Stochastik, Teil B, Aufgabengruppe 1

Es ist zu vermuten, dass unter den Jugendlichen, die ein Smartphone besitzen, der Anteil derjenigen, die eine feste Spielkonsole besitzen, größer ist als unter den Jugendlichen, die kein Smartphone besitzen. Bestimmen Sie für die in der Tabelle erfassten $200$ Jugendlichen, wie groß die Anzahl derjenigen Personen, die sowohl ein Smartphone als auch eine feste Spielkonsole besitzen, mindestens sein muss, damit die Vermutung für die in der Tabelle erfassten Jugendlichen zutrifft.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bedingte Wahrscheinlichkeit

Aufstellen der Ungleichung aus der Aufgabenstellung

Man kann die Annahme wie folgt umformulieren: Unter der Annahme, dass ein Jugendlicher ein Smartphone besitzt, ist die Wahrscheinlichkeit höher, dass er auch eine Spielkonsole besitzt als unter der Annahme, dass er kein Smartphone besitzt.

Als Formel: $P_S(K) > P_{\overline S} (K)$

Da hier das Geschlecht der Jugendlichen nicht beachtet wird, lohnt es sich, die Tabelle um die insgesamte Anzahl derer, die ein Gerät besitzen, zu erweitern.

	Mädchen	Jungen	Insgesamt
Smartphone	42	52	94
Computer	77	87	164
Fernsehgerät	54	65	119
feste Spielkonsole	37	62	109

Die bedingten Wahrscheinlichkeiten kann man umformulieren in den Bruch aus der Wahrscheinlichkeit, dass ein Befragter eine Konsole hat und ein bzw. kein Smartphone besitzt ( $S \cap K$ , $\overline S \cap K$ ) geteilt durch die Wahrscheinlichkeit, dass ein Befragter ein bzw. kein Smartphone besitzt ( $S, \overline S$ ). Jetzt kann man die Werte im Nenner aus der Tabelle ablesen. Diese muss man noch in Wahrscheinlichkeiten umrechnen, indem man sie durch die Gesamtanzahl Befragter, also $200$ , dividiert.

$\displaystyle \frac {P(S \cap K)}{P(S)}$	$>$	$\displaystyle \frac {P({\overline S} \cap K)}{P(\overline S)}$
	↓	Anzahl $(S)$ und Anzahl $(\overline S)$ aus der Tabelle auslesen und durch $200$ dividieren
$\displaystyle \frac {P(S \cap K)}{\frac {94}{200}}$	$>$	$\displaystyle \frac {P(\overline S \cap K)}{\frac {106}{200}}$
$\displaystyle \frac {P(S \cap K)}{0{,}47}$	$>$	$\displaystyle \frac {P(\overline S \cap K)}{0{,}53}$	$\displaystyle \cdot \, 0{,}53$
$\displaystyle \frac {P(S \cap K) \, \cdot \, 0{,}53}{0{,}47}$	$>$	$\displaystyle P(\overline S \cap K)$

Aufstellen einer Gleichung aus der Tabelle

Wir wissen, dass $P(S \cap K) + P(\overline S \cap K) = P (K) = \frac {109}{200} = 0{,}545$ .

Das kann man umformulieren zu $P(\overline S \cap K) = 0{,}545 - P(S \cap K)$ .

Diese Gleichung kann man nun in die Ungleichung einsetzen:

$\displaystyle \frac{P(S\cap K)\ \cdot\ 0{,}53}{0{,}47}$	$>$	$\displaystyle 0{,}545-P({S}\cap K)$	$\displaystyle \cdot\ 0{,}47$
$\displaystyle 0{,}53 \cdot P(S \cap K)$	$>$	$\displaystyle 0{,}47 \cdot 0{,}545 - 0{,}47 \cdot P(S \cap K)$	$\displaystyle +\ 0{,}47 \cdot P(\overline S \cap K)$
$\displaystyle P(S \cap K)$	$>$	$\displaystyle 0{,}25615$	$\displaystyle \cdot\ 200$
	↓	Multipliziert man die Wahrscheinlichkeit mit $200,$ erhält man die Anzahl anstatt den Prozentwert
$\displaystyle S \cap K$	$>$	$\displaystyle 0{,}25615 \cdot 200$
$\displaystyle S \cap K$	$>$	$\displaystyle 51{,}23$

Es müssen also mindestens $52$ Befragte ein Smartphone und eine Spielekonsole besitzen, damit die Annahme stimmt.

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