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Stochastik, Teil B, Aufgabengruppe 2

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

  1. 1

    In einem Supermarkt erhalten Kunden abhängig vom Wert ihres Einkaufs eine bestimmte Anzahl von Päckchen mit Tierbildern, die in ein Sammelalbum eingeklebt werden können. Jedes Päckchen enthält fünf Bilder. Im Sammelbuch sind Plätze für insgesamt 200200 verschiedene Bilder vorgesehen. Die Bilder werden jeweils in großer Stückzahl mit der gleichen Häufigkeit produziert und auf die Päckchen zufällig verteilt, wobei sich die Bilder in einem Päckchen nicht unterscheiden müssen.

    a) Begründen Sie, dass der Term 2001991981971962005\frac{200\cdot199\cdot198\cdot197\cdot196}{200^5} die Wahrscheinlichkeit dafür beschreibt, dass sich in einem Päckchen fünf verschiedene Tierbilder befinden.

    b) Einem Jungen fehlen in seinem Sammelalbum noch 1515 Bilder. Er geht mit seiner Mutter zum Einkaufen und erhält anschließend zwei Päckchen mit Tierbildern. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die beiden Päckchen nur Bilder erhalten, die der Junge bereits in seinem Sammelalbum hat.

    Bei Kindern besonders beliebt sind die 3D-Bilder, auf denen die Tiere drei-dimensional erscheinen. 2020 der 200200 für ein Sammelalbum vorgesehenen Bilder sind 3D-Bilder.

    c) Ermitteln Sie, wie viele Päckchen ein Kind mindestens benötigt, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 99%99\% mindestens ein 3D-Bild zu erhalten.

  2. 2

    Um Geld für die Ausstattung des örtlichen Kindergartens einzunehmen, veranstaltet der Supermarkt ein Gewinnspiel. Die fünf Sektoren des dabei eingesetzten Glücksrads sind von 11 bis 55 durchnummeriert. Die Größe der Sektoren ist direkt proportional zum Zahlenwert der Nummern; beispielsweise ist der Sektor mit der Nummer 33 dreimal so groß wie der Sektor mit der Nummer 11. Nachdem der Spieler sechs Euro bezahlt hat, wird das Glücksrad einmal gedreht. Erzielt der Spieler eine der Nummern 11 bis 44, so wird ihm der zugehörige Zahlenwert als Betrag in Euro ausgezahlt, erzielt er die Nummer 55, so erhält er eine Eintrittskarte für einen Freizeitpark im Wert von fünfzehn Euro.

    1. Bestimmen Sie die Größe des Öffnungswinkels des Sektors mit der Nummer 11 sowie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Spieler bei einem Spiel eine Eintrittskarte gewinnt. (Teilergebnis: Größe des Öffnungswinkels: 2424^\circ) (3BE)

    2. Berechnen Sie den Erwartungswert der Auszahlung pro Spiel, wenn der Gewinn einer Eintrittskarte mit einer Auszahlung von fünfzehn Euro gleichgesetzt wird. Interpretieren Sie das Ergebnis. (4BE)

    3. Der Supermarkt muss für jede Eintrittskarte nur zehn Euro an den Freizeitpark bezahlen. Damit ist bei der Spielaktion ein finanzieller Überschuss zu erwarten, der an den örtlichen Kindergarten gespendet werden soll. Ermitteln Sie den zu erwartenden Überschuss, wenn man davon ausgeht, dass das Spiel insgesamt 60006000-mal durchgeführt wird. (3BE)


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