Aufgaben

Überlege und probiere, wie die Verformbarkeit der folgenden Stoffe ist: Kandiszucker, Radierer, Papier

  • Der Radierer ist elastisch, denn wenn ich ihn verbiege, kehrt er wieder in seine ursprüngliche Form zurück. Natürlich darf ich ihn nicht soweit verbiegen, dass er dabei kaputt geht.

  • Das Kandiszucker-Kristall zerbricht in kleinere Teile. Deshalb ist er spröde. Genauso übrigens, wie Salzkristalle.

  • Papier ist schwer einzusortieren. Wenn man es nur wenig verbiegt, geht es in die Ursprungsform zurück, aber sicher würde man es nicht als elastisch bezeichnen. Besser passt vielleicht verformbar. Aber die Struktur des Blattes bleibt immer erhalten, nur eben verknüllt.

Schau dir mal genauer den Link zur Sammlung an Mineralien in einem Kästchen an. Informiere dich und probiere es aus, falls du ein Mineral zu Hause hast, aber frage vorher deine Eltern, ob du es ankratzen darfst! Zum Vergleich findest du im Mineralienatlas die Werte von bekannten Mineralien. Kandiszucker ist eine womöglich billigere Alternative.

Das Archimedische Prinzip

Diese Übung beschäftigt sich mit der historischen Einbettung und Nachrechnung eines alten Prinzips zur Bestimmung einer wichtigen Stoffeigenschaft, der Dichte.

Historischer Hindergrund

Der Überlieferung nach entdeckte Archimedes im antiken Griechenland die Stoffeigenschaft, die wir heute "Dichte" nennen. Damals wurden dem Gold (z.B. für die Krone des Königs) oft günstigere Metalle beigemengt. So konnte heimlich ein teures Produkt billiger hergestellt werden. Archimedes suchte deswegen nach einer charakteristischen Stoffeigenschaft, anhand derer sich die verschiedenen Metallsorten oder -mischungen erkennen lassen.

Archimedes in der Badewanne entdeckt die Eigenschaft der Dichte. "Heureka!" -- Ich hab's! Archimedes in der Badewanne entdeckt die Eigenschaft der Dichte. "Heureka!" -- Ich hab's!

Referenzdaten

Heute kennen wir die exakten Dichten %%\rho%% von verschiedenen Metallen. Die relevanten (d.h. Gold und die typischerweise beigemengten, "legierten", Metalle) sollen hier genannt werden.

  • Gold %%\rho = 19{,}30 \,g/mL%%
  • Silber %%\rho = 10{,}49 \,g/mL%%
  • Kupfer %%\rho = 8{,}96 \,g/mL%%
  • Zink %%\rho = 7{,}14 \,g/mL%%

Versuchsdaten

Es sollen drei augenscheinlich goldene Gegenstände untersucht werden. Ein goldenes Messer, ein Finger-Ring und ein aus der Krone gebrochener Zacken. In einem Versuch wurde das Volumen der Gegenstände bestimmt (durch Verdrängung in einem gefüllten Messbecher) und die Masse der Gegenstände gewogen.

  • Messer: %%V = 12 \,mL, \quad m = 110 \,g%%
  • Ring: %%V = 1{,}4 \,mL, \quad m = 27 \,g%%
  • Krone (Bruchstück): %%V = 8 \,mL, \quad m = 115 \,g%%

Zielsetzung

Stelle begründete (!) Vermutungen an, aus welchem der Metalle sich die Gegenstände wohl vorwiegend zusammensetzen. Ist die Krone echt, d.h. aus reinem Gold? Ist überhaupt ein Gegenstand aus reinem Gold?

Berechne für alle drei Gegenstände die Dichte. Die Dichte %%\rho%% berechnet sich als intensive Größe aus den zwei extensiven Größen Volumen %%V%% und Masse %%m%% nach folgender Gleichung. $$\rho = \frac{m}{V}$$ Nehme für die folgende Argumentation an, dass sich die Dichte einer Legierung (d.h. Metallmischung) jeweils "zwischen" den entsprechenden Dichten der Metalle befindet.

Rechnung

Zunächst wird die Dichte der drei Gegenstände berechnet:

  • Messer: %%\rho = \dfrac{m}{V} = \dfrac{110\,g}{12\,mL} = 9{,}17 \, \dfrac{g}{mL}%%

  • Ring: %%\rho = 19{,}29 \,g/mL%%

  • Krone: %%\rho = 14{,}38 \,g/mL%%

Begründung

Wir erkennen, dass der Ring die höchste Dichte hat und der Wert fast genau dem von reinem Gold entspricht. Vergleiche hierzu das Rechenergebnis mit dem vorher gegebenen Referenz-Wert.

Die Krone bzw. das Kronenstückchen hat eine noch verhältnismäßig hohe Dichte, die aber schon deutlich von der reinen Gold-Dichte abweicht. Es gibt kein Metall (zumindest in der verfügbaren Auswahl!), das eine höhere Dichte hat. Deswegen kann die Krone in keinem Fall aus reinem Gold bestehen. Es erscheint vielmehr wahrscheinlich, dass die Krone aus einer Mischung von Silber (dem zweit-dichtesten Metall in der Liste) und Gold besteht.

Das Messer hat die geringste Dichte. Wir können zwar nicht eindeutig sagen, aus welchen Metallen es besteht. Wir erkennen aber dass es in jedem Fall aus einer Metallmischung besteht.

Die Fertigung aus Metallmischungen, statt aus reinem Gold hat nicht nur finanzielle Gründe. Die Zusammensetzung wirkt sich insbesondere auf die Härte bzw. Verformbarkeit des Werkstoffs aus. Gold ist ein sehr weiches Metall, während Mischungen aus Kupfer und Zink relativ hart sind. Es ist also insbesondere auch sinnvoll das Messer aus einer Kupfer-Zink-Silber-Mischung zu fertigen, damit es nicht so schnell stumpf wird.

Zusatz

In dieser Übung haben wir die Dichte %%\rho%% aus dem Volumen %%V%% und der Masse %%m%% berechnet. Dies ist gleichzeitig eine konkrete Anwendung des vorher beschriebenen Konzepts aus extensiven und intensiven Größen.

Das Volumen und die Masse sind extensive Größen. Sie sind direkt messbar durch Vergleich mit einem vorhandenen Maß, d.h. einem vorhandenen Volumen oder einer vorhandenen Masse. Das Volumen und die Masse der Gegenstände sind aber nicht charakteristisch für die Stoffe aus denen die Gegenstände hergestellt sind. Die Dinge haben unterschiedlichste Volumina und Massen, aus denen sich aber zunächst kein weiteres Merkmal erkennen lässt.

Dadurch dass wir Volumen und Masse in Bezug zueinander setzen werden die zwei extensiven Größen aber zu einer intensiven Größe verknüpft. Die entstehende intensive Größe der Dichte ist charakteristisch für die Stoffe aus denen die Gegenstände hergestellt sind. Insbesondere lässt sich nun ein Vergleich untereinander und mit bereits vorhandenen Literatur-Werten anstellen.

Wiederhole: Was ist eine Stoffeigenschaft? Warum sind Stoffeigenschaften wichtig und was zeichnet sie aus?

Denke dir anhand der Vorüberlegung neue Stoffeigenschaften aus! Erstelle hierzu eine Tabelle nach folgendem Schema:

qualitativ (beschreibend, unterscheidend)

quantitativ (zählend, messend)

Lösbarkeit (ja, nein?)

Löslichkeit (z.B. %%x\;g/L%%)

fest/flüssig/gasförmig

Dichte

Farbe

Schmelztemperatur

...

Leitfähigkeit in Lösung

...

Inventur im Supermarkt

In regelmäßigen Abständen müssen Geschäfte überprüfen, wie viele Waren sich im Lager und in den Regalen befinden. Hierzu wird jeder Gegenstand erfasst – entweder elektronisch oder mit Stift oder Papier.

Situation

Der Supermarkt hat verschiedene Bereiche in denen die Inventur unterschiedlich durchgeführt wird. Hier wird ein sehr langer Text folgen, der dir Informationen über den Inventur-Prozess gibt. Schaffe dir zunächst einen groben Überblick. Lese erst später die betroffenen Abschnitte genauer durch, wenn sie in der Frage thematisiert werden.

Obstabteilung:

In jeder vollständigen Bananenkiste %%BK%% befinden sich fünfzig Bananen %%B%%. Es gibt noch je 2 volle Kisten im Verkaufsbereich und Lager. Im Verkaufsbereich steht auch eine Bananenkiste, die nur noch mit vierunddreißig Bananen gefüllt ist. In den vollständigen Bananenkisten befinden sich je fünf Bananen an einer Bananen-Hand %%BH%%. Die verbliebenen Bananen-Hände in der angefangenen Kiste besitzen eine verschiedene Anzahl an Bananen pro Hand %%BPH%%, nämlich dreimal fünf, dreimal drei, viermal zwei und dreimal eine einzelne Banane.

Die Äpfel %%A%% in ihren Kisten sind nicht abgezählt, sondern abgewogen. In jeder vollständigen Apfelkiste %%AK%% befinden sich %%10\,kg%% Äpfel. Es gibt drei verschiedene Apfelsorten: Golden Delicious (Index %%GD%%), Holsteiner Cox (Index %%HC%%), Granny Smith (%%GS%%). Der Golden Delicious ist relativ groß (durchschnittlich %%m_{GD}=250\,g%%) und die Holsteiner Cox ist relativ klein (durchschnittlich %%m_{HC} = 125\,g%%).

Fleischabteilung

Wurst mit verschiedenem Fett-Gehalt

Anzahl an Würsten...

...

Zielsetzung

Der Fokus dieser Aufgabe liegt im Verständnis von Größen, Werten und Einheiten, sowie deren Relation. Ein wichtiger Schritt ist hierbei die korrekte Darstellung. Die Aufgabenstellung mag zunächst sehr kompliziert klingen. Deswegen ist es wichtig, dass du dir die Aufgaben sehr genau durchliest!

Bevor du die einzelnen Teilaufgaben angehst solltest du dir sehr klar darüber werden, bei welchen Symbolen es sich um eine Größe und bei welchen Symbolen es sich um eine Einheit handelt.

a)

Berechne und nenne ausführlich (d.h. in Worten!) die Anzahl %%N_{B}%% an Bananen %%B%% im gesamten Supermarkt. Gebe anschließend eine verkürzte Form mit den entsprechenden Symbolen an.

Wiederhole in Symboldarstellung, welche Anzahl an Bananen %%N_B%% sich in jeder Kiste befindet.

Es soll für die unvollständige Kiste eine Aufstellung gemacht werden, die die Anzahl der jeweiligen Bananen pro Hand der Anzahl der Bananenhände %%N_{BH}%% gegenüberstellt. Erstelle eine Tabelle und entwickle entsprechend die Tabellenform der symbolischen Darstellung.

b)

a)

Bei den Symbolen mit %%N%% (und dem entsprechenden Index) handelt es sich um die Anzahl, d.h. um eine Größe. Auch die Anzahl an Bananen pro Hand %%BHP%% ist eine Größe. Bei den Symbolen %%B%%, %%BK%%, und %%BH%% handelt es sich um Einheiten.

Im gesamten Supermarkt befinden sich 4 vollständige und die unvollständige Bananenkiste. Die Gesamtanzahl an Bananen beträgt $$\text{Anzahl an Bananen} = 4 \cdot 50\, \text{Bananen} + 35\, \text{Bananen}$$ $$N_B = 4 \cdot 50\, B + 35\, B$$ In den Kisten 1 bis 5 befinden sich so viele Bananen:

Kiste 1

%%N_B = 50\, B%%

Kiste 2

%%N_B = 50\, B%%

Kiste 3

%%N_B = 50\, B%%

Kiste 4

%%N_B = 50\, B%%

Kiste 5

%%N_B = 35\, B%%

Bananen pro Hand in der unvollständigen Kiste: Spalte 1 soll Anzahl an Bananen pro Hand %%BHP%% beinhalten, nämlich mit der Einheit %%B / BH%%. Spalte 2 soll die Anzahl an Bananenhänden %%N_{BH}%% in der Einheit %%BH%% beinhalten. Wir schreiben:

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