Bedingte Wahrscheinlichkeit

Beispiele und Abgrenzung von "normaler" Wahrscheinlichkeit

• Die bedingte Wahrscheinlichkeit für "Die Straße ist nass, wenn es regnet" $P_{\text{es\ regnet}}\left(\text{Straße\ nass}\right)$ ist nahe 1 (Es gibt nur einige wenige Straßen, die überdacht sind.)

  Die Wahrscheinlichkeit für "Die Straße ist nass." $P\left(\text{Straße\ nass}\right)$ (normale Wahrscheinlichkeit) ist deutlich unter 1 (je nach geographischer Lage).

• Die bedingte Wahrscheinlichkeit für "lange Haare bei Frauen" $P_{\text{Frau}}\left(\text{lange\ Haar}e\right)$ist deutlich höher als die Wahrscheinlichkeit für "lange Haare" $P\left(\text{lange\ Haare}\right)$

• Ein Tetraeder (Zahlen 1-4) und ein Würfel (Zahlen 1-6) werden zufällig aus einer Urne gezogen und geworfen.

  Die Wahrscheinlichkeit für "1" berechnet man mit $P\left(1\right)=0.5\cdot\frac{1}{4}+0.5\cdot\frac{1}{6}=\frac{1}{8}+\frac{1}{12}=\frac{5}{24}$

  Die bedingte Wahrscheinlichkeit "1, wenn ich weiß, dass der Tetraeder gezogen wurde" berechnet man mit $P_{\text{Tetraeder}}\left(1\right)=\frac{1}{4}$.

Ein ausführliches Beispiel

Wir nehmen jetzt zwei Ereignisse:

Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeit: 1. Weg

Jetzt berechnen wir die Wahrscheinlichkeit von $A$ unter der Bedingung, dass auch $B$ eintritt. Das schreibt man als $P_B(A)$ oder als $P(A|B)$.

Wir haben hier vier mögliche Fälle und nur einen, in dem das Ereignis $A$ eintritt. Das bedeutet, dass die bedingte Wahrscheinlichkeit von $A$ unter der Bedingung $B$ gleich $\frac{1}{4}$ ist: $P_B(A)=\frac{1}{4}$.

Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeit: 2. Weg

Dass die Ereignisse $A$ und $B$ beide eintreten, schreibt man als $A \cap B$ (eben dem Durchschnitt der Ereignismengen). Genau wie gerade sieht man, dass das einzige Ereignis $A\cap B =\{3\}$ ist. Die Wahrscheinlichkeit, eine $3$ zu werfen, ist (wie für jede einzelne Zahl) $\frac{1}{6}$.

Daraus und aus $P(B)=\frac{2}{3}$ kann man jetzt $P_B(A)$ berechnen:

Wenn $P(B)=\frac{2}{3}$ ist, muss diese Zahl mit $P_B(A)$ multipliziert werden, damit auch das Ereignis $A$ eintritt. Dann sind aber beide Ereignisse $A$ und $B$ eingetreten, das heißt, man ist im Fall $A\cap B$.

Man kann die Gleichung

nach $P_B(A)$ auflösen und erhält

In diesem Beispiel ist $P_B(A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}=\dfrac{1/6}{2/3}=\dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{3}{2}=\dfrac{3}{12}=\dfrac{1}{4}.$

Zusammenfassung

Wenn man zwei der drei Wahrscheinlichkeiten $P(B)$, $P(A\cap B)$ und $P_B(A)$ kennt, kann man die dritte durch Umstellen der Formel berechnen:

• $\displaystyle P_B(A)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$

  Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeit von $A$ unter der Bedingung $B$

• $P(A\cap B)= P(B)\cdot P_B(A)$

  Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass $A$ und $B$ beide eintreten

• $\displaystyle P(B)=\frac{P(A\cap B)}{P_B(A)}$

  Berechnung der Wahrscheinlichkeit von $B$

Aufgabe

Jetzt kannst du überprüfen, wie gut du das Beispiel verstanden hast: Berechne $P_A(B)$ sowohl direkt als auch mit einer passenden Formel.

Häufige Fälle

Folgende Wahrscheinlichkeiten sind immer voneinander zu unterscheiden:

• $P_B(A)$ bezeichnet die Wahrscheinlichkeit von $A$ unter der Bedingung $B$.

  d. h., man weiß bereits sicher, dass $B$ zutrifft bzw. eingetreten ist, aber bezüglich $A$ weiß man es nicht und fragt nach der Wahrscheinlichkeit von $A$.

• $P_A(B)$ bezeichnet die Wahrscheinlichkeit von $B$ unter der Bedingung $A$.

  d. h., man weiß bereits sicher, dass $A$ zutrifft bzw. eingetreten ist, aber bezüglich $B$ weiß man es nicht und fragt nach der Wahrscheinlichkeit von $B$.

• $P(A\cap B)$ bezeichnet die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses „$A$ und zugleich $B$“.

  d. h., man hat keine zusätzlichen Informationen und fragt nach der Wahrscheinlichkeit, mit der $A$ und $B$ gemeinsam eintreten.

Frage: Sei $A$ ein beliebiges Ereignis. Wie groß ist $P_A(A)$ und $P_A(\overline{A})$?

Schreib- und Sprechweisen

Man schreibt $P_B(A)$ oder $P(A\mid B)$ für die Wahrscheinlichkeit von $A$ unter der Bedingung $B$.

Definition

Die bedingte Wahrscheinlichkeit ist wie folgt definiert:

Die bedingte Wahrscheinlichkeit am Baumdiagramm

Die bedingte Wahrscheinlichkeit kann ganz einfach am Baumdiagramm dargestellt werden:

Am dargestellten Baum kann man erkennen, dass die bedingten Wahrscheinlichkeiten in der zweiten Stufe zu finden sind. Sie hängen (bei Abhängigkeit) von der ersten Stufe ab.

Folgende Gleichungen gelten:

$P\left(A\cap C\right)=P\left(A\right)\cdot P_A\left(C\right)$ (erste Pfadregel)

$P\left(C\right)=P\left(A\right)\cdot P_A\left(C\right)+P\left(B\right)\cdot P_B\left(C\right)$ (zweite Pfadregel)

Bedingte Wahrscheinlichkeit und Vierfeldertafel

Selbstverständlich kann man auch eine Vierfeldertafel erstellen, um alle Wahrscheinlichkeiten zu bekommen, die man benötigt, um $P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$ auszurechnen. $\rightarrow$Beispielaufgabe mit ausführlicher Musterlösung

Bedingte Wahrscheinlichkeit und stochastische Unabhängigkeit

Weiß man, dass zwei Ereignisse stochastisch unabhängig sind, so vereinfacht sich ${P(A\cap B)}$ zu $P(A)\cdot P(B)$. In diesem Fall ergibt sich für $P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}= \frac{P(A)\cdot P(B)}{P(B)} = P(A)$. Im Umkehrschluss: Unterscheiden sich $P(A\mid B)$ und $P(A)$, so folgt, dass $A$ und $B$ stochastisch abhängig sind.

Wichtige Sätze

Aus der Definition und mithilfe der Pfadregeln lassen sich wichtige Sätze für die bedingte Wahrscheinlichkeit ableiten:

Multiplikationssatz

$P(A\cap B)=P(A\mid B)\cdot P(B)$

Gesetz der totalen Wahrscheinlichkeit

$P(B)=P(A)\cdot P(B\mid A)\;+\;P(\overline A)\cdot P(B\mid\overline A)$

mit der Verallgemeinerung: $P(B)=\sum_iP(A_i)\cdot P(B\mid A_i)$

Satz von Bayes

$P(A\mid B)=\dfrac{P(B\mid A)\cdot P(A)}{P(B)}$

Weiterer Satz

$P(A\mid B)+P(\overline A\mid B)=1$

Beispiel:

Angenommen, ein bestimmtes Merkmal $A$ trete bei $2\;\%$ aller neugeborenen Mädchen und bei $8\;\%$ aller neugeborenen Jungen auf.

Folgende Ereignisse sollen betrachtet werden:

$A$: „Das Kind hat das Merkmal $A$.“

$J$: „Das Kind ist ein Junge.“

Es soll davon ausgegangen werden, dass es gleich viel Jungen- wie Mädchengeburten gibt. Dann gilt:

$P_J(A)=8\,\%$, denn laut Angabe tritt Merkmal $A$ ja bei $8\;\%$ aller neugeborenen Jungen auf.

$P(A\cap J)=4\,\%,$ denn da nur $50\;\%$ der neugeborenen Kinder Jungen sind und unter den Jungen nur $8\;\%$ das Merkmal $A$ haben, ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein beliebiges Kind ein Junge ist, der das Merkmal $A$ hat, gleich $4\;\%$.

$P_A(J)=80\,\%$, denn das Merkmal betrifft Jungen viermal so oft wie Mädchen; wenn man also weiß, dass ein bestimmtes Kind das Merkmal $A$ hat, dann ist die Wahrscheinlichkeit $80\,\%$, dass das Kind ein Junge ist.

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