Bedingte Wahrscheinlichkeit

Die (bedingte) Wahrscheinlichkeit von AA unter der Bedingung BB ist die Wahrscheinlichkeit, dass AA eintritt, falls sicher ist, dass BB schon eingetreten ist.

Man schreibt PB(A)P_B(A) oder P(AB)P(A\mid B) für die Wahrscheinlichkeit von AA unter der Bedingung BB.

PB(A)=P(A B)P(B) P_B\left(A\right)=\frac{P\left(A\ \cap B\right)}{P\left(B\right)}\ (umgeformte erste Pfadregel)

PB(A)P_B\left(A\right) wird gelesen als: "Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B"

Beispiele und Abgrenzung von "normaler" Wahrscheinlichkeit

  • Die bedingte Wahrscheinlichkeit für "Die Straße ist nass, wenn es regnet" Pes regnet(Straße nass)P_{es\ regnet}\left(Straße\ nass\right) ist nahe 1 (Es gibt nur einige wenige Straßen, die überdacht sind.)

    Die Wahrscheinlichkeit für "Die Straße ist nass." P(Straße nass)P\left(Straße\ nass\right) (normale Wahrscheinlichkeit) ist deutlich unter 1 (je nach geographischer Lage).

  • Die bedingte Wahrscheinlichkeit für "lange Haare bei Frauen" PFrau(lange Haare)P_{Frau}\left(lange\ Haare\right)ist deutlich höher als die Wahrscheinlichkeit für "lange Haare" P(lange Haare)P\left(lange\ Haare\right)

  • Ein Tetraeder (Zahlen 1-4) und ein Würfel (Zahlen 1-6) werden zufällig aus einer Urne gezogen und geworfen.

    Die Wahrscheinlichkeit für "1" berechnet man mit P(1)=0.514+0.516=18+112=524P\left(1\right)=0.5\cdot\frac{1}{4}+0.5\cdot\frac{1}{6}=\frac{1}{8}+\frac{1}{12}=\frac{5}{24}

    Die bedingte Wahrscheinlichkeit "1, wenn ich weiß, das der Tetraeder gezogen wurde" berechnet man mit PTetraeder(1)=14P_{Tetraeder}\left(1\right)=\frac{1}{4}.

Häufige Fälle

Folgende Wahrscheinlichkeiten sind immer voneinander zu unterscheiden:

  • PB(A)P_B(A) bezeichnet die Wahrscheinlichkeit von AA unter der Bedingung BB.

    d. h., man weiß bereits sicher, dass BB zutrifft bzw. eingetreten ist, aber bezüglich AA weiß man es nicht und fragt nach der Wahrscheinlichkeit von AA.

  • PA(B)P_A(B) bezeichnet die Wahrscheinlichkeit von BB unter der Bedingung AA.

    d. h., man weiß bereits sicher, dass AA zutrifft bzw. eingetreten ist, aber bezüglich BB weiß man es nicht und fragt nach der Wahrscheinlichkeit von BB.

  • P(AB)P(A\cap B) bezeichnet die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses „AA und zugleich BB“.

    d. h., man hat keine zusätzlichen Informationen und fragt nach der Wahrscheinlichkeit, mit der AA und BB gemeinsam eintreten.

Frage: Sei A A ein beliebiges Ereignis. Wie groß ist PA(A) P_A(A) und PA(A)P_A(\overline{A})?

Schreib- und Sprechweisen

Man schreibt PB(A)P_B(A) oder P(AB)P(A\mid B) für die Wahrscheinlichkeit von AA unter der Bedingung BB.

Alternative Sprechweisen:

  • AA unter der Bedingung BB

  • AA, wenn BB

  • "Wahrscheinlichkeit von AA, wenn BB eingetreten ist“

  • AA gegeben BB

Definition

Die bedingte Wahrscheinlichkeit ist wie folgt definiert:

Die bedingte Wahrscheinlichkeit am Baumdiagramm

Die bedingte Wahrscheinlichkeit kann ganz einfach am Baumdiagramm dargestellt werden:

In einem zweistufigen Zufallsexperiment können in der ersten Stufe die Ereignisse A und B eintreffen, in der der zweiten Stufe die Ereignisse C und D.

Am dargestellten Baum kann man erkennen, dass die bedingten Wahrscheinlichkeiten in der zweiten Stufe zu finden sind. Sie hängen (bei Abhängigkeit) von der ersten Stufe ab.

Folgende Gleichungen gelten:

P(AC)=P(A)PA(C)P\left(A\cap C\right)=P\left(A\right)\cdot P_A\left(C\right) (erste Pfadregel)

P(C)=P(A)PA(C)+P(B)PB(C)P\left(C\right)=P\left(A\right)\cdot P_A\left(C\right)+P\left(B\right)\cdot P_B\left(C\right) (zweite Pfadregel)

Bedingte Wahrscheinlichkeit und Vierfeldertafel

Selbstverständlich kann man auch eine Vierfeldertafel erstellen, um alle Wahrscheinlichkeiten zu bekommen, die man benötigt, um P(AB)=P(AB)P(B)P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)} auszurechnen. \rightarrowBeispielaufgabe mit ausführlicher Musterlösung

Bedingte Wahrscheinlichkeit und stochastische Unabhängigkeit

Weiß man, dass zwei Ereignisse stochastisch unabhängig sind, so vereinfacht sich P(AB){P(A\cap B)} zu P(A)P(B)P(A)\cdot P(B). In diesem Fall ergibt sich für P(AB)=P(AB)P(B)=P(A)P(B)P(B)=P(A)P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}= \frac{P(A)\cdot P(B)}{P(B)} = P(A). Im Umkehrschluss: Unterscheiden sich P(AB)P(A\mid B) und P(A)P(A), so folgt, dass AA und BB stochastisch abhängig sind.

Wichtige Sätze

Aus der Definition und mithilfe der Pfadregeln lassen sich wichtige Sätze für die bedingte Wahrscheinlichkeit ableiten:

Multiplikationssatz

P(AB)=P(AB)P(B)P(A\cap B)=P(A\mid B)\cdot P(B)

Gesetz der totalen Wahrscheinlichkeit

P(B)=P(A)P(BA)  +  P(A)P(BA)P(B)=P(A)\cdot P(B\mid A)\;+\;P(\overline A)\cdot P(B\mid\overline A)

mit der Verallgemeinerung: P(B)=iP(Ai)P(BAi)P(B)=\sum_iP(A_i)\cdot P(B\mid A_i)

Satz von Bayes

P(AB)=P(BA)P(A)P(B)P(A\mid B)=\dfrac{P(B\mid A)\cdot P(A)}{P(B)}

Weiterer Satz

P(AB)+P(AB)=1P(A\mid B)+P(\overline A\mid B)=1

Beispiel:

Angenommen, ein bestimmtes Merkmal AA trete bei 2 % aller neugeborenen Mädchen und bei 8 % aller neugeborenen Jungen auf.

Folgende Ereignisse sollen betrachtet werden:

AA: „Das Kind hat das Merkmal AA.“

JJ: „Das Kind ist ein Junge.“

Es soll davon ausgegangen werden, dass es gleich viel Jungen- wie Mädchengeburten gibt. Dann gilt:

PJ(A)=8%P_J(A)=8\,\% , denn laut Angabe tritt Merkmal AA ja bei 8 % aller neugeborenen Jungen auf.

P(AJ)=4%,P(A\cap J)=4\,\%, denn da nur 50 % der neugeborenen Kinder Jungen sind und unter den Jungen nur 8 % das Merkmal AA haben, ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein beliebiges Kind ein Junge ist, der das Merkmal AA hat, gleich 4 %.

PA(J)=80%P_A(J)=80\,\% , denn das Merkmal betrifft Jungen viermal so oft wie Mädchen; wenn man also weiß, dass ein bestimmtes Kind das Merkmal AA hat, dann ist die Wahrscheinlichkeit 80 %, dass das Kind ein Junge ist.

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