Bedingte Wahrscheinlichkeit

Die (bedingte) Wahrscheinlichkeit von $\sf A$ unter der Bedingung $\sf B$ gibt an, wie wahrscheinlich $\sf A$ ist, falls sicher ist, dass $\sf B$ schon eingetreten ist.

Man schreibt $\sf P_B(A)$ oder $\sf P(A\mid B)$ für die Wahrscheinlichkeit von $\sf A$ unter der Bedingung $\sf B$.

Einführendes Beispiel

Man betrachtet die beiden Ereignisse

Angenommen, es regnet mit einer Wahrscheinlichkeit von 25 %, also $\sf P(A)=0{,}25$.

Was kann man nun über die bedingten Wahrscheinlichkeiten $\sf P_A(B)$, $\sf P_B(A)$, $\sf P_{\overline{A}}(B)$ und $\sf P_{\overline{B}}(A)$ aussagen?

1. $\sf P_A(B)$ beschreibt die Wahrscheinlichkeit,

   • mit der der Boden nass ist,

   • unter der Bedingung, dass es bereits regnet (d. h., wenn Ereignis $\sf A$ eingetreten ist).

   Da bei Regen der Boden natürlich immer nass wird, ist die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses gleich eins: $\sf P_A(B)=1$.

2. $\sf P_B(A)$ beschreibt die Wahrscheinlichkeit,

   • mit der es regnet,

   • unter der Bedingung, dass der Boden nass wird.

   Das heißt, man weiß, dass der Boden nass geworden ist, und möchte nun wissen, wie das die Wahrscheinlichkeit eines Regenschauers beeinträchtigt. Nun wird natürlich nicht nur bei Regen der Boden nass (vielleicht hatten da ein paar Schüler eine Wasserschlacht ;-)), also beeinflusst Ereignis $\sf B$ die Regenwahrscheinlichkeit nicht $\sf \rightarrow P_B(A)=0{,}25$.

3. $\sf P_{\overline{A}}(B)$ beschreibt die Wahrscheinlichkeit,

   • mit der der Boden nass wird,

   • unter der Bedingung, dass es sicher nicht regnet.

   Hier kann man wenig konkrete Aussagen treffen.

4. $\sf P_{\overline{B}}(A)$ beschreibt die Wahrscheinlichkeit, mit der es regnet, wenn der Boden nicht nass wird. Dieses Ereignis ist natürlich nicht möglich $\sf \rightarrow P_{\overline{B}}(A)=0$.

Was kann man noch über $\sf P_{\overline{A}}(B)$ sagen?

Nach Regen dauert es noch eine Weile, bis der Boden wieder trocken ist. Damit kann der Boden nass sein, ohne dass es gerade regnet. Man kann also sagen, dass diese Wahrscheinlichkeit größer als null ist.

Da der Boden normalerweise trocken ist, wenn es gerade nicht regnet, ist $\sf P_{\overline{A}}(B)$ aber auch sicherlich kleiner als eins.

Häufige Fälle

Folgende Wahrscheinlichkeiten sind immer voneinander zu unterscheiden:

• $\sf P_B(A)$ bezeichnet die Wahrscheinlichkeit von $\sf A$ unter der Bedingung $\sf B$.

  d. h., man weiß bereits sicher, dass $\sf B$ zutrifft bzw. eingetreten ist, aber bezüglich $\sf A$ weiß man es nicht und fragt nach der Wahrscheinlichkeit von $\sf A$.

• $\sf P_A(B)$ bezeichnet die Wahrscheinlichkeit von $\sf B$ unter der Bedingung $\sf A$.

  d. h., man weiß bereits sicher, dass $\sf A$ zutrifft bzw. eingetreten ist, aber bezüglich $\sf B$ weiß man es nicht und fragt nach der Wahrscheinlichkeit von $\sf B$.

• $\sf P(A\cap B)$ bezeichnet die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses „$\sf A$ und zugleich $\sf B$“.

  d. h., man hat keine zusätzlichen Informationen und fragt nach der Wahrscheinlichkeit, mit der $\sf A$ und $\sf B$ gemeinsam eintreten.

Frage: Sei $\sf A$ ein beliebiges Ereignis. Wie groß ist $\sf P_A(A)$ und $\sf P_A(\overline{A})$?

Schreib- und Sprechweisen

Man schreibt $\sf P_B(A)$ oder $\sf P(A\mid B)$ für die Wahrscheinlichkeit von $\sf A$ unter der Bedingung $\sf B$.

Definition

Die bedingte Wahrscheinlichkeit ist wie folgt definiert:

Die bedingte Wahrscheinlichkeit am Baumdiagramm

Die bedingte Wahrscheinlichkeit kann ganz einfach am Baumdiagramm dargestellt werden:

Bedingte Wahrscheinlichkeit und Vierfeldertafel

Selbstverständlich kann man auch eine Vierfeldertafel erstellen, um alle Wahrscheinlichkeiten zu bekommen, die man benötigt, um $\sf P(A\mid B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$ auszurechnen.

$\sf \rightarrow$Beispielaufgabe mit ausführlicher Musterlösung

Bedingte Wahrscheinlichkeit und stochastische Unabhängigkeit

Weiß man, dass zwei Ereignisse stochastisch unabhängig sind, so vereinfacht sich $\sf {P(A\cap B)}$ zu $\sf P(A)\cdot P(B)$.

In diesem Fall ergibt sich für $\sf P(A\mid B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}= \dfrac{P(A)\cdot P(B)}{P(B)} = P(A)$.

Im Umkehrschluss: Unterscheiden sich $\sf P(A\mid B)$ und $\sf P(A)$, so folgt, dass $\sf A$ und $\sf B$ stochastisch abhängig sind.

Wichtige Sätze

Aus der Definition und mithilfe der Pfadregeln lassen sich wichtige Sätze für die bedingte Wahrscheinlichkeit ableiten:

Multiplikationssatz

Gesetz der totalen Wahrscheinlichkeit

mit der Verallgemeinerung: $\sf P(B)=\sum_iP(A_i)\cdot P(B\mid A_i)$

Satz von Bayes

Weiterer Satz

Beispiel:

Angenommen, ein bestimmtes Merkmal $\sf A$ trete bei 2 % aller neugeborenen Mädchen und bei 8 % aller neugeborenen Jungen auf.

Folgende Ereignisse sollen betrachtet werden:

$\sf A$: „Das Kind hat das Merkmal $\sf A$.“

$\sf J$: „Das Kind ist ein Junge.“

Es soll davon ausgegangen werden, dass es gleich viel Jungen- wie Mädchengeburten gibt. Dann gilt:

$\sf P_J(A)=8\,\%$ , denn laut Angabe tritt Merkmal $\sf A$ ja bei 8 % aller neugeborenen Jungen auf.

$\sf P(A\cap J)=4\,\%,$ denn da nur 50 % der neugeborenen Kinder Jungen sind und unter den Jungen nur 8 % das Merkmal $\sf A$ haben, ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein beliebiges Kind ein Junge ist, der das Merkmal $\sf A$ hat, gleich 4 %.

$\sf P_A(J)=80\,\%$ , denn das Merkmal betrifft Jungen viermal so oft wie Mädchen; wenn man also weiß, dass ein bestimmtes Kind das Merkmal $\sf A$ hat, dann ist die Wahrscheinlichkeit 80 %, dass das Kind ein Junge ist.

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