Stochastik, Teil B, Aufgabengruppe 2

In einem Supermarkt erhalten Kunden abhängig vom Wert ihres Einkaufs eine bestimmte Anzahl von Päckchen mit Tierbildern, die in ein Sammelalbum eingeklebt werden können. Jedes Päckchen enthält fünf Bilder. Im Sammelbuch sind Plätze für insgesamt $200$ verschiedene Bilder vorgesehen. Die Bilder werden jeweils in großer Stückzahl mit der gleichen Häufigkeit produziert und auf die Päckchen zufällig verteilt, wobei sich die Bilder in einem Päckchen nicht unterscheiden müssen.

a) Begründen Sie, dass der Term $\frac{200\cdot199\cdot198\cdot197\cdot196}{200^5}$ die Wahrscheinlichkeit dafür beschreibt, dass sich in einem Päckchen fünf verschiedene Tierbilder befinden.

b) Einem Jungen fehlen in seinem Sammelalbum noch $15$ Bilder. Er geht mit seiner Mutter zum Einkaufen und erhält anschließend zwei Päckchen mit Tierbildern. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die beiden Päckchen nur Bilder erhalten, die der Junge bereits in seinem Sammelalbum hat.

Bei Kindern besonders beliebt sind die 3D-Bilder, auf denen die Tiere drei-dimensional erscheinen. $20$ der $200$ für ein Sammelalbum vorgesehenen Bilder sind 3D-Bilder.

c) Ermitteln Sie, wie viele Päckchen ein Kind mindestens benötigt, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als $99\%$ mindestens ein 3D-Bild zu erhalten.

a)

Um die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses zu berechnen, dividiert man die Anzahl der günstigen durch die Anzahl der möglichen Ereignisse.

Im Zähler steht als Erstes die Zahl $200$ , da es bei der ersten Karte egal ist, welches Tier sie zeigt, da ja noch kein Tier gezogen wurde, mit dem es übereinstimmen könnte.

Bei der zweiten Karte dürfen alle Tiere zu sehen sein, außer das, das auf der ersten Karte ist, das heißt es gibt $200 - 1 = 199$ Möglichkeiten. Auf der dritten Karte dürfen alle Tiere sein außer die auf den ersten beiden Karten, also gibt es $198$ Möglichkeiten, und so weiter.

Im Nenner steht die Anzahl aller Karten, also $200$ , mit $5$ potenziert, da bei der Berechnung aller möglichen Kombinationen jede Karte auch mehrmals vorkommen darf.

b)

Dem Jungen fehlen nur noch $15$ Bilder, das heißt er hat schon $200 - 15 = 185$ . Die Wahrscheinlichkeit, dass er eines zieht, das er schon hat, beträgt also $\frac {185}{200}$ . Da diese Wahrscheinlichkeit bei jedem Bild, das gezogen wird, gleich bleibt, kann man die Endwahrscheinlichkeit wie folgt berechnen:

\displaystyle \left(\frac{185}{200}\right)^{10} \approx 0{,}4586

Die Wahrscheinlichkeit, dass der Junge die zehn Bildern, die er zieht, alle schon hat, beträgt ca. $45{,}86 \%$ .

c)

Es handelt sich um eine Dreimal-Mindestens-Aufgabe. Wir suchen nach der Wahrscheinlichkeit, mindestens ein 3D-Bild zu erhalten, also muss die Zufallsvariable größer gleich eins gesetzt werden. Die Wahrscheinlichkeit soll höher als $99 \%$ sein, also setzen wir ein größer-Zeichen zwischen die beiden Seiten der Ungleichung.

$\displaystyle P(X\ge1)$	$>$	$\displaystyle 0{,}99$
	↓	Formuliere um in die Gegenwahrscheinlichkeit
$\displaystyle 1-P (X = 0)$	$>$	$\displaystyle 0{,}99$
	↓	20 der 200 Bilder sind 3D-Bilder, das heißt die Wahrscheinlichkeit, ein 3D-Bild zu ziehen, beträgt $\frac {20}{200} = \frac {1}{10} = 0{,}1$
$\displaystyle 1-\bigg({n \choose 0} \, \cdot 0{,}1^0 \, \cdot \, 0{,}9^{n-0}\bigg)$	$>$	$\displaystyle 0{,}99$
	↓	Vereinfache
$\displaystyle 1-(1 \, \cdot \, 1 \, \cdot \, 0{,}9^n)$	$>$	$\displaystyle 0{,}99$
$\displaystyle 1 \, - \, 0{,}9^n$	$>$	$\displaystyle 0{,}99$	$\displaystyle - \, 0{,}99$
$\displaystyle 1 \, - \, 0{,}9^n \, - \, 0{,}99$	$>$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle + \, 0{,}9^n$
$\displaystyle 0{,}01$	$>$	$\displaystyle 0{,}9^n$	$\displaystyle \ln$
$\displaystyle \ln \, (0{,}01)$	$>$	$\displaystyle \ln \, (0{,}9^n)$
	↓	Man kann das n vor den $ln()$ ziehen, da hier die Logarithmusregeln gelten
$\displaystyle \ln \, (0{,}01)$	$>$	$\displaystyle n \, \cdot \, \ln \, (0{,}9)$	$\displaystyle / \,\ln \, (0{,}9)$
	↓	Hier muss man das Ungleichheitszeichen umdrehen, da durch eine negative Zahl dividiert wird
$\displaystyle \frac {\ln \, (0{,}01)}{\ln \, (0{,}9)}$	$<$	$\displaystyle n$
	↓	Berechne und runde
$\displaystyle 43{,}71$	$<$	$\displaystyle n$

Ein Kind muss mindestens $44$ Karten ziehen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $99 \%$ mindestens ein 3D-Bild zu erhalten.

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