $A$ trete bei $2 %$ aller neugeborenen Mädchen und bei $8 %$ aller neugeborenen Jungen auf.

Folgende Ereignisse sollen betrachtet werden:

$A$ : „Das Kind hat das Merkmal $A$ .“

$J$ : „Das Kind ist ein Junge.“

Es soll davon ausgegangen werden, dass es gleich viel Jungen- wie Mädchengeburten gibt. Dann gilt:

$P_{J} (A) = 8 %$ , denn laut Angabe tritt Merkmal $A$ ja bei $8 %$ aller neugeborenen Jungen auf.

$P (A \cap J) = 4 %,$ denn da nur $50 %$ der neugeborenen Kinder Jungen sind und unter den Jungen nur $8 %$ das Merkmal $A$ haben, ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein beliebiges Kind ein Junge ist, der das Merkmal $A$ hat, gleich $4 %$ .

$P_{A} (J) = 80 %$ , denn das Merkmal betrifft Jungen viermal so oft wie Mädchen; wenn man also weiß, dass ein bestimmtes Kind das Merkmal $A$ hat, dann ist die Wahrscheinlichkeit $80 %$ , dass das Kind ein Junge ist.

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